活用輔助線,巧妙建立聯系
——以初中幾何解題教學為例

? 哈爾濱師范大學教師教育學院 李軼男

在初中數學教學體系中,利用幾何知識解題歷來是一塊“難啃的骨頭”.在這一背景下,學生唯有掌握輔助線的應用技巧,合理構造輔助線,才能構建出全新的條件,掃清解題中的障礙.構建必要的輔助線,不僅能夠揭示圖形的本質,幫助學生更好地探索圖形背后的性質,還可以借助輔助線增強學生的問題分析能力,發展學生的空間觀念等數學核心素養.基于此,結合新課程標準的要求,鑒于學生解題的需求,培養學生構建輔助線的能力已經成為一項重要的教學任務.

1 輔助線在初中幾何解題中的具體應用

針對初中生來說,所學的幾何內容主要涉及三角形、四邊形、圓等基本內容.按照新課程標準的要求,教師在日常教學中應培養學生的幾何直觀意識、幾何推理能力等.因此,在幾何教學中,引導學生運用輔助線解決問題,已經成為一種必然.

1.1 構建分割型輔助線

在解答初中幾何問題時,構建分割型輔助線比較常見.顧名思義,分割型輔助線就是將圖形中已有的兩個點連接起來,借助所作的輔助線,將原來的圖形進行分隔,使其成為新的幾何圖形,并由此產生新的條件,以便于問題求解.

例1如圖1所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC邊上的中點,求證:DM=ME.

圖1

分析：將線段DM與ME置于兩個不同的三角形中,借助三角形全等進行證明.

證明：如圖2,連接BM.

圖2

∵AB=BC,

∴∠A=∠C.

又M是AC邊上的中點,

∴AM=BM=MC.

∴∠MBE=∠C=∠A.

∵BD=CE,

∴AD=BE.

∴△MDA≌△MEB(SAS).

∴DM=ME.

1.2 構建延長型輔助線

延長型輔助線也是初中幾何中最為常見的輔助線類型之一,即將原來圖形中的某一條線段延長,最終形成一個新的圖形,以便于問題解答.通常,這種輔助線應用在特征不甚明顯的幾何題目中,無論是連接兩點,或者作垂線,學生都很難完成解答.此時,就可選擇延長型輔助線,構建出新的圖形,引出新的數量關系.

例2如圖3所示,已知AD+BC=2,AB=CD=2,∠A=60°,求四邊形ABCD的面積.

圖3

分析：本題無論是連接BD,還是連接AC都難以解答.面對這一現狀,可選擇構建延長型輔助線的方式進行解答.

解：如圖4,延長AD至點E,使得AE=AB,連接BE,BD.

圖4

∵∠A=60°,AE=AB,

∴△ABE為等邊三角形.

∴BE=AB=CD=2.

又AD+BC=2,AD+DE=2,

∴BC=DE.

∴△DBC≌△BDE(SSS).

1.3 構建平移型輔助線

平移型輔助線在初中幾何解題中也尤為常見.具體來說,平移型輔助線就是在原有的圖形中,針對某條線段展開平移,使其成為輔助線,最終形成新的圖形,并構造出新的條件關系等,以便于更好地解題.

例3如圖5,已知直角梯形ABCD,CD∥AB,∠A=90°,AB=12,BC=10,AD=8,求CD的長度.

圖5

分析：單純地結合圖形,以及題目中所給出的條件和數量關系,很難求出CD的值.鑒于本題的特征,可采用平移型輔助線的方式求解.

解：如圖6,過點D作DE∥BC交AB于點E.

圖6

又CD∥AB,

∴四邊形CDEB為平行四邊形.

∴CD=BE,BC=ED=10.

在Rt△ADE中,由勾股定理得AE=6.

∴CD=BE=AB-AE=6.

1.4 構建對稱點型輔助線

在初中幾何題目中,對稱點常常是解題的關鍵.當題目中已有的條件無法滿足解題需求時,即可發揮對稱點的價值,以此切入點構建輔助線,進而構建出新的條件和數量關系,最終完成題目的解答.

圖7

∵∠C=90°,AC=1,

∵∠D′AC=∠A′=∠B=30°,

1.5 構建中點型輔助線

在幾何題目中,中點型輔助線也很常見,尤其是當題目中出現了“中線”“中點”等條件時,就可通過三角形、梯形的中位線定理,構建相關的輔助線,最終實現題目的解答.

例5如圖8所示,已知E,F分別是線段BC,AD的中點,且AB=CD,直線BA,EF相交于點G,直線CD,EF相交于點H,證明:∠BGE=∠CHE.

圖8

分析：由于題目中給出了中點E,F,由此可采用中點型輔助線在原來的圖形中構造出一個新的三角形.

證明：如圖9,連接AC,并取AC上中點P,連接PE,PF.

圖9

∵E為BC的中點,

又AB=CD,

∴PE=PF.

∴∠PEF=∠PFE.

∵PE∥AB,

∴∠BGE=∠PEF.

同理,得∠CHE=∠PFE.

∴∠BGE=∠CHE.

綜上所述,輔助線是初中幾何解題的“重要利器”,尤其是當思路不明、條件不夠時,只要作出一條簡單的輔助線,就能順利找到解決問題的“突破口”.同時,掌握輔助線在解題中的應用,也是學生在潛移默化中逐漸形成的.因此,教師在日常教學中,應結合不同類型的題目,引導學生對輔助線進行歸類總結,幫助學生掌握不同類型輔助線的應用條件,以便于在日后做題中,能夠結合不同類型的題目,迅速、正確作出輔助線,最終完成題目的解答.