滲透數學思想 彰顯核心素養
——以“二次函數與一元二次方程”的設計與思考為例

? 甘肅省高臺縣第二中學 王麗娟

教育部頒布的《義務教育數學課程標準(2022年版)》明確指出:數學課程設計要體現數學學科特征,要符合學生的認知規律,有助于學生理解、掌握數學的基礎知識和基本技能,形成數學基本思想,積累數學基本活動經驗,發展核心素養[1].由此可見,在平時的教學中潛移默化地滲透基本的數學思想方法,提升核心素養至關重要.筆者結合多年的一線教學經驗,對學生核心素養的培養也做了一些探索和反思,下面就以“二次函數與一元二次方程”的設計與思考為例,談談自己的認識.

1 教學設計

1.1 復習舊知,引入課題

教學內容:復習一次函數與一元一次方程的聯系以及一元二次方程的解法和一元二次方程根的判別式.

師生活動:教師先利用希沃白板展示3道小題,讓學生思考并積極回答.

(1)一次函數y=x-1與x軸的交點坐標為______.

(2)一元一次方程x-1=0的解是______.

(3)若一次函數y=kx+b的圖象與x軸交點的橫坐標為1,請直接寫出一元一次方程kx+b=0的解:______.

設計意圖：任何學習都是在學習者已經具有的知識經驗和認知結構、已獲得的操作技能、習得的態度等基礎上進行的.通過復習環節,一方面鞏固舊知,喚醒學生思維,另一方面為學習二次函數與一元二次方程的關系做準備,此處用到了類比的數學思想.

1.2 探索新知,得出性質

教學內容:研究二次函數與一元二次方程的關系,深刻體會數形結合思想在數學中的應用.

師生活動1:教師利用幾何畫板畫出二次函數y=x2+2x的圖象(圖1),讓學生直觀觀察該函數圖象與x軸有幾個交點以及交點坐標分別是什么.

圖1

學生在教師的引導下,很容易發現二次函數y=x2+2x的圖象與x軸有兩個交點,交點坐標分別是(-2,0),(0,0).接著,教師再引導學生用因式分解法求一元二次方程x2+2x=0的兩個根,分別是x1=-2,x2=0.

師生活動2:同樣地,利用幾何畫板畫出二次函數y=x2-2x+1的圖象(圖2),讓學生直觀發現二次函數y=x2-2x+1的圖象與x軸有一個交點,交點坐標是(1,0).同時,學生不難求得一元二次方程x2-2x+1=0的解是x1=x2=1.

圖2

師生活動3:最后,請學生觀察圖3,課件出示二次函數y=x2-2x+2的圖象,該圖象與x軸沒有交點,進一步通過計算一元二次方程x2-2x+2=0根的判別式得出Δ<0,因此這個方程無實數根.

圖3

設計意圖：利用數形結合,讓學生直觀感受到二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的情況和一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況有很多相似之處.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點有三種情況,即有兩個交點、有一個交點、沒有交點;與此相對應,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三種情況,即有兩個不相等的實數根、兩個相等的實數根、沒有實數根,亦即二次函數y=ax2+bx+c與x軸交點的個數是一元二次方程實數根的個數.再進一步,引導學生從“形”的角度來看,二次函數與x軸交點的橫坐標和一元二次方程ax2+bx+c=0的根(從“數”的角度)是相同的,從而順理成章地突破了本節課的重點,提升了學生的思維.

1.3 抓住本質,學以致用

教學內容:通過例題的講解學習,學生進一步夯實本節課的重點,體會恰當的數學思想方法對解題的簡化和輔助作用.

例題一元二次方程ax2+bx+c=3的解可以看作是拋物線______與直線______交點的橫坐標.

設計意圖：此題著重體現化歸思想,培養學生的發散思維能力,可以從不同的角度進行理解.一元二次方程ax2+bx+c=3的解可以看作是拋物線y=ax2+bx+c-3與直線y=0(即x軸)交點的橫坐標,也可以看作是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=3交點的橫坐標,還可以看作是拋物線y=ax2+bx與直線y=-c+3交點的橫坐標.

1.4 提煉總結,收獲感悟

這節課我們復習了哪些舊知?又學到了哪些新知?用到了哪些數學思想?你有什么收獲?請同學們暢所欲言,勇于歸納總結.

師生活動:學生暢談自己本節課新的收獲.教師用課件出示知識要點,如圖4.

設計意圖：照應課中的復習舊知,讓學生對本節課的內容進一步系統化,歸納新知識.課件中“新”“舊”知識的對比,實際問題數學化的建模,更增強了學生的直觀感受,體會數學思想的獨特魅力.

2 教學反思

2.1 前后貫通,銜接備課

數學經驗是學習數學的基礎,也是學習新知與情境創設的前提,北師大版數學教材也正好是按照這樣的規律進行編排的,該教材最大的特點就是“螺旋式”上升,讓學生在循序漸進中潛移默化地接受知識.九年級學生的思維處于繼續由形象思維向抽象思維、邏輯思維提升的階段,但由于學生認識、知識儲備的差異,有一部分學生仍以形象思維為主,因此教師備課就要以舊知為基礎,以學生已有的認知為切入點,通過對教學要求、教材內容、數學學科素養、教法與學法等方面的銜接探討,進行銜接式備課.比如本節課,在講授二次函數與一元二次方程的時候,我們在備課環節設計一次函數與一元一次方程的關系,通過類比,順理成章地過渡到二次函數與一元二次方程的聯系.

2.2 適度變式,舉一反三

課堂是數學核心素養落腳的主陣地.學生學習的主要目的是由學會到會學,教師在例題的講解和習題的設計上要凸顯一題多解、一題多變.一題多解能培養學生的求異思維和發散思維,使學生學會多角度分析和解決問題;一題多變,可以加深學生對數學原理、通性通法的認識,在“異”中求“同”,得通法,在“同”中找“異”,探優法,從而促進學生創造能力、分析問題和解決問題能力的發展,這也與課程標準中提倡的核心素養一脈相承.

2.3 引領思維,內化思想

著名教育家弗賴登塔爾曾說過:“與其說讓學生學習數學,不如說讓學生學習數學化.”意思是學生學習數學的終極目標應該是形成自己的數學思想和方法,學會用數學的眼光看待事物,學會用數學的方法解決問題[2].多年的一線教學生涯使筆者堅定這樣一個認識,即數學教師應該將滲透數學思想成為提升學生核心素養的有意識行為,“授之以魚,不如授之以漁”,學生只有在教師這種長期有意識的熏陶下,慢慢領悟數學思想,切身體會到數學的奧妙,才能激發出學習數學的興趣,才有可持續發展的潛力.總之,教之道在于“會導”,學之道在于“會悟”.如果教師在教學過程中把學生思維的培養和數學思想的滲透作為目標之一,那么我們相信學生核心素養的提升將不是一句空話!