基于科學建模理論的問題解決分析
——以2023年全國乙卷25題為例

陳姝潔 孫慶全 邢紅軍

(首都師范大學教師教育學院,北京 10048)

高中物理課程標準將學科核心素養凝練為物理觀念、科學思維、科學探究、科學態度與責任,是學生在解決真實復雜問題過程中的綜合表現,更加強調學生綜合運用物理知識解決實際問題的能力,同時要求學生從生活中發現問題、提出問題,在真實情境中能夠再現知識發生發展的過程與方法,具有建構物理模型的意識與能力,真正從“解題”向“解決問題”轉變.[1]

以2023年全國高考乙卷第25題為例,該題突出真實問題情境的設計,選取鮮活素材,貼近學生實際,考查動量守恒定律、動力學、能量守恒關系等基本概念和規律.問題中關于物體的位移、多次碰撞的隱含條件的問題設置,學生需要研究復雜的運動問題并建構物理模型,進而進行相應推理論證,是對學生科學思維能力的考查,充分體現出學業水平考試對物理規律精細應用的要求,以及對模型構建深化分析的要求.[2]

海斯特斯認為,科學研究(學習)的過程就是對自然界建模的過程.我們可以通過模型構建來解決生產、生活中存在的問題,也能夠解決科學學習乃至科學研究中存在的問題.物理建模的過程是讓學生針對具體的物理問題,針對某一情景進行分析,抓住主要因素,忽略次要因素,在頭腦中建構一個簡化的模型,并借助科學方法解決問題的過程.有研究者提出了以協同學理論為基礎的科學建模理論,把模型建構的問題表征過程看作連續與突變相結合、獨立與關聯相結合、協同與競爭相結合、控制與自發相結合、必然與偶然相結合的自組織表征過程,[3]能夠幫助學生搭建解決真實問題的臺階.鑒于此,本文以科學建模的問題表征理論為理論基礎,研究并解答2023年全國高考乙卷理綜第25題,以期為科學建模的教學提供有益啟示.

1 運用科學建模理論解決問題

2023年全國高考乙卷理綜第25題如下:

如圖1,一豎直固定的長直圓管內有一質量為M的靜止薄圓盤,圓盤與管的上端口距離為l,圓管長度為20l.一質量為m=M/3的小球從管的上端口由靜止下落,并撞在圓盤中心,圓盤向下滑動,所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等.小球在管內運動時與管壁不接觸,圓盤始終水平,小球與圓盤發生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短.不計空氣阻力,重力加速度大小為g.求

圖1 第25題圖

(1) 第1次碰撞后瞬間小球和圓盤的速度大小;

(2) 在第1次碰撞到第2次碰撞之間,小球與圓盤間的最遠距離;

(3) 圓盤在管內運動過程中,小球與圓盤碰撞的次數.

對于模型建構,科學建模理論包含6個表征層次,分別為抽象表征、賦值表征、圖像表征、知識表征、方法表征和數學表征.應當指出的是,這6個表征之間不是孤立的,而是互相聯系的.人們在進行科學建模時,往往會在不同的表征之間進行轉換,其中抽象表征、賦值表征、圖像表征、知識表征、方法表征、數學表征的順序可以根據問題進行調整或反復使用同一表征,直至模型建構完成.[3]下面,我們依據該理論進行分析.[4]

1.1 抽象表征

抽象表征是對研究對象進行去粗留精、去偽存真、由表及里的改造和加工過程.它需要去除研究對象表現出的假象,忽略研究對象的表面特征,抓住研究對象的本質,從而獲得關于研究對象的普遍與本質認識.本題中交代小球從管的上端口由靜止下落,并撞在圓盤中心,圓盤向下滑動,所受滑動摩擦力與其所受重力大小相等,小球與圓盤發生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時間極短.在純粹狀態下對小球和圓盤的性質和規律進行考察,經歷隔離、簡化、提煉過程,排除小球和圓盤形狀等非本質因素,把小球和圓盤抽象為兩個質點.運動情景抽象為小球先經歷自由落體運動,后與圓盤發生完全彈性碰撞,碰撞結束后圓盤受力平衡做勻速直線運動,小球繼續做自由落體運動.

1.2 賦值表征

賦值表征是模型建構特有的一種表征狀態,這一環節,需要根據解決問題的需求,設置常量、變量和中間變量.賦值表征中需要聯系抽象表征中抽離出的自由落體運動和完全彈性碰撞模型,其次通過深入分析,發現需要運用動量守恒定律和機械能守恒定律,最后進行賦值.設小球自由落體運動l高度后,即碰撞前的速度為v0,第1次碰撞后小球的速度為v1,圓盤的速度為v0′.

1.3 圖像表征

圖像表征是把抽象出來的研究對象用圖像的形式加以表征的過程.圖像表征一般經歷感知、想象、作圖3個過程,對小球做自由落體運動和與圓盤彈性碰撞而后又做勻速直線運動的真實情景可以給出圖2的圖像表征.

圖2 示意圖

圖3 圓盤下降示意圖

1.4 知識表征

知識表征是確定模型構建需要使用的概念和規律并加以運用的過程.科學建模是運用不同知識來逐步構建物理模型的過程,故該部分處于物理建模的核心地位.對于上述的真實情景,通過判斷、提取、應用可以得出需要運用的物理概念與規律為動量守恒定律、機械能守恒定律、平衡狀態特征、運動學公式,它們需要在建模的不同階段分別加以應用.

