基于模型的分析與拓展 提升遷移能力
——以2023年湖北高考物理壓軸題為例

戴偉綱

(蘇州市吳江區盛澤中學,江蘇 蘇州 215228)

高中物理課程中涉及的物理規律都是最基礎的規律,例如力的合成和分解的平行四邊形法則是最基礎的規律.對于受力平衡的問題,往往將三力平衡的問題建立起幾種便于處理的次級模型,如適用直角三角形、相似三角形、正弦定理等情況,通過對次級模型的教學讓學生能夠掌握分析問題的方法.教師特別是在習題教學的過程中,通過對原始問題的分析,抽象出已知的物理模型,往往能夠有事半功倍的作用.在教學過程中,對于次級模型的推導可以得到一些二級結論,再加以拓展應用,可以避免就題論題的低效教學,提升學生規律使用的遷移能力.以下就以2023年湖北高考物理卷壓軸題為例,對次級模型的建立、拓展和應用做一些探討.

1 次級模型的建立

如圖1所示,空間存在磁感應強度大小為B、垂直于xOy平面向里的勻強磁場.t=0時刻,一帶正電粒子甲從點P(2a,0)沿y軸正方向射入,第一次到達點O時與運動到該點的帶正電粒子乙發生正碰.碰撞后,粒子甲的速度方向反向、大小變為碰前的3倍,粒子甲運動一個圓周時,粒子乙剛好運動了兩個圓周.已知粒子甲的質量為m,兩粒子所帶電荷量均為q.假設所有碰撞均為彈性正碰,碰撞時間忽略不計,碰撞過程中不發生電荷轉移,不考慮重力和兩粒子間庫侖力的影響.求:

圖1 磁場及粒子示意圖

(1) 第1次碰撞前粒子甲的速度大小;

(2) 粒子乙的質量和第1次碰撞后粒子乙的速度大小;

建立模型:

第(3)問兩個物體碰撞后經過磁場圓周運動,再次在O點發生碰撞,需要再次用動量守恒定律和動能定理進行計算,并且是反復多次地進行碰撞,這個多次的碰撞應該存在一個普遍的規律,可以拆解出一個基本的模型.將該題第(3)問的兩次碰撞的本質抽象出來,建立以下的次級模型:兩個小球m1,m2先進行彈性碰撞,而后將碰后的m2速度不變地提到前面來再與m1進行彈性碰撞.如圖2.

圖2 碰撞示意圖

2 對次級模型的分析

2.1 數學過程推導

兩個小球的第1次碰撞:

兩個小球的第2次碰撞:

解得v1″=v1,v2″=v2.這個解方程的過程是比較復雜的,可以利用原有的結論進行迭代,相應的計算量也是比較大的.

2.2 模型分析結論

經過數學推導我們可以看到,第2次碰撞之后,兩個小球速度又變回了第1次碰撞前的狀態.是不是能將這個作為一個結論,讓我們把思維拓展一點,其實在兩次彈性碰撞中間,都是遵循著動量守恒和動能守恒,兩次的方程在形態上是一致的.從數學的角度來看,這兩個方程應該只有兩組唯一的解,那么第1次碰撞前后的兩組速度就是反復碰撞過程的兩組解.

3 次級模型應用的拓展

3.1 本模型的使用條件和基本物理情境

從上面的分析可以看到本模型碰撞必須為兩小球都是彈性對心碰撞,第1次碰撞之后,兩者又以碰后的速度進行碰撞,這個在次級模型推導的時候是做不到的,前面的小球不能夠跑回來撞后面的小球,那就必須保證速度的大小不變能夠讓兩個小球發生再次碰撞.

從前面的例題我們可以看到本模型的第一種適用條件:利用帶電粒子在磁場中的回旋,讓兩個粒子回到同一個位置進行碰撞,注意題設條件中的兩個粒子間庫侖力的作用力,粒子本身的重力必須忽略不計,如圖3.第二種適用條件是直接利用水平面上光滑的圓環使后面的小球能夠發生反向追及,如圖4.當然也可以在水平面上將這個環形的軌道做成其他形狀的,還有其他的情況就不一一列舉了.

圖3 粒子回旋圖

圖4 粒子在圓環中運動圖

3.2 本模型使用的簡化推論

在本模型的建立中,用到的是最為普遍的情況,兩者的質量不同,兩者的動量不同,在實際問題的考查中,彈性碰撞中這么復雜的動碰動問題難度太高,往往會用簡化版的模型,對于目前的模型,給定限制條件,可以做以下幾個簡化.

3.2.1 兩個物體質量相同m1=m2

推論1:當兩小球質量相同時,第1次碰撞v1′=v2、v2′=v1,兩個物體速度發生互換,第2次碰撞速度換回來.

3.2.2 兩個物體動量大小相同,方向相反,m1v1+m2v2=0

這個推論其實可以根據動量和能量守恒直接邏輯推得,因為動量守恒,兩個物體速度是成比例關系的,相應的一個增大另一個也增大,因此碰撞前后只能是方向變化,大小無法改變了.

3.2.3 兩個物體動量大小相同,方向相同,m1v1=m2v2

這個結論相對比較復雜,不適合作為最終的簡化推論.

4 實際情境模型的應用

4.1 對于2023湖北高考物理壓軸題第(3)問的思考

4.2 其他適用情境舉例

(2019年全國高三競賽)如圖5所示,一個半徑為R,水平放置的光滑圓形軌道上,有兩個可自由運動的小球,其質量分別為m和M.現有一個質量可忽略的彈簧,將兩小球分別頂在彈簧兩端,用細線將小球壓緊彈簧后捆綁在一起.細線燒斷,彈簧彈出兩球后自身跳出軌道.問題(1)(2)略.

圖5 原題圖

(3)若碰撞是完全彈性的正碰撞,問:兩球在第1次發生碰撞后,又在何處發生第2次碰撞?

本題直接適用第二推論,碰撞時兩小球的合動量為0,碰后各自以本身的速度進行反彈,最終第2次碰撞兩球走過的路程和原來相同,所以必定還是在第1個碰撞點碰撞,兩小球應當來回在這兩點碰撞.

動量守恒定律在原教材(選修3-5)中作為選修部分內容,與各板塊的內容結合較少,要求也比較低.作為物理學中的重要定律,隨著新教材、新課程的全面實施,其地位也逐步地凸顯出來,2023年全國乙卷、新課標卷、湖南卷、湖北卷等最后的壓軸都是以動量定理,動量守恒碰撞為核心出題,對此部分內容的教學必定將成為今后高中物理教學的重點.在實際的教學中,涉及碰撞的題目非常多,我們要幫助學生建好模型,對于不同的情境讓學生去解模、用模,培養學生的模型遷移能力.