一道復合型路徑問題的探究

? 江蘇省南通市啟秀中學 吳燕琴

動點的路徑問題是中考的一個難點,尤其是復合型路徑問題,即直線型路徑和圓弧型路徑的綜合.破解這類試題的關鍵就是抓住變化中的不變量,從幾何關系入手.下面結合一道經典試題來分析復合型路徑問題的解決方法與思路[1].

1 試題呈現

圖1

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖2,設E是線段AC上的動點,F是線段BC上的動點,AF與BE相交于點P.

圖2

①若CE=BF,試猜想AF與BE的數量關系及∠APB的度數,并說明理由;

②若AF=BE,當點E由A運動到C時,請直接寫出點P經過的路徑長(不需要寫過程).

2 思路分析

(1)將點A,B的坐標代人拋物線的解析式,用待定系數法即可解決.

(2)①由條件可以證明△BEC≌△AFB,由角間的關系可以得到∠APB=120°.

②情形1:如圖3,當AE=BF時,點F從點B出發,沿線段BC向終點C運動,滿足條件AF=BE,在整個運動過程中,△ABE≌△BAF,得PA=PB,此時,點P運動的路徑是AB邊上的高CH.

圖3

情形2:如圖4,當AE=CF時,點F從點C出發,沿線段CB向終點B運動,滿足條件AF=BE.在整個運動過程中,△CBE≌△BAF,∠APB=120°,AB為定長,此時點P運動的路徑是以A,B為端點的一段圓弧(120°).

圖4

情形3:如圖5、圖6,設M,N分別是BC,AC的中點.當點E從A到N到C,點F從B到M到C,滿足條件AF=BE,點P的路徑是線段HG和以B,G為端點的一段圓弧BG(60°)組成的圖形[2].

圖5

圖6

情形4:如圖7、圖8,設M,N分別是BC,AC的中點.當點E從A到N到C,當點F從C到M到B,滿足條件AF=BE,此時點P運動的路徑是以A,G為端點的一段圓弧AG(60°)和線段CG組成的圖形.

圖7

圖8

3 解法探究

對于第(1)問,利用待定系法,易求得拋物線的解析式為

下面重點探究第(2)問的解法.

(2)①的結論:AF=BE,∠APB=120°.

所以∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°.

故∠APB=180°-60°=120°.

(2)②情形1:如圖9所示,當AE=BF時,△ABE≌△BAF,則∠BAF=∠ABE.所以PA=PB,因此點P在線段AB的中垂線上.

圖9

過點C作CM⊥AB于點M,則點P運動的路徑是邊AB邊上的高CM.

情形2:如圖10,當AE=CF時,點F從C向B運動,在這個過程中,△ABF≌△BCE,由①知∠APB=120°.因此點P經過的路徑是以A,B為端點的一段圓弧,且∠APB=120°,則圓心角∠AMB=120°.

圖10

過點M作MG⊥AB,垂足為G.

情形3:如圖11,M,N分別是BC,AC的中點,當E從A到N再到C,點F從B到M再到C時,點P的運動路徑是線段HG和以B,G為端點的一段圓弧BG組成的圖形.

圖11

當點E從A到N,點F從B到M時,有AE=BF,則△ABF≌△BAE,則∠BAF=∠ABE,所以PA=PB.

所以點P在AB的垂直平分線上,即此時點P的路徑是一條線段GH(H為AB邊的中點,G為等邊三角形ABC的中心).

故此情形下點P運動的路徑長為

情形4:如圖12,M,N分別是BC,AC的中點,當點E從A到N到C,點F從C到M到B時,點P的運動路徑是以A,G為端點的一段圓弧和線段CG組成的圖形.

圖12

當點E從N到C,點F從M到B時,AE=BF,則△ABE≌△BAF,則∠BAF=∠ABE,所以PA=PB,所以點P在AB的垂直平分線上,即此時點P的運動路徑為線段GC.

所以此情形下點P運動的路徑長為

4 結束語

常見的動點路徑有圓弧和直線,解題時要結合題目條件和動點的運動特征,抓住變化過程中不變的量.當動點到定直線的距離不變時,或動點到定線段兩個端點距離相等時,動點的路徑是直線;當動點與一定點(可在定直線上或直線外)連線與定直線連接構成的角度不變時,動點的路徑是直線;當動點到定點的距離不變時,動點的路徑是圓;當定長線段所對的角為定值時,動點的路徑是圓.利用這些特征準確確定動點運動的路徑類型,然后結合幾何關系(相似、全等、垂直平分線、勾股定理等)解題,是破解這類問題的關鍵[3].