魚和鳥的相望
——關于魚和鳥的折射成像研究

楊嚴輝

(佛山市第三中學,廣東 佛山 528000)

在歌曲《飛鳥和魚》中有一句歌詞:“我是魚,你是飛鳥,要不是你一次失速流離,要不是我一次張望關注,哪來這一場不被看好的眷與戀.”也許魚并不知道,魚看到的鳥其實是鳥的虛像,鳥的位置、形狀和大小都與實際情況不同,就算鳥在空中某個位置不變,魚在水下不同的位置張望鳥,魚看到鳥的位置也是會改變的.這些現象都是光的折射讓魚產生的錯覺.不管是魚觀鳥還是鳥觀魚,它們看到對方的像都與實際情況不同,都涉及光的折射成像原理.

光的折射成像與平面鏡成像不同.在平面鏡成像中,點光源發出的所有光線經過平面鏡反射后所有反射光線的反向延長線都相交于同一點,平面鏡成像的形狀大小與物體完全一致,而光在水中折射成像比較復雜.如圖1所示,用Geogebra軟件畫出魚看到鳥的折射光路圖,靜止在水面上方的鳥在S點發出的光經水面P點折射后進入水中(水的折射率n=1.33),改變P點的位置,跟蹤折射光線和折射光線的反向延長線,可以看出這些折射光線的反向延長線并不相交于同一點.

魚眼睛的瞳孔很小,只有很小一部分折射光線能進入魚眼睛,所有進入魚眼睛的折射光線的反向延長線的交點就是魚在水中看到鳥的像.所有相鄰折射光線的反向延長線的交點的集合就是靜止在水面上方鳥的像的軌跡.從圖1可以看出,當魚在鳥的正下方時,魚看到鳥的像的高度最低,即視高最小.魚和鳥的水平距離越大,鳥的視高越大.可見水面上方物體經水面折射后所成的像的形狀和大小都會發生改變.

不僅魚觀鳥有錯覺,鳥觀魚也有錯覺,它們看到對方的位置都與真實位置不同.本文以魚和鳥作為觀測者或被觀測者,利用光的折射定律分析游魚觀鳥、鳥觀游魚、飛鳥觀魚和魚觀飛鳥4種情況下鳥或魚的像的變化情況,推導出它們的像的函數表達式或者參數方程,再利用Geogebra軟件畫出函數或者參數方程的圖像,并加以驗證.

1 游魚觀鳥

如圖2所示,以水面上的O點為坐標原點建立平面坐標系xOy,假設鳥在O點正上方高度為h的S點處靜止不動,水下的魚在xOy平面內從遠處向x軸負方向游過來,當魚游到M點時,從S點發出的兩條光線SA與SB經過水面折射后進入魚的眼睛,入射角分別為i和(i+di),AM與BN為折射光線,折射角分別為r和(r+dr).兩條折射光線的反向延長線的交點P(x,y)就是魚看到鳥的虛像.A的坐標為(L,0),AB的距離為微元dL(圖2中dL=0.81),水的折射率為n,則魚水平游走過程中看到鳥的像的位置如何變化?

圖2 折射光路圖

由折射定律得

sini=nsinr.

(1)

兩邊微分得

cosidi=ncosrdr.

(2)

由幾何關系得

(3)

(4)

由式(2)～(4)得

(5)

可得

(6)

點P的橫坐標為

x=L-ytanr.

(7)

(8)

由式(6)(8)得

(9)

式(9)的函數圖像就是游魚觀鳥的像.當魚游到鳥的正下方時,x=0,y=nh,即視高為nh.

用Geogebra軟件畫出該函數的圖像,如圖3所示,其中S表示鳥在空中靜止的位置.

改變入射點A的位置,跟蹤P點的軌跡可以驗證該函數圖像就是游魚觀鳥的像,如果dL較大(dL=1.31),P的軌跡與函數圖像有一點偏差,如圖4所示.

圖4 dL較大時P的軌跡

如果dL很小(dL=0.01)時(此時兩條光線SA與SB已重合),可見P的軌跡與函數的圖像重合,如圖5所示.由此可驗證式(9)的函數圖像就是游魚觀鳥的像.

圖5 dL很小時P的軌跡

2 鳥觀游魚

如圖6所示,以水面上的O點為坐標原點建立平面坐標系xOy,假設鳥在O點正上方高度為h的M點處靜止不動,水下的魚在xOy平面內從遠處向x軸負方向游過來,魚的深度為d,當魚游到S點時,從S點發出的兩條光線SA與SB經過水面折射后進入鳥的眼睛,入射角分別為r和(r-dr),AM與BN為折射光線,折射角分別為i和(i-di),兩條折射光線的反向延長線的交點P(x,y)就是鳥看到魚的虛像.A的坐標為(L,0),AB的距離為微元dL(dL=0.51),水的折射率為n,則鳥看到水中游過來的魚的像的位置如何變化?

