基于三點定位的特性坐標(biāo)系五軸聯(lián)動激光加工算法

高翔，胡軼杰，鄒捷

武漢華中數(shù)控股份有限公司研究院 湖北武漢 433100

1 序言

激光切割利用高功率激光熔化或者氣化工件，不同于傳統(tǒng)金屬切削需要工件裝夾及對刀，存在工裝設(shè)計復(fù)雜通用性差，異形曲面工件對刀空間限制等問題，現(xiàn)代激光切割直接將工件板材放到統(tǒng)一工裝架上進行加工，由于是人工或機械機構(gòu)直接放置加工，同一批次工件放置的角度與位置可能存在差異，每個工件放置后需要工藝人員找基準(zhǔn)點后用CAM設(shè)計出對應(yīng)的程序，加工一個工件生成一次程序[1，2]，極其浪費時間。本文提出在數(shù)控系統(tǒng)三點定位加工方案，不同于傳統(tǒng)機器人三點找正算法[3]，工件找正包括刀尖跟刀軸的偏置，利用偏置值在系統(tǒng)中實現(xiàn)加工G代碼修正偏置功能（包括刀尖軌跡及刀軸姿態(tài)的偏置），使得同一類型工件任意放置后可以使用同一個G代碼加工，不用每次放置工件后在CAM中重新生成程序過程，極大地提高了加工效率，并通過了VERICUT仿真及實際加工應(yīng)用驗證。

2 三點定位加工基本原理

基于三點定位的特性坐標(biāo)系五軸聯(lián)動控制算法主要包括兩個步驟[4]。

（1）工件偏移找正算法 在加工開始前，根據(jù)3個基準(zhǔn)點在CAM中工件坐標(biāo)系（WCS）與實際工件放置后的機床坐標(biāo)系（MCS）下的坐標(biāo)，系統(tǒng)解釋器計算出CAM中WCS與MCS坐標(biāo)系之間的關(guān)系，通過數(shù)控系統(tǒng)指令G68.7建立特性坐標(biāo)系（TCS），坐標(biāo)變換如圖1所示。

圖1 基于三點定位的特性坐標(biāo)系五軸聯(lián)動控制算法坐標(biāo)變換示意

（2）刀尖點及刀軸矢量的變換算法 針對G代碼中TCS下每行移動指令，將刀位點映射到WCS下，并根據(jù)當(dāng)前旋轉(zhuǎn)軸角度計算刀軸姿態(tài)，根據(jù)坐標(biāo)系的翻轉(zhuǎn)計算偏置后的刀軸姿態(tài)，最后求解得到偏置后的WCS下的旋轉(zhuǎn)軸角度。

基于三點定位的特性坐標(biāo)系五軸聯(lián)動控制算法流程如圖2所示。

圖2 基于三點定位的特性坐標(biāo)系五軸聯(lián)動控制算法流程示意

3 三點工件找正算法研究

本文研究的激光加工設(shè)備如圖3所示，使用此類設(shè)備的激光加工工藝與金屬切削相比，省去了裝夾及對刀工序。加工時直接進行工件擺放，傳統(tǒng)方式需要在工件上找3個基準(zhǔn)點，記錄3個基準(zhǔn)點的機床系XYZ的坐標(biāo)，CAM中與工件模型的3個基準(zhǔn)點理論坐標(biāo)對比，CAM自動生成根據(jù)基準(zhǔn)點對比偏置后的G代碼進行加工。此過程需要加工人員記錄基準(zhǔn)點坐標(biāo)輸入CAM，每重新加工一個工件都需要重新設(shè)計程序，容易出錯且影響效率。

圖3 激光加工設(shè)備

3.1 三點找正變換模型

三點工件找正輸入為3個不共線的基準(zhǔn)點在兩個坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，分別為CAM中編程坐標(biāo)系與實際工件放置的機床坐標(biāo)系，輸出為兩個坐標(biāo)系之間的位移偏置XYZ及歐拉角ijk。

輸入：工件上不共線三點CAM編程系坐標(biāo)及實際工件機床系坐標(biāo)。

輸出：從機床坐標(biāo)系到加工特性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換參數(shù)（位移偏置XYZ與歐拉角ijk）。

工件找正功能總體上分為兩部分：①根據(jù)輸入的點的坐標(biāo)值計算兩個坐標(biāo)系之間的平移與旋轉(zhuǎn)關(guān)系[5]。②計算輸出系統(tǒng)特性坐標(biāo)系功能所需參數(shù)，即兩個坐標(biāo)系之間的位移偏置XYZ及歐拉角ijk。

（1）平移與旋轉(zhuǎn)變換 定義CAM編程坐標(biāo)系為A，機床坐標(biāo)系為B，工件表面上不共線三點構(gòu)建的工件坐標(biāo)系為C。根據(jù)坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系中的表示可得圖4和式（1）～式（3）。

