嘗試多種解法 培養創新素養

? 湖北省武漢市第一初級中學 周靜秋

1 試題呈現

例如圖1,過弦AB的一端點B作一切線BC,過另一端點A作BC的垂線AC與圓O的直徑AD.

圖1

求證:∠DAB=∠BAC.

2 試題特點

這是一道典型的傳統意義上的圓與切線的幾何證明題,圖形簡單,條件明了,富有美感.它以最常見的圓、切線、直徑、垂線等幾何元素組合成幾何圖形,求證角平分線.從不同角度去理解基本圖形,構造輔助線,發現多種解法,可以培養學生的理性思考能力.解答時需運用轉化與化歸、數形結合等數學思想及模型觀念,將基本圖形與幾何性質、定理完美結合.較好地考查學生的幾何直觀、推理能力、模型觀念、應用意識、創新意識等數學核心素養.

3 多向解答

如圖2,連接BD,由AD是直徑,出現90°的圓周角;同時出現弦切角,則∠1=∠DAB,即“同弧所對的圓周角等于它所夾的弦切角”.具體證明如下:如圖2,連接BO,并延長BO交⊙O于點F,連接BD,DF.由切線性質,得∠DBF+∠1=90°.由BF為直徑,得∠DBF+∠F=90°,所以∠1=∠F.由“同弧所對得圓周角相等”,得∠F=∠DAB,所以∠1=∠DAB.同樣弦切角∠2=∠ADB,后面有的證明需反復用到,行文過程不再重復.

圖2

分析一：由直徑得∠1+∠2=90°,由弦切角得∠1=∠DAB,由直角三角形得∠2+∠BAC=90°,所以得證.

證法一：連接弦,證同角的余角相等.

如圖2,連接BD.

∵AD是⊙O的直徑,

∴∠ABD=90°.

∴∠1+∠2=90°.

∵BC切⊙O于點B,

∴∠1=∠DAB.

∴∠DAB+∠2=90°.

∵AC⊥BC,

∴∠BAC+∠2=90°.

∴∠DAB=∠BAC.

點評：證法一主要用到了“直徑所對的圓周角等于90°”,切線的性質,“同弧所對的圓周角等于它所夾的弦切角”,最后以“同角的余角相等”結束證明.

分析二：連接BD,過點B作BE⊥AD于點E.由直角三角形和直徑得∠3+∠D=∠3+∠2=90°,則∠D=∠2.由弦切角得∠1=∠D,則∠1=∠2,由等角的余角相等,所以得證.

證法二：作垂線,證等角的余角相等.

如圖3,連接BD,過點B作BE⊥AD于點E,則∠3+∠D=90°.

圖3

∵AD是⊙O的直徑,

∴∠3+∠2=90°.

∴∠2=∠D.

∵BC切⊙O于點B,

∴∠1=∠D.

∴∠1=∠2.

又∠1+∠BAC=90°,∠2+∠BAD=90°,

∴∠BAD=∠BAC.

點評：證法二主要用到了“直徑所對的圓周角等于90°”,直角三角形兩銳角互余,“同弧所對的圓周角等于它所夾的弦切角”,最后以“等角的余角相等”結束證明.

分析三：如圖4,連接DB并延長,與AC的延長線交于點F,則∠ABF=∠DBA=90°,進而證明∠DAB=∠BAC.

圖4

證法三：補全圖形,用三角形內角和證明.

如圖4,連接DB并延長,交AC的延長線于點F.

∵AD是⊙O直徑,

∴∠ABF=∠DBA=90°.

∴∠1+∠2=90°.

∴∠BAC+∠F=90°.

∴∠1=∠F.

∵BC切⊙O于點B,

∴∠1=∠D.

∴∠D=∠F.

∴∠DAB=∠BAC.

點評：證法三主要用到了“補形法”,運用“直徑所對的圓周角等于90°”、弦切角、“直角三角形的銳角互余”實現證題.

分析四：圖形中出現一條切線,過點A作⊙O的切線,運用切線長定理及切線的性質來證明.

證法四：作切線補全圖形.

如圖5,過點A作⊙O的切線,交BC的延長線于點E.

圖5

∵EB切⊙O于點B,

∴EA=EB.

∴∠EAB=∠EBA.

∵EA切⊙O于點A,

∴∠EAB+∠DAB=90°.

∵AC⊥BC,

∴∠EBA+∠BAC=90°.

∴∠DAB=∠BAC.

點評：證法四主要用到了“切線法”,運用切線長定理、等腰三角形、“直角三角形的銳角互余”來實現證題.

分析五：圖形中出現一條切線,連接切點與圓心,由切線的性質得OB⊥BC,則OB∥AC,再運用平行線與等腰三角形的性質即可證題.

證法五：連接切點與圓心.

如圖6,連接OB.

圖6

∵BC切⊙O于點B,

∴OB⊥BC.

又AC⊥BC,

∴OB∥AC,

∴∠BAC=∠OBA.

又OA=OB,

∴∠OAB=∠OBA.

∴∠DAB=∠BAC.

點評：證法五思路簡單,簡潔明快,主要運用切線性質、平行線、等腰三角形來實現證題.連接切點與圓心,是常見的輔助線添加方式.

分析六：圖形中出現直徑,連接BD,出現直角;作弦的弦心距,出現平行線,再運用平行線與弦切角性質可以證題.

證法六略.

4 變式探究

著名數學家希爾伯特說過:“一個問題的解決,意味著一系列新的問題誕生,當我們解題成功時,不要忘記了提出新的問題”.因此,要不斷提出“問題”,“問題”是思維活動進行的原動力和牽引力,通過變式探究,設計有序、逐層遞進的問題,可以把知識內容和內在邏輯銜接起來,豐富數學核心素養.

變式1如圖7,在△ABC中,CA=CB,D為AB的中點,⊙D與AC相切于點E,求證:BC與⊙D相切．

圖7

證明：如圖8,連接DE,CD,過點D作DF⊥BC于點F.

圖8

∵CA=CB,DA=DB,

∴CD平分∠ACB.

∴DE=DF,且DE為⊙D的半徑.

∴BC與⊙D相切于點F.

注：也通過可證明△DAE≌△DBF得到DE=DF.

變式2如圖9,在△AEC中,以AE為直徑的⊙O交CA于點D,DA=DC,過點E作⊙O的切線交AC的延長線于點F.求證:∠AEC=2∠F.

圖9

證明：如圖10,連接DE.

圖10

∵AE是⊙O的直徑,

∴∠ADE=90°.

∵D是AC的中點,

∴EA=EC.

∴∠AED=∠CED.

∵∠AEF=∠ADE=90°,

∴∠AED+∠A=∠F+∠A=90°.

∴∠AED=∠F.

∴∠AEC=2∠F.

變式3如圖11,在△ABC中,∠ACB=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,E為AC的中點,連接DE．求證:DE是⊙O的切線．

圖11

證明：如圖12,連接OD,OE．

圖12

∵O,E分別為BC,AC的中點,

∴OE為△ABC的中位線.

∴OE∥AB.

∴∠COE=∠OBD,∠DOE=∠ODB.

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB.

∴∠COE=∠DOE.

又OC=OD,OE=OE,

∴△COE≌△DOE.

∴∠ODE=∠OCE=90°.

∴OD⊥DE.

∴DE是⊙O的切線．

5 結語

創新素養能夠打破常規,突破傳統,具有敏銳的洞察力、直覺力,豐富的想象力,預測力及捕捉機會的能力,等等,使思維具有一種超前性、變通性.從多角度分析、解答同一道數學問題,對促進學生的創新素養起到示范作用.