圖6 折射光路圖

由折射定律得

sini=nsinr.

(10)

兩邊微分得

cosidi=ncosrdr.

(11)

由幾何關系得

(12)

(13)

由式(11)～(13)得

(14)

結合以上各式可得

這節課結束以后，我又布置了這樣一個課后作業：“茫茫”除了可以形容沙漠（茫茫的沙漠），還可以形容大海、草原、夜色、人海等。請你想象其中的一個畫面并寫一寫，當然你也可以摘抄你讀過的描寫這些畫面的原文。

(15)

點P的橫坐標為

x=L+|y|tani.

(16)

又因為tani=L/h,可得

(17)

鳥看到游魚的像可用參數方程來表示為

(18)

(19)

其中L為參數.

當魚游到鳥的正下方時,L=0,y=-d/n,即視深為d/n.

用Geogebra軟件畫出該參數方程的圖像,如圖7所示,其中M為鳥靜止的位置,虛線表示魚水平運動的軌跡.

圖7 鳥觀游魚的像

改變入射點A的位置(改變參數L),跟蹤P點的軌跡可以驗證該參數方程的圖像就是鳥觀游魚的像,如果dL較大(dL=0.31),P的軌跡與參數方程的圖像有一點偏差,如圖8所示.

圖8 dL較大時P的軌跡

如果dL很小(dL=0.01)時(此時兩條光線SA與SB已重合),可見P的軌跡與參數方程的圖像重合,如圖9所示.由此可驗證參數方程(19)的圖像即為鳥觀游魚的像.

圖9 dL很小時P的軌跡

3 飛鳥觀魚

圖10 折射光路圖

由折射定律得sini=nsinr.兩邊微分得cosidi=ncosrdr.

由幾何關系得

(20)

(21)

可得

(22)

類似可得

(23)

點P的橫坐標

x=L-|y|tani.

(24)

(25)

(26)

用Geogebra軟件畫出該函數的圖像,如圖11所示,其中S為魚的位置.

圖11 飛鳥觀魚的像

改變入射點A的位置,跟蹤P點的軌跡可以驗證該函數圖像就是飛鳥觀魚的像,如果dL(dL=1)較大,P的軌跡與函數圖像有一點偏差,如圖12所示.

圖12 dL較大時P的軌跡

如果dL很小(dL=0.01)時(此時兩條光線SA與SB已重合),可見P的軌跡與函數的圖像重合,如圖13所示.由此可驗證式(26)的函數圖像就是飛鳥觀魚的像.

圖13 dL很小時P的軌跡

4 魚觀飛鳥

如圖14所示,以水面上的O點為坐標原點建立一豎直平面坐標系xOy,假設魚在O點正下方深度為d的M點處靜止不動,空中的鳥在xOy平面內從遠處向x軸負方向水平飛過來,高度為h,當鳥飛到S點時,從S點發出的兩條光線SA與SB經過水面折射后進入魚的眼睛,入射角分別為i和(i-di),AM與BN為折射光線,折射角分別為r和(r-dr).兩條折射光線的反向延長線的交點P(x,y)就是魚看到鳥的虛像.A的坐標為(L,0),AB的距離為微元dL(dL=0.61),水的折射率為n,則魚看到水平飛過來鳥的像的位置如何變化?

圖14 魚觀飛鳥的像

由折射定律得

sini=nsinr.

(27)

由幾何關系得

(28)

(29)

將式(27)微分結合式(28)(29)得

(30)

可得

(31)

P的橫坐標為

x=L+ytanr.

(32)

(33)

(34)

用Geogebra軟件畫出該參數方程的圖像,如圖15所示,其中M為魚所在的位置,虛線表示鳥水平飛行的軌跡.

圖15 魚觀飛鳥的像

改變入射點A的位置(改變參數L),跟蹤P點的軌跡可以驗證該參數方程的圖像就是魚觀飛鳥的像,如果dL較大(dL=0.61),P的軌跡與參數方程的圖像有一點偏差,如圖16所示.

圖16 dL較大時P軌跡圖

如果dL(dL=0.01)很小時(此時兩條光線SA與SB已重合),可見P的軌跡與參數方程的圖像重合,如圖17所示.由此可驗證參數方程(34)的圖像就是魚觀飛鳥的像.

圖17 dL很小時P軌跡圖

青山飛鳥舞長空,碧澗游魚戲水中.莫道秋波遮望眼,高低遠近不相逢.魚和鳥的折射成像各不相同,它們看到對方的像都是經過水面折射后的虛像,魚和鳥都會感覺到對方飄忽不定忽近忽遠.正如泰戈爾的詩:“世界上最遙遠的距離,是飛鳥和魚的距離,一個翱翔天際,一個卻深潛海底.”距離很美卻又很無奈,關于距離,每個人心中都有自己的定義和遐想,或是咫尺若天涯,或是千里共嬋娟.