高置信水平結構逆可靠度分析與優化方法研究進展1)

郝 鵬 楊 浩 馮少軍 王 博

* (工業裝備結構分析優化與CAE 軟件全國重點實驗室,遼寧大連 116024)

? (大連理工大學工程力學系,遼寧大連 116024)

引言

不確定性客觀存在于工程結構生產制造以及服役等各環節之中,并呈現出來源廣(材料偏差、制造誤差和載荷偏差等)、隨機性強(位置和分布形態不確定)等特點.傳統的基于安全系數的確定性設計方法難以表征多源不確定性的傳播規律,易致使結構設計過度冗余.尤其是對于服役條件愈發苛刻的航空航天重型承載裝備,結構極致輕量化與高可靠度的矛盾日益凸顯[1-2].其中,結構可靠度優化設計是航天裝備運行安全和性能保障的關鍵,是共性的備受關注的研究方向[3].

結構可靠度分析旨在精確量化各類不確定性因素對結構使役性能的影響,就概率模型而言,其關鍵在于如何精確高效地計算失效概率[4].然而聯合概率密度函數的失效域形狀往往極其不規則,難以直接積分求解.雖然模擬/抽樣法(simulation/sampling method)可以通過統計學手段計算失效概率[5],但其超高計算成本限制了其在實際復雜工程問題的應用.因此,目前常用的結構可靠度分析方法主要包括正向可靠度分析[6]和逆可靠度分析(inverse reliability analysis)[7-8].其中,逆可靠度分析作為一種高效近似求解方法[9],受到了廣泛關注.然而,其算法性能受問題復雜程度影響劇烈,尤其是在處理高耗時的實際工程問題時仍存在較大波動[10].以航天結構為例,愈發大型化、復雜化的結構形式以及輕量化高可靠性需求致使結構強度函數非線性程度增加和失效域性態更為復雜,這對逆可靠度分析算法計算精度、效率和穩健性帶來巨大挑戰.

結構可靠度優化方法可以有效幫助設計人員實現慮及各類風險的結構精細化設計,其本質是一個雙層嵌套的優化列式.內層概率約束的計算直接決定了算法的精度和收斂性態,而優化策略也會進一步影響其計算效率和魯棒性.目前可靠度優化策略大體上可分為雙循環[11]、單循環[12]、解耦[13]以及變循環方法[14].其中,雙循環方法是基礎,但所需計算成本也最高.其他先進策略可以提升計算效率,但也在一定程度上損失了算法的精度和魯棒性.此外,由于航天裝備的精密性及重要性,其組成構件允許的結構失效概率極低,這使得失效概率的置信水平直接關系到結構設計的合理性[15].具體來說,受限于試驗成本和觀測手段等因素,實際工程問題中往往難以獲得充足樣本構建精確不確定性量化模型,致使結構失效風險無法精確評估.因此,非充分樣本下的結構精準可靠度設計成為了當下學術界和工程界共同關注的熱點問題[16-18].

隨著近幾十年的不斷發展,結構可靠度分析及優化設計理論日趨完善,正推動著結構設計從傳統確定性向可靠性再到精準可靠性方向轉變,如圖1.鑒于逆可靠度分析及優化方法的廣泛應用,本文將重點圍繞其開展介紹,重點關注強非線性功能函數、多設計點(multiple design points)、低失效概率問題下的算法精度、效率、穩定性和置信水平,并對未來結構可靠度優化發展方向進行展望.

圖1 結構設計方法發展歷程Fig.1 History of structural design methods

1 結構可靠度設計基本理論

結構可靠度優化設計(reliability-based design optimization,RBDO)是一種將結構可靠度分析與優化設計理論相結合的方法,旨在給出滿足概率約束的最低成本或最優性能結構,其數學模型可以表示為

其中,d是確定性設計變量;X和P分別為隨機設計變量和隨機參數,表征結構的各種不確定性;μX和μP分別為X和P的均值;上標 L 和 U 表示變量的上下界;f(·) 為目標函數,例如結構質量、制造成本等;gi(·) 表示結構的第i個約束函數,n為約束的個數;是第i個約束容許的最大失效概率;Pfi為第i個約束的實際失效概率,可由隨機變量失效域內聯合概率密度函數的積分計算得到

其中,g(d,X,P)≤0 表示結構失效;fX,P(x,p) 表示隨機變量的聯合概率密度函數(joint probability density function,PDF).通常情況下,式(2)的多重積分問題難以直接求解.因此,常采用可靠度指標法(reliability index approach,RIA)或者功能度量法(performance measure approach,PMA)來近似計算.

