因式分解的拓展探究

? 福建省漳州第一中學 戴興達

因式分解是初中數學的重要知識點,中考專門考查這一知識點的試題并不多,主要滲透在其他試題的考查中.本文中主要從因式分解與最值、新定義、圖形體積、換元法等方面說明中考中對因式分解的拓展考查.

1 因式分解與最值

利用因式分解求最值,通常是指將一個二次三項式配方出一個完全平方式,然后根據(a±b)2一定是非負數求得最值.當多項式配方為a(x±b)2+c時,此多項式一定有最小值c,此時完全平方式為0;當多項式配方為-(x±b)2+c時,此多項式一定有最大值c,此時完全平方式為0.

例1閱讀理解并解答:(1)我們把多項式a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2叫做完全平方式,一個多項式能否運用完全平方公式進行因式分解,關鍵是判斷這個多項式是否是完全平方式.欲求一個多項式的最大值或最小值,將這個多項式的局部化成完全平方式是必須的.

如①x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2.

因為(x+1)2是非負數,所以(x+1)2+2≥2.

所以這個代數x2+2x+3的最小值是______,這時相應的x的值是______.

②3x2-12x+5=3(x2-4x)+5=3(x2-4x+4-4)+5=3(x-2)2-12+5=3(x-2)2-7.

因為(x-2)2是非負數,所以3(x-2)2-7≥-7.

所以這個代數式3x2-12x+5的最小值是______,這時相應的x的值是______.

(2)仿照上述方法求代數式-x2-14x+10的最大(或最小)值,并寫出相應的x的值．

解析：(1)①因為x2+2x+3=(x+1)2+2,所以x2+2x+3的最小值是2,此時x的值是-1．

②因為3x2-12x+5=3(x-2)2-7,所以3x2-12x+5的最小值是-7,此時x的值是2．

(2)-x2-14x+10=-(x2+14x+49)+49+10=-(x2+14x+49)+59=-(x+7)2+59.

因為(x+7)2是非負數,所以-(x+7)2≤0,從而-(x+7)2+59≤59.

因此,-x2-14x+10的最大值是59,此時x的值是-7．

點評：如何將一個二次三項式配出一個完全平方式?首先通過提取公因式,將二次項系數變為1,然后在括號內加上一次項系數一半的平方,最后寫成完全平方式,并化簡.

2 因式分解與新定義

在整數世界里,有一些特殊的數.如,相鄰兩個數位上的數字,右邊的比左邊大1,這樣的數稱為“美數”;一個四位數,前兩位數字之和等于后兩位數字之和,這樣的數稱為“和平數”;一個多位數,從左向右或從右向左都是一樣的,這樣的數稱為“軸對稱數”.這些特殊的數都有一些特殊的性質,要證明這些特殊的性質,都需要用到因式分解.

例2生活中軸對稱的例子很多,如自然景觀、分子結構、建筑物、日常用品等.根據軸對稱的特征,我們把形如mm,mnm,mnpnm(m,n,p∈N*且m,n,p≤9)這樣的正整數叫做軸對稱數,如69596等.

(1)請寫出一個最小的四位數的軸對稱數.

(2)把任意一個軸對稱數的形式設置為“efe”,其中e為首位數字與末位數字,f是去掉首末兩個數后的(n-2)位數,那么這個軸對稱數減去個位數字的11倍,結果能被10整除.如:3 553-3×11=3×1 000+55×10+3-3×11=3 520.

①根據上面的算式,填空:86 368-8×11=______.

②寫出(2)的證明過程.

解析：(1)最小的四位數軸對稱數是1001.

(2)①86 368-8×11=8×10 000+636×10+8-8×11=86 280.

②證明:efe-11e=e×10n-1+f×10+e-11e=e×10n-1+f×10-10e=10[e×(10n-2-1)+f],所以結果能被10整除,上述說法正確.

點評：如果一個多位數可以寫作abcd,那么這個多位數就等于a×103+b×102+c×10+d,也可以表示為(ab)×102+cd,或者表示為(abc)×10+d.

3 因式分解與圖形體積

根據平面圖形的面積,可得二次多項式因式分解的結果,如a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)等;根據立體圖形的體積,可得三次多項式因式分解的結果,如a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)等.

例3知識再現:在一個邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(如圖1),然后,把剩下的部分剪開成兩個長方形,再拼成一個長方形(如圖2),根據這兩個圖形,請寫出一個代數恒等式.

圖1

圖2

知識遷移:在空間范圍內,把一個棱長為a的正方體去掉一個棱長為b的小正方體,再把剩余的部分切割成三個長方體,再拼成一個幾何體,那么圖3中幾何體的體積是多少?圖4中的呢?根據它們之間的體系關系,請寫出一個關于a,b的代數恒等式.

圖3

圖4

知識運用:根據立體圖形得到的代數恒等式,(1)將多項式27x3-8因式分解;(2)已知a-b=8,ab=4,你能求出a3-b3的值嗎?

解析：根據平面圖形,可得代數恒等式為

a2-b2=(a+b)(a-b).

根據立體圖形,可得代數恒等式為

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

(1)由a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),得

27x3-8=(3x)3-23=(3x-2)(9x+6x+4).

(2)由a-b=8,ab=4,得

a2+b2=(a-b)2+2ab=64+8=72.

所以,可得a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=8×(72+4)=608.

點評：由例3可以看出,兩數的立方差,等于這兩數的差乘這兩數的平方和與它們的積的和;兩數的立方和,等于這兩數的和乘這兩數的平方和與它們積的差.

4 因式分解與換元法

解一些復雜的因式分解問題,使用換元法也是一個不錯的選擇,也就是把結構復雜的多項式中的某一部分看作一個整體,用一個字母置換,這樣可以使問題變得簡單、明朗,它可以減少多項式的項數,降低多項式結構的復雜程度.

例4先閱讀材料再解決問題:(Ⅰ)利用換元法可以從形式上簡化式子,在解一元高次方程時,利用換元法可以達到轉化與化歸的目的.如解一元四次方程x4-8x2+16=0時,設y=x2,則原方程可以變形為y2-8y+16=0,解得y=4,所以x=±2.

(Ⅱ)楊輝三角形是中國數學史上的一個偉大成就,在《詳解九章算法》中就出現了,它是一些特定系數在三角形中有規律的排列,如圖5所示.

……

(1)根據換元法的思路,解方程:(x2+3x-1)2+2(x2+3x-1)=3.

(2)觀察楊輝三角,可以發現規律,設第n行的第2個數為an(n≥4),設第n行的第3個數為bn,第(n-1)行的第3個數為cn,你能根據換元法的思路,將4(bn-an)·cn+1因式分解嗎?

解析：(1)令t=x2+3x-1,則原方程可轉化為t2+2t=3,解得t=1或t=-3.

當t=-3時,x2+3x-1=-3,解得x=-1或x=-2.

所以4(bn-an)·cn+1=(n-1)(n-4)(n-2)·(n-3)+1=(n2-5n+4)(n2-5n+6)+1=(n2-5n+4)2+2(n2-5n+4)+1=(n2-5n+5)2.

點評：與楊輝三角聯系最緊密是二項展開式的系數規律,即二項式定理;其次,楊輝三角(圖5)的第n行所有數的和為2n-1.

華羅庚說:“新的數學方法和概念,常常比解決數學問題本身更重要.”本文中分別介紹了因式分解與求最值、新定義、圖形體積、換元法之間的密切聯系,既可以拓寬學生的思維,又為學生解決問題開辟了新的思路與方法.