1.5 方法表征

方法表征是確定模型構建中所需科學方法并加以應用的過程.科學方法分強認知方法和弱認知方法,強認知方法可稱之為學科方法,弱認知方法可稱之為思維方法,模型構建中的方法主要是指學科方法.[1]對于上述情景,結合物理學科概念、學科規律以及數學知識,可以得到方法表征包括受力分析法、理想化方法(將小球與圓盤極短時間內碰撞看作完全彈性碰撞,無機械能損失)以及演繹推理法.[5]

1.6 數學表征

數學表征是指在模型建構過程中選擇恰當的數學工具并進行必要的推導時所運用的數學步驟.該過程包括選擇數學工具、列方程、驗證模型3個步驟.對于上述真實情景,其數學表征如下.

小球釋放后自由下落,下降l,根據機械能守恒定律

(1)

(2)

mv0=mv1+Mv1′,

(3)

解得

(1) 第1次碰撞.

第1次碰后,根據結果再次經歷抽象表征可得到小球做豎直上拋運動,圓盤摩擦力與重力平衡,勻速下滑,通過演繹推理法分析可知,只要圓盤下降速度比小球快,二者間距就不斷增大,當二者速度相同時,間距最大,經歷賦值表征設兩者速度相同時運動時間為t,最大間距為dmax,小球運動位移為x球,圓盤運動位移為x盤,得出數學表征如下.

v1+gt=v1′,

(4)

(5)

(2) 第2次碰撞.

經歷抽象表征、方法表征分析可知,第一次碰撞后到第2次碰撞時,兩者位移相等,再次借助知識表征中的運動學公式、動量守恒定律、機械能守恒定律,對所需過程量進行賦值,則有x盤1=x球1,即

(6)

mv2+Mv1′=mv2′+Mv2″,

(7)

(8)

(3) 第3次碰撞.

之后二者第3次發生碰撞,碰前小球的速度v3=gt2=2v0,根據動量守恒、機械能守恒有

mv3+Mv2″=mv3′+Mv3″,

(9)

(10)

(4) 第4次碰撞.

當二者即將4次碰撞時x盤3=x球3,即

(11)

(12)

此時將幾次碰撞圓盤下降長度借助圖像表征直觀表達出來,如圖3所示.

第4次碰撞后圓盤距離下端管口長度為20l-l-2l-4l-6l=7l,經歷方法表征中的演繹推理法和歸納法,可得出圓盤每次碰后到下一次碰前,下降距離逐次增加2l,故若發生下一次碰撞,圓盤將向下移動x盤4=8l.則第4次碰撞后落出管口外,因此圓盤在管內運動的過程中,小球與圓盤的碰撞次數為4次.

2 啟示

2.1 重視抽象表征,抓住研究對象本質

在研究和解決物理問題時,要求學生能夠通過科學的抽象,去粗取精、去偽存真,并且能夠識別形異而質同或形同而質異的問題,將復雜的問題等效成若干簡單問題.抽象表征是科學建模的問題表征理論的第一步,它需要去除研究對象表現出的假象,忽略研究對象的表面特征,抓住研究對象的本質,從而獲得關于研究對象的普遍與本質認識.[3]因此,科學建模的順利展開就要求學生具有較高的抽象表征能力.

本題中,學生要將整個情景抽離成小球的自由落體運動、小球圓盤多次碰撞、圓盤每次碰撞后勻速運動,厘清情景的本質問題是多次的完全彈性碰撞.而后在頭腦中整合相關知識,通過自由落體運動特點得出小球碰撞前速度,運用動量守恒和機械能守恒定律得出碰撞后速度,再運用運動學規律解決位移問題,最后需要結合演算數據判斷碰撞能夠發生幾次的實際問題.由此可見,抽象表征是科學建模的關鍵一步,培養學生的抽象表征能力有利于抓住研究對象本質,從而實現問題的簡化與提煉.

2.2 掌握科學建模方法,提高問題解決能力

構成模型的要素是不變的,但這些要素在科學建模的過程中是動態的.科學建模的問題表征理論,其包含的抽象表征、賦值表征、圖像表征、知識表征、方法表征、數學表征雖然是不變的,但科學建模的過程并不一定嚴格遵循這樣的順序,我們可以根據需要調整這些表征的順序或反復使用其中的一些表征.同時,這些表征之間還存在相互作用.上述題目中,小球自由落體運動和第1次碰撞需要先完整地經歷6個表征,在第2次、3次碰撞中知識表征、方法表征和數學表征需要反復經歷,下一次碰撞情景的表征過程依賴于前一次的數學表征所得結果.而圖像表征也是貫穿于整個多次碰撞情景中,不斷在原圖上進行修改完善.這就要求學生掌握科學建模方法,明晰6種表征的概念及其過程,進而在解決問題中充分應用,實現科學模型的建構,提高學生的問題解決能力.[6]

2.3 訓練演繹推理思維,促進核心素養的發展

演繹推理是從一般性結論推出個別性結論的方法,即由已知的某些一般原理、定理、法則、公理或科學概念出發,推出新結論的思維活動.[7]演繹推理作為科學思維方法之一,是從一般到特殊的推理,展現出學生思維的嚴密性.物理演繹推理基本遵循邏輯學中演繹推理的三段論模式,三段論是由大前提(已知的一般原理)及小前提(研究的特殊情況)推出一個新的結論(根據一般原理,對特殊情況做出判斷)的演繹推理.[8]上述題目中,第1次碰撞圓盤下降距離為2l,第2次碰撞下降距離為4l,我們可以猜測第3次下降為6l,經過演算驗證猜測正確,則可得出圓盤每次碰后到下一次碰前,下降距離逐次增加2l的新結論.由已知的普遍結論探索出新結論的過程,需要學生有一定的思維能力.這就要求教師在教學過程中要注意引導學生,讓學生產生探索欲望,使學生對新情境下問題開展演繹推理,即學生在問題的引導下,清楚自己要進行演繹推理,才能得到結論.