1.1 可靠度指標法

針對概率約束難以求解的問題,Nikolaidis 等[19]學者提出了RIA,也被稱為正向可靠度分析法.其中,失效概率Pf與可靠度指標 β 的關系式

式中,Φ(·) 表示標準正態累計分布函數(cumulative distribution function,CDF);βi為第i個約束的可靠度指標.因此,式(1)中的概率約束可表示為

其中,Φ-1(·) 為標準正態逆累計分布函數;Fgi(·) 為約束gi的CDF;表示第i個約束目標可靠度指標值.將概率約束替換為可靠度指標約束后,可得基于RIA 的可靠度優化列式

其中,可靠度指標 β 的求解本身也是一個優化問題.因此RBDO 的本質為一個雙層嵌套的優化問題.當前均值點的可靠度指標 β 可以通過求解標準正態空間中的優化問題得到[20],如下

其中,u為標準正態空間下的隨機變量;G(·) 為標準正態空間下對應約束函數值.

1.2 功能度量法

20 世紀90 年代末,Tu 等[21]發現當可靠度指標較大時,RIA 會出現收斂性問題.為了提高可靠度優化的穩健性,Tu 等[21]對式(4)采取逆變換給出了逆可靠度問題的數學定義

并在此基礎上提出了功能度量法,即PMA.該方法通過最小功能目標點(minimum performance target point,MPTP)處的功能度量值來判斷當前均值點是否滿足概率約束.基于PMA 的可靠度優化列式可寫作

式中u*為標準正態空間中的MPTP;Gi(u*) 為目標可靠度環上的最小功能函數值,可通過標準正態空間中的逆可靠度分析過程求解

此優化過程的最優解即為u*.

2 逆可靠度分析方法

相比于RIA,逆可靠度分析算法性能得到一定提升,但其在處理復雜工程問題時仍存在著穩定性差、計算精度不足、計算效率低等問題,如圖2.因此,本章重點圍繞逆可靠度分析中3 個難點問題(強非線性功能函數、多設計點和低失效概率),對現有算法開展介紹.

圖2 逆可靠度分析方法面臨的難點問題Fig.2 Challenging issues in the inverse reliability analysis methods

2.1 強非線性功能函數問題

面對強非線性功能函數,逆可靠度分析方法易出現周期解和振蕩,甚至不收斂等現象,導致算法穩健性差及計算成本高等問題[22-25].為此,國內外學者開展了大量研究[26-29]以期進一步提高算法綜合性能.

改進均值法[30](advanced mean value method,AMV method)是最具代表性的方法之一,其迭代格式為

雖然AMV 方法在一定程度上改善了計算精度,但是在處理強非線性功能函數時,仍存在收斂困難.為此,Youn 等[31]提出了共軛均值法(conjugate mean value method,CMV method).相比AMV 方法,CMV 法提供的新迭代下降方向,對于凹功能函數具有更穩定的計算效果.但其在處理凸功能函數時無法避免產生冗余的計算過程.混合均值法(hybrid mean value method,HMV method)[31]結合了AMV和CMV 方法的優勢,提出了功能函數類型辨別準則,根據判斷結果自動選擇合適的迭代算法.但是,對于強非線性功能函數,HMV 方法仍可能無法收斂[32].

