撓性航天器姿態動力學數據驅動辨識與控制1)

陳竑宇 陳 提

(南京航空航天大學航空學院,南京 210016)

引言

姿態控制系統是航天器的重要組成部分.用于描述姿態運動的旋轉矩陣的構型空間為Lie 群SO(3),由于不是歐幾里得空間,為了便于姿態控制的研究,學者們提出了多種姿態表示方法[1].目前常用的姿態表示方法主要包括歐拉角,修正羅德里格參數(modified Rodrigues parameters,MRPs)和單位四元數等.但是這些姿態表示方法均有一定局限性,比如歐拉角和MRPs 存在奇異點,不能夠全局描述姿態運動;而在單位四元數表示中,對于每一種旋轉都存在兩組單位四元數與之相對應,因此在姿態表示上并不唯一.所以,基于單位四元數的連續反饋控制率可能會產生不期望的退繞(unwinding)現象[1-2].因此,已有許多研究嘗試直接在SO(3)上解決姿態控制問題.在SO(3)上剛體姿態動力學由12 個非線性方程描述,但通常有3 個控制輸入,是典型的一個多輸入多輸出非線性系統.Lee 定義了一個新的姿態誤差函數,并設計了指數穩定控制器[3].Sanyal等[4]討論了由旋轉矩陣描述的剛體姿態估計和控制問題.由于時不變光滑反饋律最多僅能保證SO(3)上姿態控制的近全局收斂,Berkane 等[5]提出了一種基于中心協同混合方法的全局指數穩定控制方案.Wang 等[6]研究了角速度為分段正弦信號的SO(3)的姿態控制.在實際工程中,航天器通常帶有撓性構件,因此不能忽略撓性振動與姿態運動的耦合關系,龔柯杰[7]將航天器撓性附件振動視作外界擾動項,并設計了自適應滑模控制器.He 等[8]使用假設模態法建立SO(3)上撓性航天器姿態動力學模型,提出了一種迭代學習觀測器用于觀測噪聲,并基于觀測器設計了一個復合控制器來穩定姿態.在這些研究中,控制器設計完全或部分取決于建模,但撓性航天器姿態動力學通常具有強非線性、強耦合、參數不確定性,模態測量困難等特點,此外,大尺寸撓性航天器存在模態集中和“全局運動疊加全局模態”等復雜現象[9],因此,建立撓性航天器精確動力學模型是一個極其困難的任務.

對于復雜的非線性系統,為了分析的方便,往往會考慮將其線性化.典型的方法包括泰勒線性化、分段線性化和正交函數逼近線性化等.但這些方法存在明顯局限,泰勒線性化只在工作點附近進行,分段線性化需要更多模型信息,正交函數逼近線性化計算量大且控制器設計復雜.1931 年,Koopman[10]提出非線性動力系統可以通過作用于測量函數上的無限維線性算子表示,即提出了一種非線性系統的全局線性化方法.隨著近些年計算機技術和大數據的發展,Koopman 算子理論被越來越多地運用于復雜非線性系統行為分析[11-14].一些研究已經提出了一些低階非線性系統的解析觀測函數集[12,15],但對于更復雜的非線性動力學或者未知動力學系統,則難以解析地得到Koopman 算子的表示.因此可以采取數據驅動方法被辨識Koopman 算子,這種方法在建模過程中只需要仿真或者實驗數據,而不像傳統方法那樣依賴于物理參數.由于Koopman 算子通常是無限維算子,在實際應用中往往需要得到其有限維截斷.Schmid[16]在流體動力學領域提出了動態模態分解算法(dynamics mode decomposition,DMD),隨后Rowley 等[17]在DMD 和Koopman 理論之間建立了重要聯系.目前,辨識Koopman 算子常用的算法包括DMD 算法[16]和拓展動態模態分解(EDMD)算法[18]等.Dahdah 等[19]針對現有算法辨識開環系統Koopman 算子的局限性,結合輸入輸出子空間辨識法和EDMD 算法得到了閉環系統Koopman 算子.由于DMD 算法和EDMD 算法直接計算Koopman算子有限維截斷,截斷誤差會不可避免影響建模精度.Brunton 等[20]提出非線性動力學的稀疏性辨識(SINDY),通過稀疏回歸算法精確辨識非線性動力學的廣義線性模型.Kaiser 等[21]在少量數據基礎上基于SINDY 算法辨識非線性動力學,驗證了SINDY算法的準確性,并基于模型使用非線性模型預測控制器(NMPC)實現系統控制.

