中考數學不同題型解題思路初探
——以浙江省杭州市中考數學試題為例

? 浙江省杭州市拱宸中學 沈 程

中考是初中學生的第一次人生大考,其重要性不言而喻.在分秒必爭的考場上,要想快速、準確地答好題,取得滿意的成績,除了要具備扎實的基礎知識外,還要選擇合理的解題途徑,掌握一些行之有效的答題方法與技巧.為此,筆者從選擇題、填空題和解答題這三種題型入手,以2022年浙江省杭州市的部分中考試題為例,對中考數學常見的解題思路進行了分析探究,供大家參考.

1 選擇題常見的答題思路與技巧

選擇題在各地市的中考試題中數量多(10題左右)、分值高(30分左右),在中考中占有十分重要的地位.因此,要想在中考中發揮好就必須要答好選擇題.解答選擇題不外乎“直接求解”與“間接解決”兩種思路,具體的答題方法有直接法、驗證法、排除法、數形結合法等.下面以驗證排除法為例進行分析探究.

驗證排除法,即根據已知條件,把分析或計算得出的結果與各選擇支逐一驗證、排除,即可選出符合題意的答案.

例1(2022·浙江省杭州市中考第5題)如圖1,CD⊥AB于點D,已知∠ABC是鈍角,則( ).

圖1

A.線段CD是△ABC的AC邊上的高線

B.線段CD是△ABC的AB邊上的高線

C.線段AD是△ABC的BC邊上的高線

D.線段AD是△ABC的AC邊上的高線

解析：因為線段CD是△ABC的AB邊上的高線,所以A選項錯誤,B選項正確.

因為線段AD是△ACD的CD邊上的高線,所以C,D選項錯誤.

故應選:B.

思路與技巧：本題考查了對三角形高線定義的準確理解,熟練掌握三角形高線的相關知識是解題的關鍵.解答過程充分展示了理解概念、驗證、排除、數形結合等多種方法綜合運用的技巧.

2 填空題常見的答題思路與技巧

與選擇題相比,填空題缺少選擇支的信息,與解答題相似.雖然不需要解答過程,但解答過程的每一步都要保證準確,一步失誤就會導致全題零分,所以難度較大.但由于填空題常用來考查基本概念、基本運算,大多能在課本中找到原型或背景,所以解題的思路可以參照選擇題與解答題,在“觀察、理解、分析、轉化”思想的指導下,根據填空題題干的具體要求,分析隱含條件,謹慎作答.下面以數形結合法為例,進行分析探究.

數形結合法適用于具有明顯幾何特征的填空題.借助圖形進行直觀分析,再輔以簡單運算即可得出正確答案.

例2(2022·浙江省杭州市中考模擬沖刺試題第16題)在等腰直角三角形ABC中,已知∠ABC=90°,P是△ABC內一點,使PA=11,PB=6,PC=7,則邊AC的長為______．

解析：如圖2,將△CPB繞點B逆時針旋轉90°得△AEB,連接PE.因為△CPB≌△AEB,所以AE=CP=7,BE=BP=6,∠EBP=90°.所以∠BEP=∠BPE=45°.

圖2

思路與技巧：本題考查了解直角三角形問題,解題的技巧表現在根據題意作圖,將抽象、復雜的數量關系形象、直觀地揭示出來,“以形助數”“數形結合”,解題過程中靈活運用了勾股定理.

3 解答題常見的答題思路與技巧

數學中考的三種題型中,解答題的題量雖然比不上選擇題與填空題,但其主要由綜合問題組成,包括計算題、證明題和應用題等,占分比重與難度最大,得分率與失分率也最高,所以熟練掌握答題技巧顯得尤為重要.

答題時,要從已知條件出發,仔細審題,在全面、準確理解題意,深挖其隱含條件的基礎上,運用有關數學知識進行推理、演算或證明,最后達到所要求的目標;同時要將整個解答過程條理清晰、完整、邏輯嚴密地陳述清楚.