隨著研究的深入,Yang[33]指出,逆可靠度分析迭代過程可視為一種離散動態系統,當動態系統的雅克比矩陣特征值符合某種條件時,它的解在特定參數區間可能會出現發散、周期振蕩、分岔和混沌現象[34].因此,Yang 等[35]引用混沌理論[36-37]分析了AMV 迭代過程,并基于混沌反饋控制提出了混沌控制方法(chaos control method,CC method)來改善AMV 的收斂性態.該方法可以表示為

其中 λ 為控制因子,C為n×n維的對合矩陣,通常取為單位矩陣.

為了進一步提升CC 方法的穩健性,Meng 等[38]將CC 方法得到的迭代點延伸至β環,并在此基礎上提出了修正混沌控制方法(modified chaos control method,MCC method).對于MCC 方法,選擇合理的控制因子 λ 是保證高效穩健的基礎,然而對于實際工程問題,其功能函數的非線性程度難以預知,為保證算法收斂性通常需要選取較小的控制因子,導致MCC 方法對凸功能函數問題效率不高.

為此,部分學者通過自適應調節機制來平衡計算效率與穩健性.Li 等[39]充分利用迭代過程信息,提出了自適應混沌控制方法(adaptive chaos control method,ACC method) 來對 λ 進行動態更新,但ACC 方法高效穩定的計算效果依賴于控制因子 λ 的初值.Hao 等[40]基于混沌控制理論提出了一種增強混沌控制方法(enhanced chaos control method,ECC method),通過引入了Wolfe-Powell 準則[41-42]對控制因子進行二次更新,保證了算法的超線性收斂.進一步,Yi 等[43]在自適應步長迭代法中引入了一個新步長調節機制來控制迭代過程的收斂性態.但Jiang等[44]指出,對于復雜性態功能函數,其步長調節機制可能會失效.因此,Hao 等[45]從迭代過程的振蕩識別和步長調節機制入手,提出了增強步長調節法(augmented step size adjustment method,ASSA method),通過自適應非線性更新步長對振蕩迭代過程進行調控,提高了算法的效率和穩健性,其迭代過程如圖3 所示.

圖3 ASSA 步長調整過程[45]Fig.3 Step length adjustment process of ASSA[45]

綜上,本節介紹了多種逆可靠度分析方法,并對各方法的優勢與不足進行了系統梳理,如表1 所示.現有算法已基本可以處理一般強非線性工程問題[50],但對于可重復使用運載器等涉及材料、結構剛度退化的時變可靠度問題仍存在算法穩定性、效率的不足,仍需進一步對逆可靠度算法迭代失效機理進行深入研究.

表1 針對強非線性問題各算法優勢與不足Table 1 Advantages and shortcomings of various algorithms for strongly nonlinear problems

2.2 多設計點問題

在屈曲失穩、瞬時沖擊等問題中,分離的失效域可能會導致多個設計點的存在,致使逆可靠度分析在進行設計點搜索時可能會錯過全局設計點落入局部設計點,并因此無法捕獲失效概率的主要貢獻區域[51-52].此外,即使準確搜索到全局設計點,局部設計點對失效概率的影響也是不可忽略的.因此,為保證可靠度分析的精度,諸多學者對多設計點問題開展了廣泛研究.

Der Kiuveghian 等[53]建立了基于一階可靠度(first-order reliability method,FORM)和二階可靠度方法(second-order reliability method,SORM)的序列搜尋與近似策略,提升了逆可靠度方法在多設計點問題中的精度與魯棒性.在上述工作的啟發下,諸多學者[54-56]采用改進的FORM 解決多設計點問題,其分析精度與效率都實現了不同程度的提升.Huang 等[54]基于遷移優化算法(memetic animal migration optimization)對多模態優化問題中存在的多個設計點進行檢測,并采用多點一階可靠度方法評估結構的失效概率.與傳統FORM 相比,系統可靠度預測的準確性得到一定提升.進一步,Chen 等[56]提出了一種更為新穎的面向多設計點問題的可靠度優化方法.該方法通過分析可靠度分析迭代的設計點軌跡來判斷是否存在多個設計點.對于具有多設計點的功能函數,采用解耦策略獲取所有設計點,實現了算法計算效率的提升.