近年來,許多研究人員開始關注基于Koopman算子理論的非線性系統控制問題,將成熟的線性控制理論用于解決非線性系統控制問題.Kaiser 等[22]基于一些低階非線性系統,討論了基于Koopman 算子的控制問題.Ren 等[23]基于Koopman 理論設計了輪式機器人的滑模控制器.Korda 等[24]在Koopman算子理論的基礎上采用線性模型預測控制對非線性系統進行控制.為提高閉環Koopman MPC 的魯棒性,Zhang 等[25]提出一種基于Tube 模型預測控制(tube-based MPC)的魯棒Koopman 控制器.Goyal 等[26]提出了一種基于Koopman 算子和數據驅動方法的三自由度腕部康復機器人的軌跡跟蹤控制器.

目前也已有一些研究將Koopman 算子理論用于SO(3)上的姿態控制.比如,Chen 等[27]基于SO(3)構型提出了一組非線性觀測函數,得到了SO(3)上姿態動力學Koopman 算子的解析表示,并在此基礎上設計了最優控制器.Zinage 等[28]考慮了剛體位姿控制,將Koopman 建模的研究推廣到SE(3)群上的無人機動力學.這些研究主要是針對剛體姿態動力學的建模與控制,但由于實際中航天器帶有撓性構件,不能忽略撓性振動與姿態運動的耦合關系,因此SO(3)上撓性航天器姿態動力學的Koopman 辨識會更加復雜.

本文擬提出一組觀測函數用于Koopman 算子的數據驅動辨識,這組觀測函數僅依賴于狀態測量數據,而不需要任何先驗信息.在此基礎上,本文基于SINDY 算法得到SO(3)上撓性姿態動力學的稀疏化廣義線性模型和Koopman 算子的有限維截斷,實現對撓性航天器姿態動力學的全局線性化建模.基于截斷的Koopman 算子設計一種高效率的線性LQR 控制器,在實現撓性航天器姿態控制的同時抑制撓性構件振動,最后通過仿真算例驗證所提出的數據驅動建模方法和最優控制器,并和傳統最優控制方法進行對比以論證所提方法的優勢.

1 數據驅動建模

1.1 Koopman 算子理論

Koopman 算子理論可以將有限維非線性系統轉換為無窮維線性系統.考慮如下非線性動力系統

式中x∈S為光滑流形上的N維線性系統的狀態,S?RN為狀態空間.

定義實值觀測函數g:M→R,它是Hilbert 空間上的元素.Koopman 算子 Kt是一個無限維線性算子,它對測量函數g的作用如下

其中 ? 為合成算子.

若式(1)中系統變為離散時間形式,那么對于時間步長為 Δt的離散時間系統x(k+1)=FΔt(x(k)),式(2)變為

即,Koopman 算子定義了一個無限維線性動力系統,并使狀態觀測值gk=g(xk) 推進到下一時間步長,即測量函數的演化[29].

Koopman 算子的線性屬性來源于觀測函數空間中加法運算的線性,即

其中 α1,α2為常數.

Koopman 算子定義了一個無窮維線性系統來表示非線性系統,但無窮維的性質會給Koopman 算子的應用帶來問題.在實際應用中,無窮維系統通常可以被截斷,如果不產生過大的精度損失,那么就可以通過有限維線性系統來近似Koopman 算子.