圖4 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系示意

公式中各符號的具體含義解釋如下。

1）坐標(biāo)系符號代表點的坐標(biāo)值構(gòu)成的矩陣，以A為例，A為

2）轉(zhuǎn)換矩陣F可按如下方式定義（轉(zhuǎn)換矩陣定義來源：《機器人學(xué)導(dǎo)論》）

其中，{nx，ny，nz}為坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系下X軸單位向量；{ox，oy，oz}為坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系下Y軸的單位向量；{ax，ay，az}為坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系下Z軸的單位向量；{px，py，pz}為坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系下原點的坐標(biāo)，即原點的位置偏移量。

3）工件表面上不共線三點構(gòu)建的工件坐標(biāo)系為C，構(gòu)建方法如下：以第一個點為工件系C的坐標(biāo)原點，第一到第二個點構(gòu)成的向量X為X軸正方向，將X與第一個點到第三個點構(gòu)成的向量Z叉乘所得為Z軸正方向。

4）F的求解與含義如下。C與AB的轉(zhuǎn)換矩陣F1、F2由輸入的不共線的三點坐標(biāo)求得后，根據(jù)公式F=F2inv（F1），求出F后，由B=FA可求得B。

由于在構(gòu)建F1、F2時使用了正交的3個向量來構(gòu)成，所以各轉(zhuǎn)換矩陣均可逆。在4×4的F矩陣中3×3的部分即為旋轉(zhuǎn)矩陣

第四列前三項即構(gòu)成平移向量

任一點集在B坐標(biāo)系中坐標(biāo)與在A坐標(biāo)系中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為

即任一點坐標(biāo)滿足

（2）歐拉角求解 平移值可如上所述直接從F中讀取，旋轉(zhuǎn)矩陣和歐拉角的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以由對應(yīng)順序的基礎(chǔ)旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積計算[6，7]。以華中數(shù)控8型激光加工系統(tǒng)的特性坐標(biāo)系G68.7功能為例，G68.7定義為以工件坐標(biāo)系為基準(zhǔn)繞Z→Y→X順序內(nèi)旋矩陣（繞旋轉(zhuǎn)后的軸旋轉(zhuǎn)）而得，其所得旋轉(zhuǎn)矩陣與反向的外旋矩陣（繞原始固定坐標(biāo)系X→Y→Z）一致，即旋轉(zhuǎn)矩陣

由歐拉角旋轉(zhuǎn)矩陣定義可得對應(yīng)關(guān)系后反解即可得到歐拉角。此模式下旋轉(zhuǎn)矩陣用歐拉角表示為

3.2 測量坐標(biāo)系模型建立

在激光控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)三點定位計算坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系流程如圖5所示。

圖5 三點定位計算坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系流程

（1）輸入坐標(biāo)點 輸入CAM編程坐標(biāo)系下三個不共線點的坐標(biāo)值（Ax1，Ay1，Az1）、（Ax2，Ay2，Az2）、（Ax3，Ay3，Az3），實際測量機床坐標(biāo)系下此三點對應(yīng)坐標(biāo)值（Bx1，By1，Bz1）、（Bx2，By2，Bz2）、（Bx3，By3，Bz3）。

（2）校驗輸入點坐標(biāo)有效性 為保證輸入點數(shù)據(jù)點的正確性從以下三個方面進行校驗。

1）實際測量位置誤差大于設(shè)定誤差值時，報警三點定位所選三點實際測量誤差大。

2）選中任意兩點距離小于設(shè)定最小距離值時，報警三點定位所選三點距離過近。

3）三點構(gòu)成三角形近似共線，報警三點定位所選三點近似共線。

（3）依前文所述方法構(gòu)建工件表面坐標(biāo)系C以CAM編程坐標(biāo)系下三個不共線點的坐標(biāo)值構(gòu)建為例。

X方向單位向量為

Z方向單位向量為

Y方向單位向量為

同理可得實際測量機床坐標(biāo)系下此三點對應(yīng)坐標(biāo)值構(gòu)建的工件表面坐標(biāo)系三個單位向量值Vbx、Vby、Vbz。

（4）計算轉(zhuǎn)換矩陣F依前文所述方法由F1、F2計算轉(zhuǎn)換矩陣F，此處求逆計算使用LU分解求逆以降低運算復(fù)雜度[8]，LU分解的上三角矩陣和下三角矩陣為Upper、Lower，則使用置換矩陣P保證PF1可以被化簡為階梯矩陣

（5）反解平移值與歐拉角 依前文所述方法由旋轉(zhuǎn)矩陣反解平移值與歐拉角。

（6）輸出特性坐標(biāo)系G68.7功能所需參數(shù) 即兩個坐標(biāo)系之間的位移偏置XYZ及歐拉角ijk。

4 軌跡偏置算法

通過三點找正輸出的兩個坐標(biāo)系之間的位移偏置及空間角，將加工G代碼中軌跡坐標(biāo)進行偏置及運動學(xué)變換計算偏移后的刀尖點。

4.1 特性坐標(biāo)系建立

設(shè)計帶到位點與刀具姿態(tài)變換的特性坐標(biāo)系功能指令。其中G68.7代表開啟特性坐標(biāo)系編程，后續(xù)指令刀尖與刀軸都是特性坐標(biāo)系編程，X、Y、Z是特性坐標(biāo)系下相對工件坐標(biāo)系偏移量，i、j、k是以工件坐標(biāo)系為基準(zhǔn)繞原始工件坐標(biāo)系X→Y→Z而得（此旋轉(zhuǎn)同內(nèi)旋，繞每次旋轉(zhuǎn)后的軸旋轉(zhuǎn)Z→Y→X順序旋轉(zhuǎn)），旋轉(zhuǎn)后兩個坐標(biāo)系的方向平行[9，10]。