然而相較于傳統單設計點問題,多設計點搜尋極大地增加了逆可靠度分析的計算成本.采用高精度代理模型逼近真實結構輸入與輸出間的響應關系,可以進一步提升逆可靠度分析計算效率[57].Li等[39,58]建立了一種基于Kriging 模型的多設計點問題處理框架,采用粒子群優化(particle swarm optimization)算法搜索全局設計點,在保證結果精度同時提升了計算效率.Wang 等[59]提出了一種基于改進約束邊界采樣策略的全局可靠度優化算法,如圖4 所示.該方法基于Kriging 模型構建并逐步縮小關心區域,利用增強步長調節法、多起點策略和凸點法開展多設計點搜尋,實現計算效率的大幅提升.

圖4 多設計點問題關心區域搜索[59]Fig.4 Searching for concerned region of multiple design points issue[59]

綜上,針對多設計點問題,國內外學者在逆可靠度算法框架下開展了一系列改進研究.但面對更加復雜的工程實際問題諸如火箭級間段分離、可變體飛行器設計,現有方法難以同時兼顧分析精度與效率.隨著近年來深度學習模型[60-61]和支持向量機[62-63]等智能學習算法的不斷發展,基于智能學習模型的可靠度分析方法給解決上述復雜工程問題提供了新契機.

2.3 低失效概率問題

航天結構高可靠性需求意味著發生故障是一個極罕見事件,這要求算法具備低失效概率下結構可靠度評估的能力.由于失效概率數值極小,局部輕微的擾動就可能對算法結果產生重大影響,這對可靠度分析算法的計算精度提出了更高要求.近年來,隨著代理模型的發展,諸如基于主動學習Kriging 的抽樣類方法[64-66]在處理低失效概率問題時取得不錯效果,但考慮到本文重點是逆可靠度分析及優化算法,因此抽樣類方法的相關研究可參考文獻[4,67-69].

由于FORM 是對極限狀態函數的線性展開,其近似誤差較大往往不適用于低失效概率問題,如圖5所示.雖然高階可靠度算法可以精確擬合MPTP 附近極限狀態曲面,但獲取功能函數的高階導數信息通常計算成本極高.因此綜合考慮計算精度和效率,SORM 是更為合理的選擇[70].為此,國內外學者對SORM 開展了大量研究[71-72].Huang 等[73]提出了一種基于鞍點近似的二階可靠度分析方法,省略了二次曲面擬合過程,充分利用二階展開式信息提升計算精度.Mansour 等[74]考慮到二次曲面擬合過程帶來的誤差,提出了一種基于非中心χ2分布的漸近展開閉合概率表達式,有效提升了擬合精度.在此基礎上,Lee 等[75]將卷積積分法[76]應用于改進的二階可靠度方法,獲得了線性組合的分布以減輕運算負擔,有效提升了計算效率.進一步,Hao 等[49]提出了一種基于二階可靠度分析的序列優化和可靠度評估方法.該方法在序列可靠度評估過程中采用對稱秩一算法,利用功能函數一階導數不斷逼近真實Hessian矩陣,以一階可靠度分析的計算成本近似實現了二階可靠度分析的計算精度.Hu 等[77]對現有二階可靠度分析方法進行了全面對比研究,詳細論證了各方法在計算精度和效率上的優勢與不足.

圖5 一階可靠度與二階可靠度方法對比[72]Fig.5 Comparison of FORM and SORM[72]

綜上,相比于一階算法,二階可靠度分析方法可以大幅提升失效概率評估的精度,已被廣泛應用于實際工程問題[78-80].但其在處理極低失效概率問題(通常失效概率小于1.0×10-5)時仍面臨著計算精度、效率不足的問題,仍需進一步結合變量降維[81-84]等方法開展深入研究.