1.2 SO(3)上撓性航天器姿態動力學建模

SO(3)上的剛性航天器姿態動力學方程可表示為如下形式

其中R∈S O(3) 表示從航天器體坐標系到慣性參考系的旋轉矩陣,ω ∈R3是體坐標系的角速度,J∈R3×3為航天器慣性矩陣.對于任意向量a∈R3,a×定義為

在本文研究中,假設撓性航天器的結構為中心剛體上固接梁,其構型如圖1 所示.可采取假設模態法對撓性航天器進行建模.SO(3)上的撓性航天器姿態動力學方程可以寫為式(5)以及如下方程

圖1 撓性航天器示意圖Fig.1 Flexible spacecraft

考慮到撓性構件模態坐標一般不能直接測量,但可以測量撓性構件上各點位移以及速度.撓性構件位移w以及速度與模態坐標q和之間的關系為

其中,Φ∈RN×m為各模態對應固有振型矩陣,N為傳感器數量,且N＞m.因此,可以使用替代模態坐標參數,兩者之間關系為

1.3 非線性動力學稀疏性辨識

原始SINDY 算法[20]主要思想是利用非線性動力學中通常只包含少數起作用項的性質,從人工選取的字典函數庫中尋找動力學中的有效項.考慮如下受控非線性動力學系統

收集時序數據得到數據快照矩陣

建立候選非線性函數庫

其中 θi為人工選取的候選非線性函數,以保證Θ(X,U) 中包含非線性動力學f(x,u) 中的有效項.通過以下廣義線性模型來逼近非線性動力學f(x,u)

式中,Ξ 的列向量 ξk是一個系數向量,用于確定動力學中的有效項,且 ξk中的非零項要盡可能少.通過稀疏回歸算法辨識動力學對應有效項

將系統原始狀態映射到高維觀測函數空間,再辨識觀測空間中動力學的有效項,便可以得到在觀測函數空間上非線性動力學的廣義線性模型,其中的線性部分便能作為Koopman 算子的有限維截斷.

選取構成Koopman 提升空間的非線性觀測函數 Ψ ∈RN和控制耦合函數 Ψu∈RM以及高階補償觀測函數如下

基于數據可得到提升的數據快照矩陣為

通過稀疏回歸算法可以得到提升空間上的廣義線性模型如下所示

為了后續討論方便,將非線性系統的近似廣義線性模型,即式(25),寫為狀態空間形式,即

即得到非線性動力學Koopman 算子的有限維截斷.

目前常用的稀疏回歸算法包括套索回歸(LASSO)或者序貫閾值最小二乘(sequential thresholded leastsquares,STLS)等[20].本文采取序貫閾值最小二乘算法(STLS)來計算SINDY 模型.STLS 算法基本思想是以稀疏提升系數為閾值將最小二乘解稀疏化,其具體計算過程如下:

(3)將 Ξ 中所有小于稀疏提升系數 λ 的系數置零.矩陣Bi表示 Ξ 中非零元素位置,其中非零項對應位置元素為1,其他位置元素為0;

(4)通過最小二乘法重新計算稀疏最優擬合算子 Ξ,但是將僅使用非稀疏項所對應的數據,即ξk=,其中 ξk為 Ξ 的第k列,Bik為Bi的第k列,·為點乘運算;

(5)重復步驟(2)～ (4),直到達到最大迭代步數或者解收斂.

2 控制器設計

對于線性系統,其性能泛函是狀態變量和控制變量的二次型函數的積分,則這樣的最優控制問題稱為線性二次型最優控制問題,線性二次型調節器(LQR)可以得到狀態線性反饋的閉環最優控制率[30].由于求解方便,LQR 的使用非常廣泛,是現代控制理論中最重要成果之一.Koopman 算子理論可以將本文所關心的撓性航天器的非線性控制問題映射到線性控制,因此可以采用LQR 方法設計相應的控制策略.本節基于SINDY 辨識得到的Koopman 算子有限維近似模型,提出了一種LQR 控制器,在后續內容中稱其為Koopman-LQR 控制器.

