由一道中考壓軸題聯想到的“最值”求解策略

? 江蘇省蘇州市蘇州大學實驗學校 李居先

“最值問題”是近年來中考數學的必考題型,也是壓軸題中的必選之題.遇到此類問題,學生往往無從下手,掌握此類常見問題的解題策略會更容易找到問題突破口,便于解題.本文中將從巧用“配方法”“判別式”“公理”“函數”“平移”“模型” “旋轉”“構造”“分割”等對一些特殊式子或線段(和或差)的最值問題進行剖析.

例如,2023年連云港市中考數學試題中的一道填空題:若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y為實數),求W的最小值.

分析此問題,顯然常規解法不能完成解答,對于含有兩個未知數的代數式最值問題,需要對代數式進行變形,將各個單項式之間的聯系轉化為完全平方式,再利用配方法把原式整理為“平方+常數”的形式,這樣就可以確定此代數式的最值.故W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3=(4x2-4xy+y2)-2y+x2+8x+3=(2x-y+1)2+(x+2)2-2.因為x,y均為實數,所以(2x-y+1)2≥0,(x+2)2≥0,故W≥-2,即W的最小值為-2.

當然,求解最值問題并不是只有簡單的代數式的轉化,還有更多的方法可以利用,下面就針對初中階段“最值問題”的解法進行系統歸納,便于大家學習利用.

1 巧用“判別式”求代數式的最值

對于上述類型的代數式,可以利用其特點將代數式合理分配形成“完全平方式”再轉化為“平方+常數”的形式求解,如上述解析過程.

研析：此類問題可以利用代數式與方程之間的內在聯系,轉化為方程,再利用判別式判斷其最值問題.

解法如下:由題意,得5x2+(8-4y)x+y2-2y+3-W=0.因為x為實數,所以Δ=(8-4y)2-20(y2-2y+3-W)≥0,則5W≥(y+3)2-10≥-10,于是W≥-2.故W的最小值為-2.

2 巧用“公理”求線段最值

常見的最值問題往往體現在“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“三角形三邊之間的關系”等方面,巧妙利用這些公理性質可破解最小值問題.

例1如圖1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,E為BC上一點,連接DE,將△CDE沿DE折疊,點C落在C′處,連接AC′,若F,G分別是AC′,AB的中點,求FG的最小值.

圖1

研析：根據已知條件,如圖2所示作輔助線,由勾股定理和折疊的性質可求得BD=13,CD=C′D=5.由三角形的三邊關系,得C′B>BD-C′D.根據兩點之間線段最短,則當點C′在DB上時,C′B的最小值為BD-C′D=8,由三角形的中位線定理求解.

圖2

3 巧用“函數”求坐標系中動點間距離的最值

例2如圖3,在平面直角坐標系中,二次函數y=-x2+2x-c的圖象與x軸交于點A(-3,0)和點B(1,0),與y軸交于點C.二次函數圖象的對稱軸與直線AC:y=x+3交于點D,若M是直線AC上方拋物線上的一個動點,求△MCD面積的最大值.

圖3

研析：如圖4,作MQ⊥AC于點Q,作ME⊥AB于點F,交AC于點E,先求出拋物線的對稱軸,進而求得點C,D坐標及CD的長,從而得出過點M的直線y=x+m與拋物線相切時,△MCD的面積最大.根據x+m=-x2-2x+3的Δ=0求得m的值,進而求得點M的坐標,再求得CD上的高MQ的值,即可得出結果.

圖4

4 巧用“平移”求相離線段和的最值

在遇到幾何線段沒有相互連接時,求其和的最值往往在問題的基礎上利用平移作輔助線,讓相離的線段連接在一起,然后再利用相關公理或者性質求解.

例3如圖5,線段AC與BD相交于點E,連接AD,BC,若AC=3,BD=2,∠BEC=60°,求AD+BC的最小值.

圖5

圖6

5 巧用“模型”求線段和(差)的最值

求線段和(差)的最值的問題,常常用到“將軍飲馬”“隱圓”等模型,結合已知條件,將問題先轉化為某種“模型”再來解得相關問題,化難為易.

例4如圖7,正方形ABCD的邊長是6,E是AD邊上一動點,連接BE,過點A作AF⊥BE于點F,P是AD邊上另一動點,求PC+PF的最小值.

圖7

研析：如圖8,取點C關于直線DA的對稱點C′.以AB中點O為圓心,OA為半徑畫半圓.連接OC′交DA于點P,交半圓O于點F.

圖8

6 巧用“旋轉”求多條線段和的最值

此類問題實質上就是“費馬點”問題,它是到三角形ABC三個頂點的距離之和最小的點P,即求PA+PB+PC的最小值.遇到此類形式的問題,我們通常考慮將某三角形旋轉60°,將三條線段轉化到同一條直線上,再利用兩點之間的直線段最短進行判斷,從而突破最值問題.

例5如圖9,P是△ABC內的一點,連接PA,PB,PC,試求PA+PB+PC的最小值.

圖9

研析：如圖10,將△APC繞點A逆時針旋轉60°到△AP′C′,則可以構造出等邊三角形APP′,從而得到AP=PP′,CP=C′P′,于是將PA+PB+PC的值轉化為PP′+PB+P′C′的值,則線段BC′的長即為所求的最小值.

7 巧用“構造”求“PA+k·PB”型線段的最值

此種類型問題是“PA+PB”最值問題的拓展,涉及的相關內容是“阿氏圓”問題,通常以動點P的運動軌跡來分類,一般分為兩類,即點P在直線上運動和點P在圓上運動.

例6如圖11,⊙O的半徑為r,點A,B都在⊙O外,P為⊙O上一動點,已知r=k·OB,連接PA,PB,則當PA+k·PB的值最小時,點P的位置如何確定?

圖11

研析：如圖12,在線段OB上截取OC,使OC=k·r,則可證明△BPO∽△PCO,即k·PB=PC.故求PA+k·PB的最小值可以轉化為求PA+PC的最小值.因為A,C為定點,P為動點,所以當點P,A,C共線時,PA+PC的值最小.

圖12

綜上所述,只有熟練把握不同形式的最值問題,搞清楚其中的關系,采用相對應的突破策略,才能化難為易.把握解決問題的策略,不僅僅是數學新課程標準的要求,更是課程改革在數學學科的一種能力體現.不斷探索有效的解題方法與策略,開拓學生解題思維,有利于全面提升學生數學綜合素養.