3 結構可靠度優化方法

傳統結構可靠度優化方法大多采用雙循環策略,通過外層確定性優化和內層可靠度分析交替進行確保算法穩定收斂.由于內層與外層需要頻繁交換信息,導致基于雙循環策略的結構可靠度優化設計面臨高昂的計算成本.解耦方法和單循環方法等從優化策略入手,通過將確定性優化和可靠度分析過程進行解耦或融合,大幅提高了計算效率.但這也帶來了計算精度和穩定性的損失.因此,諸多學者通過自適應選擇優化策略的方式提出了變循環策略,進一步平衡算法效率與穩定性.綜上可以看出,各種優化策略均有其獨特優勢[14].因此,本章重點圍繞可靠度優化策略: 雙循環方法、解耦方法、單循環方法和變循環方法展開介紹,如圖6 所示.

圖6 4 種常用可靠度優化策略Fig.6 Four typical reliability-design optimization strategies

3.1 雙循環方法

基于逆可靠度分析的優化設計本質是一個雙層嵌套優化問題,其內層是逆可靠度分析,外層是確定性優化.外層通過確定性優化更新均值點,內層則基于逆可靠度分析求解當前均值點對應的MPTP 及其敏度信息并傳遞至外層優化,內層與外層不斷交替執行直至滿足收斂條件,如圖7 所示.

圖7 雙循環可靠度優化設計方法流程Fig.7 The process of RBDO based on the double-loop strategy

雖然雙層循環策略較為穩定,但在處理復雜性態函數時,其內層逆可靠度分析算法難以兼顧計算精度、效率與穩定性.為此,國內外學者重點從混沌控制和步長調節兩個方面開展研究.通過引入混沌理論,Yang 等[33]提出了CC 方法,大幅改善了AMV方法的收斂性態.在此基礎上,Meng 等[38]、Hao 等[40]和Keshtegar 等[46]提出了一系列控制因子更新策略,進一步提升了CC 方法的計算效率與穩定性.此外,Yi 等[43]、Jiang 等[44]和Hao 等[49]直接從逆可靠度分析迭代步長調節角度開展研究,通過充分利用迭代過程信息實現了對迭代步長的自適應控制.需要說明的是,雖然上述兩類方法在具體策略上存在差異,但本質思想都是根據功能函數性態調控迭代步長大小,在非線性程度較低區域以大步長快速逼近MPTP,而在高非線性區域則以小步長穩定更新.因此,現有雙循環方法基本可以穩定處理大部分實際問題[50].但受自身策略影響,相比于解耦法和單循環法其計算效率通常較低,尤其在處理復雜工程結構可靠度優化時仍存在設計周期過長,計算成本難以負擔等問題.

3.2 解耦方法

解耦類算法將嵌套的內層可靠度分析和外層確定性優化設計進行分離,依次實施常規確定性優化設計和可靠度分析,這樣避免了外層優化每次更新所帶來的內層可靠度分析,有效節約了計算成本.

Du 等[85]提出了序列優化與可靠度評估(sequential optimization and reliability assessment,SORA)方法,給出了廣義上的逆可靠度方法解耦策略

式中d是確定性變量,分別代表第k +1代的隨機設計變量均值 μX和隨機參數均值 μP對應偏移向量.隨機變量向量對應的MPTP 點可由逆可靠度分析方法求得.SORA 的核心思想是將優化設計和可靠度分析解耦形成連續序列循環計算流程,如圖8.在迭代過程中,可靠度分析僅在每次確定性優化之后進行,利用前一次循環的MPTP 信息將確定性優化設計的約束向可行域內移動一定距離來近似替代可靠度約束,并通過迭代不斷修正等效約束,使其逐漸逼近真實可靠度約束.

圖8 SORA 方法移動約束邊界策略[85]Fig.8 Shifting constraint boundary strategy of SORA method[85]

Yang 等[86]用一個含有高維約束的復雜工程算例對各類可靠度優化算法進行測試,指出SORA 算法相較其他方法具有一定優勢.Valdebenito 等[87]通過對比研究也得出了類似結論.但Chen 等[88]指出,當功能函數呈現強非線性時,SORA 算法仍存在計算精度不足的問題.為此,Chen 等[88]提出了最優平移向量法,通過尋找平移后的極限狀態函數gi(u+τu)=0與逆可靠度β環切點的方式進行修正,進而提高算法精度與效率,其中 τ 為平移系數.Yin 等[89]采用MPTP 的正切向量對SORA 方法的偏移向量進行修正,提升了傳統SORA 方法處理可變方差設計問題的性能.Zhang 等[90]提出了基于概率密度函數的性能偏移法(PDF-based performance shift approach,PPSA),通過性能轉移策略將違反的約束移向可靠區域,相比傳統SORA 方法有更高的計算效率.進一步地,Zheng 等[91]將PPSA 策略應用于可靠度拓撲優化,驗證了PPSA 算法的通用性.