其中QLQR和RLQR為正定矩陣.Koopman-LQR 控制增益F可以通過求解代數Riccati 方程得到

Koopman-LQR 控制輸入便可以寫為

注意到Koopman-LQR 控制輸入 ΨuLQR需要進行逆變換才能得到實際輸入到撓性姿態動力學系統中的控制力矩,且根據非線性觀測項的選擇不同,Ψu可能為狀態依賴量.因此需要通過狀態依賴轉換矩陣T(x) 計算實際輸入的控制力矩u,如下所示

其中T(x) 為將u映射到 Ψu的變換矩陣,其形式基于Ψu的選取,上標 ? 表示偽逆.變換矩陣T(x) 通常可以基于上一采樣時刻的狀態測量計算得到.

3 觀測函數選取

Chen 等[27]提出了一組觀測函數,并解析得到了SO(3)上剛性航天器姿態動力學的Koopman 算子,但是所提出的觀測函數并不適用于撓性情況,且所提觀測函數中控制輸入的計算要求已知航天器轉動慣量矩陣.本文根據撓性航天器姿態動力學所包含的非線性成分,提出了一組用于SINDY 算法辨識SO(3)上撓性航天器姿態動力學Koopman 算子有限維截斷的非線性觀測函數.

對于帶撓性構件的航天器姿態動力學,非線性觀測選取為如下

因此,基于Koopman 算子理論,在小角速度情況下,撓性航天器姿態動力學可近似地表示為

由于同時需要足夠大的階數保證線性化系統有足夠的精度,以及避免觀測函數項過多而產生較大的回歸誤差,在之后的仿真中都將式(33)～ 式(37)中的觀測函數階數n取為3.

4 仿真分析

在仿真算例中,假設有3 個模態與航天器轉動耦合,其他模態和轉動的耦合系數均為零,并且假設撓性構件上有3 組位移和加速度傳感器,即模態振型矩陣 Φ 可逆,則1.2 節中式(11)成立.

4.1 數據獲取

SINDY 是一種數據驅動算法,因此需要采集訓練數據.基于1.2 節中的撓性航天器姿態動力學數學模型,在MATLAB 中使用ODE45 進行數值仿真,將所得仿真數據作為訓練數據.假設有3 個模態與航天器轉動耦合,只給出前3 階模態參數.撓性航天器的參數如表1 所示.

表1 航天器參數Table 1 Parameters of spacecraft

數據的采樣間隔取為0.01 s,初始條件為: 隨機的初始旋轉矩陣R(0) 和隨機初始角速度ω(0)∈[-0.01,0.01] rad/s,撓性構件初始模態坐標參數為q(0)=0,(0)=0 .將控制力矩設為如下形式的正弦激勵

其中aj∈[0,1],bj∈[0,2],cj∈[0,2π],j=1,2,3,Amp=0.1.

將在以上隨機初始條件和控制力矩下得到的160 組,時間為4 s,數據長度為401 的狀態軌跡用作訓練數據.SINDY 算法所需要的導數數據由五點法數值微分得到,因此實際上訓練數據為160 組數據,每組包含396 組采樣.

4.2 撓性姿態動力學SINDY 模型

取SINDY 算法中稀疏提升系數為λ=1×10-5.基于數據得到SINDY 模型,并使用均方根誤差來評估模型對訓練數據的擬合程度

其中‖ ‖2表示矩陣的2 范數.

SINDY 模型對訓練數據的均方根誤差為RMSEtrain≈1.2×10-9.另外將40 組長度4 s 的隨機初始條件出發的采樣數據作為驗證數據集,模型對驗證數據集的均方根誤差為RMSEverify≈1.5×10-9.結果表明SINDY 模型對訓練數據的擬合精度高,且具備良好的泛化能力.

為驗證數據驅動模型的預測精度,進行20 組隨機初始條件下的仿真,其結果與數值解的誤差表示了模型預測精度.由于需要驗證撓性構件存在初始振動的情況下的數據驅動模型的預測精度,將初始模態坐標設為非0,其范圍如下

角速度預測誤差由角速度中各個元素的平均誤差Errω來表示

旋轉矩陣預測誤差由旋轉矩陣中各個元素的平均誤差ErrR來表示

撓性航天器姿態動力學SINDY 模型的50 s 內的預測誤差如圖2 所示.圖2(a)顯示角速度預測誤差在大約 ±1.6×10-5rad/s 范圍內,圖2(b)顯示50 s內旋轉矩陣預測誤差在 ±1×10-3范圍內.

