PID控制的閥控缸系統的Modelica建模與仿真實現

王瑞，梁全

（沈陽工業大學機械工程學院，沈陽 110870）

0 引言

在計算機輔助生產制造為主流的現代，對于實際工程中的液壓系統來說，如果想要對其進行試驗分析的話，最普遍的方法就是利用工業仿真軟件對其進行模擬。而市面上的大多數涉及到液壓系統的仿真軟件都具有非常昂貴的采購價格，例如Matlab中的Simulink、AMESIM、20-sim、MWorks等[1-2]。而PID控制的閥控缸系統則是最為常見的一種液壓伺服系統，幾乎在所有的液壓相關工程中都有所應用。但如果使用價格昂貴的商業仿真軟件來對其進行仿真建模的話，在實際工程中存在仿真成本過高的問題。因此本文在開源仿真環境OpenModelica中開發了一套完善的PID控制的閥控缸系統模型，且該模型中的各個組成子模型均具有良好的模型復用性，不僅解決了實際工程中仿真成本過高的問題，還可以為想要利用Modelica語言建立液壓系統模型的開發者們提供指導與借鑒。

1 Modelica語言

Modelica語言是在一種為了統一多領域物理系統的建模語言而設計的通用的面向對象的建模語言。在Modelica語言中，將涵蓋多領域的物理系統的動態特性通過微分方程或者微分代數方程來描述，通過求解這些微分方程組或者微分代數方程組就可以實現物理系統的仿真并對其進行動態特性分析[3]。與利用賦值語句來描述物理系統的建模語言相比，Modelica這種利用數學方程式描述物理系統的語言具有不需要考慮數據流方向的非因果特點[4]。這使得利用Modelica語言編寫的程序在形式上更為直觀和規范。

2 數學模型

對于PID控制的閥控缸系統來說，主要由PID控制器、比例換向閥、液壓缸、位移傳感器、液壓源及負載等部分組成[5]。這些部分的連接與相互作用關系如圖1所示。

圖1 PID控制的閥控缸系統框圖

在對該系統建立Modelica模型之前，首先需要弄清楚系統各個部分的數學模型。對于PID部分來說，其數學模型[6]一般為

式中：u（t）為控制的輸出信號，e（t）為輸入偏差，Kp為增益，Ti為積分部分的時間常數，Td為微分部分的時間常數。

對于比例換向閥來說，從模型的復用性角度出發，可將其數學模型考慮為3個部分：輸入限制部分、閥芯動態特性部分及換向閥通路部分。輸入限制部分用于控制換向閥的輸入電流不超過其預先設置的額定電流。該部分的數學模型為：

式中：ylim與ulim為輸入限制部分的輸入和輸出，Irate為額定電流值。

換向閥的閥芯動態特性一般可以考慮為靜態、一階系統或者二階系統，受篇幅限制，這里僅給出將閥芯考慮為二階系統的情況。則其數學模型為

式中：ysec與usec為二階系統的輸入和輸出，K為放大系數，ξ為阻尼，ωn為自然頻率。

換向閥的通路部分可以考慮為由若干可變液壓阻性元件構成，其數學模型[6]為：

式中：q為流過該通路的流量，Cq為流量系數，Cqmax為最大流量系數，A為液阻的最大有效面積，D為孔口直徑，opening為液阻的開度分數，dp為液阻兩端的壓力差，ρ為油液密度，v為運動黏度，λ為臨界流量系數。

對于開度分數來說，其與通路部分的輸入u遵循如下關系：

式中，關于u的函數為換向閥閥口開度規律的定義，比如對于三位四通O型換向閥來說，有：

對于液壓缸來說，同樣從模型的復用性角度出發，可以將其數學模型考慮為液動力轉換部分、容腔部分、泄漏部分及活塞部分的組合[7]。對于液動力轉換部分來說，其功能主要是完成液動力向機械力的轉換，該部分的數學模型為：

式中：p為液體壓力，q為流量，V為腔室的體積，Vdead為腔室的死容積，s為位移，A為工作面積，F為液體壓力產生的作用力。

可以將容腔部分考慮為液壓容性元件，其數學模型為

式中，E為油液的體積模量。

可以將泄漏部分考慮為一個壓力差與流量成線性關系的阻性元件。其數學模型為

式中：qleak為泄漏流量，dp為壓力差，k為流量壓力梯度（泄漏系數）。

活塞部分可以考慮為一個帶有行程限位的機械移動慣性元件，并且在其數學模型中還考慮了相關摩擦[8]。其數學模型為

式中：FLoad為負載力，Ff為相關摩擦力。

當活塞正向運動時，有

當活塞反向運動時，有

式中：Fprop為速度相關阻尼，Fcoulomb為庫倫摩擦力，Fstribeck為stribeck效應產生的摩擦力。

3 閥控缸系統建模

根據上述閥控缸系統各個組成部分的數學模型，即可利用Modelica語言在開源環境OpenModelica中建立閥控缸系統各個組成部分的子模型，然后對這些子模型建立正確的連接關系，則可得到閥控缸系統的整體模型[9]。這樣就能使模型的重用性得到保證。