近年來,解耦類算法受到了諸多學者的關注與應用[92-93].Wang 等[94]將SORA 拓展至非概率時變多系統可靠度問題.Zhang 等[95]將SORA 拓展至基于可靠性的控制協同設計問題,展示了解耦類算法優秀的計算效率與通用性.

3.3 單循環方法

單循環方法采用最優化條件或者其他手段重新建立可靠度優化列式,成功將內層循環中的可靠度約束函數直接轉化為確定性約束函數,使得原本雙層嵌套的可靠度優化列式退化為傳統的確定性優化,消除了內層逆可靠度分析過程所帶來的巨額計算成本,從而大幅提高了計算效率.

Kuschel 等[96]和Agarwal 等[97]利用一階KKT最優化條件將內層概率約束轉化為外層優化設計的約束條件,但在其消除內層循環的同時也引入了新設計變量同時涉及二階導數的計算,這也增加了額外計算負擔.為此,Chen 等[98]提出單循環單設計向量法(single loop single design vector method,SLSV).該方法利用標準化梯度向量將均值點與MPTP 關聯,在每次迭代中,通過更新上一循環MPTP 處標準化梯度向量近似求解此時MPTP,進而構造確定性優化問題的可行空間,如圖9 所示.

圖9 SLSV 算法的基本概念[99]Fig.9 Basic concept of the SLSV algorithm[99]

然而SLSV 方法并不穩定,其收斂性易受功能函數非線性程度影響,因此國內外學者基于SLSV開展了大量研究.Jeong 等[99]采用共軛梯度法對SLSV 最速下降標準化梯度進行修正,改善了SLSV方法處理非線性問題時的收斂性態,但卻降低了其處理凸功能函數的效率.Lind 等[100]提出了探索式單變量單循環方法(SLSV using probing,SLSVP),結合3 次樣條函數提升MPTP 近似精度.Liang 等[101]基于KKT 最優化條件擴展了SLSV 法,提出了單循環方法(single-loop approach,SLA),實現了有效約束集的自動識別,節省了冗余約束梯度的計算.此外,Meng 等[102]和Keshtegar 等[103]也基于SLA 提出了相應改進算法.

總的來說,單循環方法理論上具備略低于確定性優化的計算效率.同時隨著研究的深入,其迭代過程穩定性也逐步提升,因此在面對非線程程度不高的工程問題時,單循環方法可以幫助設計人員快速完成可靠度優化設計.

3.4 變循環方法

解耦類方法雖然穩定精確,但面對高耗時的復雜問題時,其內層可靠度分析環節降低了整體優化效率;而單層循環方法雖然效率高,但是計算精度相對較差.綜合考慮各策略優勢,各類變循環的方法是近些年研究的新趨勢[104-105].

Youn 等[14]充分結合確定性,雙層循環以及單循環方法的優勢提出了自適應循環方法(adaptiveloop method,ALM),在優化初始階段采用確定性優化快速逼近最優解,當設計點足夠接近約束時切換為雙層循環方法,后續為減少雙層循環在最優解附近振蕩所帶來的計算負擔,利用單循環方法快速獲得最優解.同時Youn 等[14]也指出該方法各優化策略的切換依賴于設計臨界參數 εd,其取值對于變循環方法的效率及穩定性有很大影響.為此,Li 等[39]提出了函數類型識別準則,當前后兩迭代點處功能度量值異號時,采用雙層循環方法搜尋真實MPTP以穩定迭代過程,反之直接利用單循環方法近似得到MPTP 節省計算負擔.Jiang 等[44]則采用迭代控制策略,在SLAIA 基礎上發展了自適應混合單循環方法.