圖2 SINDY 模型預測誤差Fig.2 Predict error of SINDY model

結果表明SINDY 算法準確辨識到了姿態動力學系統在提升空間中對應的非線性成分,證明了數據驅動建模的有效性.而對于撓性航天器姿態動力學Koopman 算子有限維截斷,即式(27),也需驗證其預測能力.Koopman 算子有限維截斷的預測誤差如圖3 所示,結果表明由于忽略了更高階非線性項成分,誤差相對SINDY 模型有明顯增大.

圖3 Koopman 模型預測誤差Fig.3 Predict error of Koopman model

由于回歸誤差和軟件計算誤差等因素,SINDY模型不能完全精確地得到非線性動力學中有效項的系數,特別是其對應系數小的情況,這是影響模型精度的主要原因.事實上,非線性函數項越多,在回歸過程中產生的誤差越大.注意到無論是SINDY 模型還是截斷的Koopman 算子,其角速度的預測精度都要好于旋轉矩陣的預測精度,這是由于表示旋轉矩陣的非線性觀測項要多于表示角速度的項,并產生了相對更大的回歸誤差.因此,簡單地增加更多觀測函數項并不一定能夠提高模型精度.

4.3 撓性姿態動力學Koopman-LQR

基于4.2 節得到的線性化模型,根據第2 章內容設計LQR 控制器.本節中仿真的采樣間隔設為0.2 s,在Koopman-LQR 作用下,進行20 組時長為200 s的隨機初始條件出發的仿真.

Koopman-LQR 控制器的代價函數參數可以寫為如下形式

其中權重矩陣QR,Qω,Qw對應旋轉矩陣R,角速度ω和撓性件位移 δ,QRω對應R和 ω 耦合項,RΨu對應控制耦合觀測 Ψu.根據第3 章中的觀測函數的選取,令QR=100I9,Qω=20 000I3,QRω=0,Qw=1000I6,RΨu=I138.

定義姿態誤差指標函數為

定義撓性構件振動的指標函數為

其中,q為模態坐標,m為模態坐標的數量.

20組仿真結果如圖4 所示,圖4(a)為姿態跟蹤誤差,結果表明在不同初始條件下Koopman-LQR 控制器均能在120 s 內將撓性航天器姿態誤差V1控制到 1×10-3范圍內.圖4(b)顯示Eq在40 s 內快速減小到0.1 內,其中子圖表明撓性構件振動在大約100 s前被抑制到很小范圍內.仿真結果表明在SINDY 辨識的Koopman-LQR 控制器能夠將航天器姿態有效控制到目標姿態,并且抑制住撓性振動.

圖4 隨機初始條件下的20 組仿真Fig.4 20 simulation results with random initial condition

仿真使用的計算機處理器為Intel i7-11700.在仿真過程中,Koopman-LQR 控制器平均單步所需計算時間大約為1.7 ms,實際上可以采用更高的采樣頻率.

此外,為了解代價函數參數對Koopman-LQR 控制器性能的影響,從同一初始條件出發,對比不同代價函數參數的Koopman-LQR 作用下的結果.共7 種不同的QLQR和RLQR的選取方案,如表2 所示,其中情況3 與先前的仿真中的選取一致.從相同的初始條件出發進行仿真,姿態跟蹤誤差V1如圖5(a)所示,撓性構件振動指標函數Eq如圖5(b)所示.

