展折疊之美,育思維之花
——2021年深圳中考第15題感悟

? 廣東省深圳市龍華區外國語學校教育集團 劉小會

折疊問題是中考數學的高頻考點,深圳中考也不例外.折疊問題主要分直接計算型和分類討論型兩大類題型,由淺入深,難度逐漸加大.2021年是深圳新中考第一年,數學試題的難度一度上了熱搜.很多學生反映“題目很新”“題目很難”等.具體真相如何?我們一起來揭開填空壓軸題的真面目,感受數學之趣、數學之美,提升數學素養.

1 真題呈現

圖1

2 試題賞析

縱觀深圳近幾年中考數學試卷,折疊問題舊瓶裝新酒,連續作為選填壓軸題.此題作為2021年的填空壓軸題,精心設計,巧妙構造.主要體現在:(1)不是單純的折疊問題,而是通過折疊操作后,結合平行四邊形的構造,求解線段長度.(2)已知數據含有根號,防止學生考試時通過測量算出得數.(3)筆者利用幾何畫板還原題干三角形,發現很難準確畫出滿足題干條件的三角形,多少都會出現誤差.那么,該如何找到滿足如此條件的三角形呢?試問,如果改變題干線段長度或者減少已知條件,此題可解嗎?筆者也在反思是否是自己才疏學淺,沒掌握題干精髓和命題者的意圖.一個如此特殊的三角形,進行三角形內部折疊后,同時滿足直線平行和存在直角兩個條件.我們可以反解這個三角形嗎?從題目反觀命題者的意圖,條件很多,少一個也不行,多一個就成“累贅”.最后,借助幾何畫板,筆者還原了題干三角形,并且在繪圖過程中發現了這道題的變式訓練.

3 解法探究

添加輔助線是解決本題的關鍵所在.本題是折疊問題中的直接計算型.通過證明,挖掘已知條件,直至找到我們熟悉的三角形.對于求解線段長度的題目,如果學生具備線段長度求解的模型意識,就可以突破添加輔助線這一難點.大膽猜測,輔助線水到渠成.再次反觀命題者的意圖,涵蓋折疊所有的性質,角平分線、垂直、平行四邊形和等腰三角形等知識點均有涉及.這些都是中考復習中的核心考點,對于考生來說,在考場如何能正確解答此題呢?針對題目,筆者給出4類思路,7種解法.

思路一：添平行之線,連接已知和未知.

圖2

圖3

解法3：如圖4,過點F作FO∥AE交AB的延長線于點O,構造平行四邊形AEFO,接下來類似解法1和解法2,可解.

圖4

點評：題目給出AB和EC的長度,求解AE.這三條線段看起來沒有聯系,怎樣把它們聯系起來呢?這類問題的一般求解策略為添加輔助線,把未知和已知線段集中到一個三角形中.此方法的突破關鍵是平行四邊形的構造,這是一種比較常規的解法,考生在考場也比較容易想到.此外,針對填空題解題技巧,此題的答案比較容易猜到.幾何能力強的考生會先有意識猜測已知線段間的加減關系,然后帶著目標去添加輔助線,再結合其余條件,即可寫出正確答案.

思路二：延邊長之線,挖掘隱藏信息.

圖5

圖6

點評：解法4和解法5均是通過延長邊線形成交點,找到隱藏的特殊形狀而求解.解法4中延長邊線重點在于形成直角三角形,解法5則是通過延長邊線,形成平行四邊形.二者的相同之處均是在圖形中找等腰三角形.筆者認為較思路一,這種通過延長線段添加輔助線的技巧比較難想到,但是證明較簡單.正如在初三復習折疊的核心考點時,會出現“折疊遇平行,等腰必出現”的口訣,由此發掘出一些奇思妙構的解法.

思路三：取中點,構造三角形中位線.

圖7

點評：易知D為線段BC的中點,此解法聚焦幾何問題的三大法寶之一——中點,通過構造中位線,快速轉化已知條件.再結合另一法寶——平行,導邊導角,找出線段間的等量關系,求解未知線段.

思路四：構造“八字全等”找等腰.

圖8

點評：“八字模型”的建立依賴兩個條件,即D為線段BC和線段EN的中點,但輔助線多而且難想,比較累贅.

4 變式訓練

如圖1,在△ABC中,D,E分別為線段BC,AC上一點,將△CDE沿DE折疊,使得C落在F處,則①∠BFC=90°,②EF∥AB,③AB+AE=EC這三個條件,任選兩個都可推出另一個.感興趣的讀者可以試著證明.

注意:條件①也可換為“D是線段BC的中點”.

現在回過頭看原中考題,其實線段長度可隨便定,只要滿足條件③即可.這就是該問題的變式思考.

教育家懷特海認為,教育需要使學生通過樹木看見森林.回到題目本身,我們可以基于學情,科學、合理、有序地培養學生“解題非一法,尋思求百通”的意識.

5 通性通法

折疊問題,題型多變,因圖形看起來比較復雜,不少學生望而生畏.其實幾何圖形的折疊問題,本質上就是軸對稱問題.解決這類問題的關鍵是抓住折疊前后的兩個圖形全等,注意折疊前后變化的量和不變的量,然后抓住背景圖的相關性質,利用轉化或運用方程思想解決問題.在中考復習教學中,要以經典問題為主,預設不同解法和思路,但是要滲透萬變不離其宗的解題思想,注重通性通法的總結.

6 題后反思

俗語說:心在一藝,其藝必工;一心在一職,其職必舉.一題多解的數學之美不僅在于多,而且在于題后的對比和歸納.波利亞指出:“沒有任何一道題可以解決得十全十美,總剩下些工作要做.”這里剩下的工作就是解題反思,它有助于學習者領悟思想方法和數學活動經驗,實現從知識的學習到能力的提升.