為了追求雙循環方法中概率約束的精確計算,且保證單循環方法的高效性,Li 等[106]提出了一種混合自適應單循環方法,該方法將自適應修正混沌控制方法與單循環方法相結合,可實現復雜RBDO問題的穩定收斂.進一步,Hao 等[107]在單循環方法和增強混沌控制方法的基礎上,提出了一種高效變循環(efficient adaptive-loop method,EAL method)方法.該方法通過單/雙循環序列切換、最優設計可靠度檢測和無效約束檢測刪除機制,在不犧牲計算精度的前提下提高了優化效率,具體的迭代過程如圖10 所示.

圖10 EAL 方法的迭代過程[107]Fig.10 Iterative process of EAL method[107]

綜上,本章詳細介紹了基于雙循環、解耦、單循環和變循環策略的可靠度優化方法的研究進展,深入討論了各方法的優勢與不足.從現有文獻中可以發現,變循環方法整合了多種策略的優勢,可以最大程度兼顧計算精度、效率與穩定性,因此更加適用于處理各類復雜工程問題.

4 面向非充分樣本的置信度優化設計

概率模型通過概率分布函數對各種不確定性因素的變化范圍和可能性進行描述,從而為結構的可靠度分析和優化設計提供支撐.然而,受限于經濟和時間成本等因素,在工程實踐中往往難以獲得足夠的樣本數據以構建高精度的概率模型.非充分樣本數據將致使概率模型存在偏差(如圖11 所示),導致傳統可靠度分析和優化設計結果產生較大誤差,無法準確預測結構失效概率[108].因此,為提高結構可靠度設計結果的置信度,開展精準可靠度設計方法研究具有重要意義.

相關研究表明[109-111],合理的不確定性量化模型和參數選擇可以顯著提高可靠度分析和優化設計的精度.Hao 等[112-113]基于航天薄壁結構制造特征數據庫,建立了一種雙階段隨機場參數估計方法,實現了有限樣本下的幾何缺陷場高精度不確定性量化,從數據源頭提高了模型置信度水平.Ito 等[114]引入了認知可靠度指數(epistemic reliability index,ERI)概念,通過將ERI 融入到目標可靠度指標來提高最優設計的置信水平.隨著研究的深入,諸多學者發現貝葉斯方法可以更直觀有效地量化非充分樣本誘發的模型認知不確定性[115-116].Gunawan 等[117]提出了一種適用于非充分樣本的可靠度優化方法,采用貝葉斯二項式推理技術提升最優設計結果的置信度.受上述研究啟發,Moon 等[118-121]和Cho 等[122]建立了系列方法以實現精準可靠度設計,其核心思想在于利用貝葉斯理論對不確定性變量的分布類型和分布參數進行精確量化,并利用置信水平衡量可靠度的準確程度.相關研究推動了精準可靠度設計的快速發展.因此,本章將詳細介紹基于置信水平的非充分樣本精準可靠度設計方法.

4.1 可靠度的置信水平

在非充分樣本集*X的基礎上,結構可靠度的概率密度函數可表示為,其中Rs表示可靠度;ζ 表示指定的分布類型;ψ 表示指定的分布參數.根據貝葉斯理論,此概率密度函數可進一步寫為

其中,f(Rs|ζ,ψ,*X)表示給定分布類型ζ和分布參數ψ下的可靠度的PDF;表示給定分布參數和非充分樣本條件下,指定分布類型為 ζ 的概率.由于分布類型為離散變量,因此使用概率質量函數對其進行量化;為給定非充分樣本條件下,指定分布參數 ψ 的概率.

對非充分樣本條件下可靠度的PDF 進行積分,可得到結構可靠度達到指定目標值的概率,即結構置信水平[122]

其中,CL為結構目標可靠度Rs的置信水平;FRs(·)表示Rs的累積分布函數,其求解需對分布類型 ζ、分布參數 ψ 和可靠度 ? 進行積分.其中 ? ∈[0,1] .