表2 不同的 QLQR 和 RLQR 選取Table 2 Different chosen of QLQR andRLQR

圖5 不同 QLQR 和 RLQR 對Koopman-LQR 姿態控制的影響Fig.5 Influence of different QLQR andRLQR

觀察圖5(a) 和圖5(b),表2 中情況3 與情況6 比較表明,增大QLQR中旋轉矩陣元素對應權重系數可以減小控制時間;情況3 和情況5 對比表明增大QLQR中角速度 ω 對應權重系數,能夠限制控制器的響應速度,獲得更平滑的控制效果,但意味著需要更多時間才能控制到期望姿態.通過選取不同的RLQR可以調節控制時間,但如圖5(a)中情況6 和情況7 所示,RLQR過大可能會導致控制器出現超調現象.從圖5(c)可以看出,情況1,2,3 在100 s 時撓性構件振動顯著大于情況4,這意味著增大QLQR中撓性構件模態坐標對應參數能增強Koopman-LQR的振動抑制能力.

除了進行姿態控制,在協同或同步任務中,撓性航天器往往需要與目標航天器或相鄰航天器的運動同步,這就需要控制器既能夠高精度地跟蹤預定軌跡,也能夠抑制撓性構件的振動.因此對本文所提控制器跟蹤時變期望姿態的情況進行仿真.

假設期望姿態的軌跡為滿足初始時刻姿態為R(0)=I3的剛性航天器運行軌跡,其角速度滿足如下方程

撓性航天器初始姿態矩陣為I3,初始角速度為rad/s,初始模態坐標為q=0,=0 .實際上,姿態跟蹤性能也受到代價函數參數的影響.將LQR 代價函數參數選取為表2 中的其中情況,分別進行長度為500 s 的仿真.

跟蹤時變期望姿態的仿真結果如圖6 所示,圖6(a)為角速度 ω1的跟蹤誤差,而圖6(b)為旋轉矩陣的跟蹤誤差.結果表明,在不同的代價函數參數選取情況下,Koopman-LQR 能夠很好地抑制振動并跟蹤期望姿態,姿態跟蹤誤差大約在 [0,2.5×10-3] 范圍內,而角速度 ω 中第一個元素 ω1的跟蹤誤差大約在±2×10-3rad/s范圍內.

圖6 不同代價函數參數 QLQR 和 RLQR 對Koopman-LQR 姿態跟蹤效果的影響Fig.6 Influence of QLQR and RLQR on attitude tracking

將圖6 中情況1,2,3 和情況4 的結果相對比,發現撓性構件參數 δ 在代價函數中權重越高,振動抑制效果越好,但姿態跟蹤誤差增大.將情況3 與情況5 以及情況6 的對比發現,QLQR中旋轉矩陣和角速度 ω 對應權重系數越大,姿態跟蹤誤差越小.

以上姿態控制和姿態跟蹤的兩個算例說明了Koopman-LQR 控制器的計算效率較高,且具有不錯的控制精度.但由于代價函數中參數的選取對所提控制器性能的影響比較大,需要根據需求選取合適的代價函數.

4.4 Koopman-LQR 與傳統最優控制對比

為了評估本文所提控制器的控制器性能,將Koopman-LQR 控制器與狀態依賴Riccati 方程(SDRE)控制器進行對比.SDRE 控制器最初用于解決仿射非線性系統控制問題,作為線性LQR 控制理論在非線性系統上的推廣,其簡化了非線性優化問題中HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman)方程的求解,避免了求解兩點邊值問題[31].

對于SO(3)上撓性姿態動力學,通過在每一時間步迭代求解離散時間形式的狀態依賴仿射系統的Riccati 方程得到全狀態反饋控制率.為了對比,令SDRE 代價函數與Koopman-LQR 代價函數形式相同.SDRE 控制器的具體設計見附錄.

從同一初始條件出發,采樣間隔為0.2 s,進行時長200 s 的仿真.SDRE 控制器與Koopman-LQR 的前120 s 仿真結果對比如圖7 和表3 所示.其中圖7(a)為姿態跟蹤誤差V1,圖7(b)為式(44)中定義的撓性振動指標函數Eq.另外,將跟蹤時變期望姿態情況下Koopman-LQR 和SDRE 的性能進行對比,初始條件和期望姿態取為與4.2 節中一致,過程中的最大姿態跟蹤誤差如表3 所示.