3.1 構造函數法

函數類綜合題在解答題中屬于高頻考點,解答這類問題的基本思路是,根據問題的條件,通過構造函數,將問題轉化為函數性質的研究,也是一種常用的解題方法.

例3(2022·浙江省杭州市中考第22題)設二次函數y1=2x2+bx+c(b,c是常數)的圖象與x軸交于A,B兩點.

(1)若A,B兩點的坐標分別為(1,0),(2,0),求函數y1的表達式及其圖象的對稱軸;

(2)若函數y1的表達式可寫成y1=2(x-h)2-2(h是常數)的形式,求b+c的最小值.

(2)由題意,得y1=2x2-4hx+2h2-2.

因為y1=2x2+bx+c,則b=-4h,c=2h2-2,所以b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4,當h=1時,b+c取得最小值-4.

思路與技巧：本題考查了待定系數法、二次函數的最值與對稱性,要求熟練掌握二次函數的最值,對稱性是解題的關鍵.其中第(1)問只需要利用待定系數法計算即可;第(2)問根據等式的性質,構造b+c關于h的二次函數,即可求出b+c的最值.

3.2 轉化法

這里的轉化法是指運用“數形結合”思想,把幾何問題轉化為代數問題(或把代數問題轉化為幾何問題)來解決.這是一種應用廣泛且有效的間接解題思路.

例4(2022·浙江省杭州育才中學模擬卷第21題)如圖3,在長方形ABCD中,DC=5 cm,在DC上存在一點E,沿直線AE把△AED折疊,使點D恰好落在BC邊上,設此點為F,若△ABF的面積為30 cm2,求折疊的△ADE的面積.

圖3

解析：設DE=x,由S△ABF=30,AB=5,得BF=12.

由圖形翻折,可知△ADE≌△AFE,所以AF=AD=13,EF=x,則FC=1,EC=5-x.

由勾股定理得x2=(5-x)2+12,解得x=2.6(cm).

思路與技巧：本題主要考查軸對稱的基本性質、勾股定理、全等三角形等.把幾何問題轉化為代數問題(解方程)是解決此類題型的主要思路.圖形折疊后,需要從折疊中分析出全等形才能充分利用已知條件,而要列出含有未知數的方程,關鍵技巧就在于能否找到等量關系.

3.3 分類討論法

有些數學運算,由于未知數的變化會導致出現不同的結果,因此需要對未知數進行分類討論,才能保證解題的完整.

例5(2022·浙江省杭州東南中學模擬卷第17題)解方程x2+|x+1|-1=0.

解析：(1)當x+1≥0,即x≥-1時,原方程可化為x2+x+1-1=0,即x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.

(2)當x+1<0,即x<-1時,原方程可化為x2-(x+1)-1=0,即x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.因為x<-1,所以x1=-1.

綜上所述,原方程的解是x1=0或x2=-1.

思路與技巧：本題考查絕對值方程的解法.解答這類問題的思路是把含有絕對值的方程轉化為一般方程,即去掉絕對值符號,將其變為不含絕對值符號的方程再求解.因此,根據絕對值的定義,以x+1≥0與x+1<0為標準進行分類討論,最后要注意驗根.

上文中結合實例對中考數學的選擇題、填空題和解答題進行了初步探討,總結了一些常用的解題思路與方法.不同的題型有著不同的答題技巧,當然,這些答題技巧并不是獨立存在的,它們大多是無形地滲透在各類題型的各個解題環節中,憑借這些技巧可以幫助考生適當減少思考與答題的時間,提高準確率.但是,真正有效的答題方法與技巧是建立在扎實的數學基本功之上的,這要靠學生在平時的學習中多練習、勤思考、善總結.因此,教師在教學中要花更多的精力與時間去夯實學生的基礎,引導學生勤奮學習,刻苦鉆研,不斷提高;切不可舍本逐末,單純地把學會幾招臨場技巧當做提高中考成績的救命稻草.