對于換向閥部分，首先根據式（2），利用Modelica語言建立換向閥輸入限制部分的模型，如圖2所示。

圖2 換向閥輸入限制部分的模型

然后根據式（4）、式（5）、式（6）建立可變液阻元件的模型，如圖3所示。對于換向閥閥芯部分的二階系統，則可以使用Modelica標準庫中的二階系統模型。

圖3 可變液阻元件（換向閥通路）的模型

則使用上述子模型組成的三位四通O型比例換向閥模型的內部模型，如圖4所示。

圖4 三位四通O型換向閥的內部模型

在該模型中應用了4個液壓阻性元件的模型，分別用來表示換向閥在左位和右位時通路的情況。所建立的換向閥模型如圖5所示。

圖5 三位四通O型換向閥的模型

對于液壓缸部分，首先根據式（7）建立液壓缸液動力轉換部分的模型，如圖6所示。然后根據式（8）建立容腔部分的模型，如圖7所示。再根據式（9）建立泄漏部分的模型，如圖8所示。

圖6 液壓缸動力轉換部分的模型

圖7 容腔部分的模型

圖8 泄漏部分的模型

對于活塞部分，可以使用Modelica標準庫中的帶有行程限位及摩擦的質量塊模型。使用上述子模型組成的液壓缸模型的內部模型如圖9所示。所建立的液壓缸模型如圖10所示。

圖9 液壓缸的內部模型

圖10 液壓缸的模型

最后利用上述液壓元件的模型并參考圖1，即可在OpenModelica中建立PID控制的閥控缸系統的整體仿真模型，如圖11所示。

圖11 PID控制的閥控缸系統的模型

4 仿真結果分析

PID控制的閥控缸系統主要參數如表1所示。

表1 主要仿真參數表

為了證明上述模型的正確性，本文設計了一個仿真結果對比實驗，其方法是：在另一款行業內認可度較高的軟件AMESIM中建立相同回路，并通過對比相同參數下二者的仿真結果來驗證所建立的PID控制的閥控缸系統Modelica模型的正確性。有一點值得注意的是，在AMESIM中的PID控制器與Modelica中的PID控制器在參數設置上有所區別。在Modelica中PID模型的參數為k、Ti、Td及Nd[9]。而在AMESIM中則有kp、ki、kd及tau。二者的對應關系如下所示：

知道了上述關系后，為了便于理解，這里以AMESIM中的參數為標準來設置參數。當PID的參數設置如表2所示時，得到二者的液壓缸活塞位移及速度的對比結果如圖12、圖13所示。

表2 PID參數表

圖12 液壓缸活塞位移變化曲線

圖13 液壓缸活塞速度變化曲線

通過圖像對比，不難看出二者的結果基本一致，且超調量不會超過液壓缸的行程限位。所以可以證明本文所建立的PID控制的閥控缸系統的模型是正確的。接下來，通過調整PID的參數以驗證該系統是否符合PID控制的規律。由于在表2所示參數的控制下該系統出現了振蕩及超調現象，所以為了減弱系統的振蕩現象應該減少ki的值，可將其值改為1且保持其余參數不變。則位移曲線變為圖14中的曲線2。觀察曲線2發現雖然系統的振蕩減弱了，但是系統的響應時間變長了，所以還要增加kp的值，將其值改為100后則位移曲線變為圖14中的曲線3。觀察曲線3可以發現，不僅系統響應時間變短，而且振蕩與超調得到了明顯的改善。說明該系統的模型符合PID控制的規律，進一步證明了本文所建立的系統的正確性。

圖14 不同PID參數下的活塞位移變化曲線

5 結論

通過利用Modelica 語言在開源仿真環境OpenModelica中開發了PID控制的閥控缸系統的仿真模型，并與AMESIM中所建立的相同系統模型的仿真結果做了對比與分析，得到了如下結論：1）本文所建立的PID 控制的閥控缸系統可以得到與AMESIM相同的仿真結果，并由于其是在開源環境下進行的建模，所以在實際工程中可以代替價格昂貴的商業仿真軟件，可以對閥控缸系統進行仿真分析，大大節約了仿真建模的成本。2）本文所建立的系統模型的仿真結果可以通過調節PID的參數來得到有效的控制，符合PID控制的規律。且該系統的各級子模型均可重復使用。