表3 Koopman-LQR 與SDRE 結果對比Table 3 Comparison between Koopman-LQR and SDRE

圖7 Koopman-LQR 與SDRE 的對比Fig.7 Comparison between Koopman-LQR and SDRE

圖7(a)和圖7(b)表明在兩種控制器代價函數J形式相同的情況下,SDRE 控制器與Koopman-LQR的效果比較接近,SDRE 控制器相對更快地將撓性航天器控制到期望姿態.表3 結果表明SDRE 跟蹤時變姿態的姿態誤差要小于Koopman-LQR.而圖7(c)表明Koopman-LQR 對撓性振動的抑制要好于SDRE.在計算效率方面,SDRE 控制器共用時約17.9 s,Koopman-LQR 共用時約1.7 s,這是由于SDRE 控制器在每一采樣間隔內都需要求解代數Riccati 方程,使得其計算效率相對更低.表3 中第3 行是跟蹤時變期望姿態情況下的最大姿態跟蹤誤差,結果表明Koopman-LQR 和SDRE 均能夠使以較高精度使航天器跟蹤期望姿態.由于在線求解最優控制的緣故,SDRE 的姿態跟蹤的精度相對更高.

綜合來看,不像SDRE 那樣需要對航天器姿態動力學進行精確建模,Koopman-LQR 只基于數據驅動辨識模型進行設計,雖然相較于SDRE 控制器控制精度有所不如,但是Koopman-LQR 具有計算效率更高和對撓性振動的抑制效果更好的優勢.

5 結論

本文提出了一組觀測函數用于數據驅動辨識得到SO(3)上撓性航天器姿態動力學的Koopman 算子的有限維截斷.觀測函數構建為旋轉矩陣與姿態角速度及其部分耦合項,還包括撓性構件測量點位移與加速度和它們與姿態角速度和旋轉矩陣的耦合項.基于SINDY 算法,通過拓展觀測項和引入高階補償項來得到提升空間上的撓性航天器姿態動力學的廣義線性模型和截斷Koopman 算子.使用SINDY模型,可以以較高精度預測航天器狀態軌跡,而其線性部分即截斷的Koopman 算子也能在一定時間內以一定精度預測系統未來狀態.此外,基于Koopman算子理論設計了一個LQR 控制器,能夠實現撓性航天器姿態控制以及振動抑制,且該控制器能夠以較高的計算效率實現接近最優的控制效果.

未來將考慮數據存在噪聲和航天器存在外界擾動(如重力梯度力矩)的情況,并嘗試將數據驅動方法與Koopman 理論用于航天器集群控制等領域.

附錄A SDRE 控制器

考慮如下非線性系統

將上式寫為控制仿射形式,即

其中,f(x)=A(x)x.上述控制仿射形式方程具有如下形式的無線時間性能函數

為了確保局部穩定,對于任意x,Q(x) 須為半正定矩陣,R(x)為正定矩陣.上式可以看作線性LQR 方法在非線性控制里的推廣.若P(x) 是滿足如下狀態依賴代數Riccati 方程(SDRE)的正定解

則控制輸入可以表示為

在每一采樣間隔內,將狀態依賴系統視為線性時不變系統,便可通過求解時不變代數Riccati 方程得到控制量.

其中u∈R3為控制力矩,,J為航天器轉動慣量矩陣.在A(x) 和B(x) 中

其中rij為旋轉矩陣R的元素.

其中

其中Jij為航天器轉動慣量矩陣J的元素.

其中m為模態坐標數量,K為模態剛度矩陣,C為模態阻尼矩陣.

SDRE 控制代價函數形式為

為保證SDRE 的代價函數與Koopman-LQR 一致,且注意到Koopman-LQR 的控制量是在觀測函數空間的,因此對應的控制代價參數需要進行相應變換,即令其中為從u到 Ψu的狀態依賴變換矩陣.在小角速度情況下,有另外,由于在Koopman 建模中采用的是撓性構件位移w,而本節中狀態依賴控制仿射系統使用模態坐標q,因此也需進行變換以保證代價函數x形式一致.由于有,則

其中P(x) 是滿足如下方程的正定解