橢圓曲線的力學表達意義

聶應才 彭鳳英

(南豐縣第一中學,江西 撫州 344500)

“約束”是力學中十分重要的要素,約束關系聯系了運動或平衡系統與外來作用之間的關系,牛頓力學規律對約束作用的分析是對約束類型的確認,其中產生力學效果的約束曲線類型的確認,對于提升高中物理力學認知有特殊的意義．

1 桿上動點的軌跡

長為l的桿一端A停放在水平地面上,另一端B靠在光滑墻上,如圖1所示．A端沿水平面緩慢運動,B端在墻上緩慢移動,試求此過程中桿上任何一點C的軌跡方程．

圖1 示意圖

桿“緩慢”運動,動態平衡,合外力為0,體現了運動與相互作用觀念．桿受力如圖2所示,重力G、墻對桿的支持力FB、水平地面對桿的支持力FA和摩擦力fA,桿質量分布情況不明,重心位置不能確定,但力間的關系有FA=G、fA=FB,這些量無法與桿上C點關聯．嘗試用數學知識構建C點軌跡方程．

圖2 受力分析圖

圖3 建模圖

桿在垂直的二維約束下運動,桿上任意一點在空間的軌跡畫出橢圓曲線,這是橢圓曲線力學表達的簡單形式,桿上動點的軌跡可以由高中學生自己發現,引導學生理解橢圓曲線是力學表達的一種方式．

2 曲線約束下的端點軌跡

在垂直的二維約束下,桿上動點的軌跡是橢圓,改變約束方式,假定桿的一個端點在某種平面曲線約束下仍然保持平衡．勻質桿AB始終在平面內,桿長l,A端靠在墻上,B端在一光滑曲面上,如圖4所示．若無論B在何處桿均受力平衡,求曲面方程.[1]

圖4 示意圖

為了寫出曲面方程,自然需要建立直角體系．桿豎直靠立在墻面是最容易想到的平衡位置,不妨以此沿桿中心水平建立x軸,沿墻建立y軸,坐標原點就是桿中心點．

圖5 受力分析圖

桿在任何位置都處于靜止,是一系列的平衡狀態,是否可以想象不同的平衡狀態是桿移動的結果,這種思路可用虛功原理探尋曲面方程．物體處于靜止狀態,沒有位移,可以假設在約束條件下發生了微小連續虛位移,則所有主動力在虛位移上所做的元功之和等于0,這就是虛功原理.[2]

如果選擇x軸為零勢能參考面,桿在橢圓曲面與墻面間任何位置,機械能恒等于0．

3 橢圓曲線的應用

高中熟知的曲面有拋物線和圓,現有橢圓曲線出現在考查中,應該引起注意．

例題.(2023年湖南高考第15題)如圖6,質量為M的勻質凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內有一個半橢圓形的光滑軌道,橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b,長軸水平,短軸豎直．質量為m的小球,初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑．以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點,在豎直平面內建立固定于地面的直角坐標系xOy,橢圓長軸位于x軸上．整個過程凹槽不翻轉,重力加速度為g．

圖6 原題示意圖

(1) 小球第1次運動到軌道最低點時,求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離;

(2) 在平面直角坐標系xOy中,求出小球運動的軌跡方程;

本文探求第(2)問“求小球運動的軌跡方程”,其他小問略去．

圖7 示意圖

上面所舉質點運動或桿的力學平衡問題,約束類型同為橢圓曲線,這些現象的共性數學形式來自于物理系統不同的力學特征,物理規定性和數學形式表達之間的聯系生動而富有意義．