由前文所述的方法可知，建立特性坐標(biāo)系TCS與工件坐標(biāo)系WCS的變換關(guān)系為

其中T為特性坐標(biāo)系相對于工件坐標(biāo)系原點偏移后的坐標(biāo)系的平移向量（3×1），偏移后與特性坐標(biāo)系的原點重合，Rx（Ψ）、Ry（θ）、Rz（φ）（3×3矩陣）表示偏移后的坐標(biāo)系與依次繞X軸旋轉(zhuǎn)Ψ、繞Y軸旋轉(zhuǎn)θ、繞Z軸旋轉(zhuǎn)φ后的新坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣。

4.2 刀位點偏移

首先在系統(tǒng)解釋器層建立特性坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系間的變換關(guān)系，將特性坐標(biāo)系下每行G代碼坐標(biāo)Pt：[Xt，Yt，Zt]T轉(zhuǎn)換成工件坐標(biāo)系下坐標(biāo)Pw：[Xw，Yw，Zw]T，將工件坐標(biāo)系下坐標(biāo)根據(jù)RTCP算法的運動學(xué)變換計算各軸機床坐標(biāo)完成插補。G代碼刀位點XYZ偏移在數(shù)控系統(tǒng)中的處理流程如圖6所示。

圖6 刀位點偏移處理流程

特性坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到工件系變換方法為

4.3 刀軸偏置

傳統(tǒng)傾斜面加工在建立特性坐標(biāo)系后，需要刀軸擺正垂直于加工傾斜面。在建立特性坐標(biāo)系時，將工件坐標(biāo)系初始刀軸矢量[0，0，1]T按Rx（Ψ）、Ry（θ）、Rz（φ）旋轉(zhuǎn)后，變換為在工件坐標(biāo)系下刀軸矢量[i，j，k]T，再通過RTCP算法運動鏈關(guān)系計算出旋轉(zhuǎn)軸角度。

考慮到激光三點定位后加工方式，在建立特性坐標(biāo)系后刀具姿態(tài)也會在加工過程發(fā)生變換，系統(tǒng)需要實時對刀軸進行偏置，否則特性坐標(biāo)系下編程生成的刀軸姿態(tài)會發(fā)生錯誤影響加工效果甚至發(fā)生干涉導(dǎo)致撞機。以AC雙擺頭機床結(jié)構(gòu)類型為例闡述算法，具體G代碼刀軸偏置在數(shù)控系統(tǒng)中的處理流程如圖7所示。

圖7 刀軸偏置處理流程

5 仿真與分析

以上論述了基于三點找正算法的測量坐標(biāo)系建立與求解方法，本文利用VERICUT軟件對數(shù)控系統(tǒng)插補數(shù)據(jù)進行仿真（見圖8），根據(jù)誤差大小判斷算法的有效性[11]，最后在三維五軸機床上進行加工，根據(jù)加工效果判斷算法是否有效。

圖8 VERICUT仿真測試

5.1 仿真精度驗證

為更好地驗證算法的精度，采用NAS件五軸聯(lián)動測銑進行仿真，在UG軟件中，將工件放置在機床模型中任意的位置，選擇工件上三個特征點，記錄坐標(biāo)，再將工件任意平移一定距離，旋轉(zhuǎn)一定角度后，記錄移動后的三個特征點在原始坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

經(jīng)過測試驗證，所有插補點指令精度控制在0.001mm內(nèi)，滿足激光切割加工精度要求，部分加工點位坐標(biāo)及誤差見表1、表2。

表1 模擬加工坐標(biāo) （單位：mm）

表2 模擬加工坐標(biāo)誤差 （單位：mm）

5.2 實際加工效果

為了進一步驗證算法功能的正確性，在華工激光三維五軸激光設(shè)備上進行實際加工（見圖9），并對加工出來的B柱上的特征區(qū)域精度進行測量驗證。經(jīng)過測試，小圓精度見表3和表4。

表3 B柱直徑5mm小圓實際誤差 （單位：mm）

表4 B柱直徑10mm小圓實際誤差（單位：mm）

圖9 加工工件

經(jīng)過實際加工測試，工件整體輪廓度無缺陷，小圓尺寸達標(biāo)，且加工過程刀軸無干涉，滿足現(xiàn)場應(yīng)用要求。

6 結(jié)束語

本文提出了三點工件找正與軌跡偏置算法在激光加工中應(yīng)用的方法，并在數(shù)控系統(tǒng)中實現(xiàn)了實時找正與加工軌跡偏置，相比原先采用CAM后置處理，大大簡化了原先繁瑣的加工過程，提高了效率，仿真與實際加工結(jié)果表明，加工精度符合加工要求。目前已在多個激光產(chǎn)品中批量試用，具有良好的應(yīng)用與推廣價值。