一種Birkhoff形式下結構動響應問題的保辛中點格式

邱志平, 邱 宇

(1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院,北京 100191;2.北京航空航天大學 沈元學院,北京 100191)

1 引 言

結構動響應預測是工程中非常重要的問題,同時是結構振動控制和載荷識別的基礎[1]。結構動響應預測主要依靠的是動力學分析的相關方法,而傳統(tǒng)的結構動力學分析主要基于Lagrange體系,以變分原理為基石[2],且基于此已經發(fā)展出了成熟且應用廣泛的分析方法。Hamilton對經典力學重新表述并基于此建立了Hamilton力學體系,相較于Lagrange體系其具有明顯的辛結構[3]但是不具有對應的變分原理。由Birkhoff[4]提出的Birkhoff系統(tǒng)是Hamilton系統(tǒng)最自然的一般推廣,同時擁有辛結構和相應的變分原理[5]。其考慮耗散項,相比Hamilton系統(tǒng)能夠涵蓋更多的實際力學系統(tǒng)。因此,利用Birkhoff系統(tǒng)的相關方法和原理求解結構動響應問題具有重要的意義。

目前,Birkhoff方程的求解方法大多從Hamilton算法[6-9]推廣而來。張興武等[10]將哈密頓辛差分格式推廣至自治Birkhoff系統(tǒng),利用Cayley變換構造了自治Birkhoff系統(tǒng)的歐拉中點等辛差分格式?；诠茴D系統(tǒng)的生成函數(shù)法,蘇紅玲等[11]提出了構造Birkhoff系統(tǒng)辛算法的生成函數(shù)法。近年來,文獻[12-14]基于Paff-Birkhoff變分原理,通過離散方法直接獲得了約束Birkhoff系統(tǒng)等的Birkhoff辛算法。

然而,以上方法仍然存在局限性。自治Birkhoff系統(tǒng)的歐拉中點格式要求反對稱系數(shù)矩陣非奇異,因而無法適用于奇數(shù)維廣義Birkhoff系統(tǒng)。生成函數(shù)法存在構造的困難,實際應用存在障礙。離散的Birkhoff方法存在離散誤差,使得解存在波動性。

本文針對結構動響應問題,提出一種Birkhoff形式下的保辛中點格式?！?br>