進行非充分樣本下的結構置信度分析,需對分布參數的不確定性進行量化.在正態假設下,均值μ和方差s分別服從正態和逆Gamma 分布,其概率密度函數可表示為

將RBDO 中的可靠度約束替換為可靠度的置信水平約束,可得到基于置信度的優化設計(confidence based design optimization,CBDO)列式,如下

其中,為第j個約束的目標可靠度;C為第j個約束可靠度的目標置信水平.為了便于介紹,式(16)中將隨機參數省略.

4.2 置信度優化設計方法

蒙特卡洛模擬方法(Monte Carlo simulation,MCS)可以求解置信度約束[122],但其計算成本難以負擔(1012次函數調用).為提高計算效率,Jung 等[123]提出了可靠度度量方法(reliability measure approach,RMA).RMA 在標準正態參數空間中搜索設計點,以最小可靠度的求解過程代替基于MCS 的置信水平評估,具體優化列式為

其中,p為標準正態參數空間內的分布參數;Fsi(·)為分布方差的CDF;Fμi(·) 為分布均值的CDF.

RMA 可以提高非充分樣本下CBDO 的計算效率,但仍需通過MCS 方法計算迭代點的失效概率,致使3 層嵌套循環仍面臨計算效率低和穩定性差等問題.為此,Wang 等[124]提出了一種基于單循環方法的置信度優化框架(single-loop approach-based confidence-based design optimization,SLA-CBDO),該框架利用完全功能度量法、二階可靠度分析方法和單循環策略,將中層循環的置信水平評估和內層循環的可靠度分析過程進行融合,從而將原本3 層嵌套的置信度優化框架降為兩層,實現計算效率的提升.

但Hao 等[125]研究發現,SLA-CBDO 的近似策略在面對復雜問題時仍存在精度不足的問題.為此,Hao 等[125]提出了一種序列單循環可靠度優化與置信度評估方法(sequential single-loop reliability optimization and confidence analysis method,SROCA method),其優化過程如圖12 所示.該方法首次實現了3 層嵌套循環CBDO 的完全解耦并將難以求解的三重積分計算轉換為最危險概率模型的優化問題,大幅提高了計算效率.同時該方法還建立了基于矩積分規則的置信度極限狀態超曲面擬合方法,實現計算精度的同步提升.相比傳統方法,SROCA 的計算效率提升了2 個數量級,同時達到了與MCS 相當的精度水平,解決了非充分樣本下置信度優化難以實際應用的困境.

圖12 SROCA 優化過程示意圖Fig.12 Diagram of SROCA optimization process

5 結論與展望

本文回顧了結構逆可靠度分析及優化方法的發展歷程并對重點方法進行了詳細論述.在可靠度分析方面,從其面臨的強非線性功能函數、多設計點和低失效概率3 個難點問題出發,對現有逆可靠度分析方法進行梳理和歸納.在可靠度優化方面,圍繞雙循環、解耦、單循環和變循環方法,對不同算法的優缺點進行比較分析.進一步,針對工程中常見的小樣本問題,重點介紹了基于可靠度置信水平的精準優化設計方法.總的來說,現有方法已具備處理復雜工程問題的能力,并已廣泛應用于航空航天結構的設計,如圖13 所示.但正如《2021 中國的航天》白皮書中指出的,可重復使用運輸系統和航班化發射新技術是未來航天結構的發展方向.愈發復雜的結構系統與運載器可重復使用需求對現有研究提出了新的挑戰.因此,還需從以下3 方面開展系統研究.

圖13 逆可靠度分析與優化方法的工程應用Fig.13 Engineering applications of inverse reliability analysis and optimization methods

(1) 時變可靠度分析: 針對抗力性能和剛度退化誘發的結構失效問題,發展數據驅動的結構壽命評估理論與方法;

(2) 結構系統可靠度分析: 針對復雜裝備系統多失效模式耦合導致系統失效風險難以準確評估問題,發展基于概率圖模型的結構系統可靠度分析方法;

(3) 結構系統可靠度智能設計: 為縮短復雜結構系統設計周期,發展基于智能學習模型的結構系統可靠度優化方法.