幾何畫圖追尋本質 深度探究享樂其中
——一道自編題的思考

程 峰, 何漫天

(1.彭澤縣釣魚臺中學,江西 彭澤 332700;2.彭澤縣教體局教育發展中心,江西 彭澤 332700)

1 試題展現

例1如圖1,已知△ABC和△DEF是全等的等邊三角形,且點B,D,C,E在同一直線上.試僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(不寫作法,保留作圖痕跡).

圖1

1)在圖1(a)中,作出DC的中點;

2)在圖1(b)中,作出以AB,BC為鄰邊的菱形.

(2023年江西省彭澤縣九年級模擬考試數學試卷第14題)

此題是筆者為江西省彭澤縣模擬考試提供的試題.從考后各校反饋的信息看,此題受到了較好的評價.下面筆者把對此題的思考和探究整理成文,與讀者分享.

2 試題解答

本文主要討論第2)小題.為了便于讀者理解第2)小題的畫法,筆者先介紹畫法中用到的幾個模型圖(圖2～5),限于篇幅,4個圖中相關結論的證明略.

圖2

圖2說明AD∥BC,O是AC的中點,AD,BO的延長線交于點E,聯結CE,則四邊形ABCE是平行四邊形.若AB=BC,則四邊形ABCE是菱形.

圖3說明四邊形ABCD,DCEF都是平行四邊形,對角線AC,BD交于點G,對角線DE,CF交于點H,GH與DC交于點M,則點M是DC的中點.

圖4說明四邊形ABCD,AEFD都是平行四邊形,且點B,C,E,F在同一條直線上,對角線AC,BD交于點M,對角線DE,AF交于點N,MN與DC,AE分別交于點P,Q,則點P是DC的中點,點Q是AE的中點.

圖4

圖5說明在△ABC中,EF∥BC,BF,CE交于點O,聯結AO,AO的延長線與BC,EF分別交于點D,G,則D,G分別是BC,EF的中點.反之,若AD是△ABC的中線,O是AD上任意一點,聯結CO并延長交AB于點E,聯結BO并延長交AC于點F,則EF∥BC.

第2)小題筆者提供的答案如圖6～8所示.在閱卷過程中,有少數學生給出了如圖9和圖10所示的畫法,顯然,這兩種畫法(本質上是一種)也是正確的.閱卷結束后,筆者教學之余繼續探究第2)小題的畫法,又找到如圖11～14所示的畫法.其實,圖9～14的畫法與圖6思路相同,都是先作出邊AC上的中點,再作出菱形.

圖6

圖9

圖12

3 試題再探

美國數學教育家波利亞說過:“沒有一道題可以解決得十全十美,總還有值得我們探究的地方.”他還說過:“好題就像蘑菇,當你找到第一棵蘑菇后,要環顧四周,因為它們總是成堆生長的.”因此,筆者教學之余對此題進行了再探究,并得出了一個一般性的結論.

1)把圖1(b)中的等邊△DEF向下翻折,如圖15,同樣可以作出以AB,BC為鄰邊的菱形ABCM(畫法提示:先畫出以AB,BE為鄰邊的平行四邊形ABEN,再畫出菱形ABCM).

圖15

2)把等邊△DEF縮小,此時△ABC∽△DEF,是否還能畫出以AB,BC為鄰邊的菱形呢?答案是肯定的,筆者歷經一個月的持續思考,探究了兩個等邊三角形如圖16～34的各種位置關系,發現均能作出菱形ABCM.

圖16

圖19

圖22

圖25

圖31

圖34

結論當等邊△ABC和等邊△DEF全等或相似,且△DEF的兩邊或三邊分別與△ABC的兩邊或三邊平行時,都能畫出以AB,BC為鄰邊的菱形.若△DEF只有一條邊與△ABC的一邊平行,則不能畫出以AB,BC為鄰邊的菱形,如圖35和圖36所示.

評注1)上述畫法中,有的圖形有多種畫法,有的圖形筆者給出的可能不是最簡的畫法.2)上述圖形的變化規律是:大三角形不動,小三角形從右往左移動,也就是從大三角形外移動到大三角形內.3)筆者認為,上述圖形的探究由于添加的線段和交點較多,比較復雜,因此除了圖16、圖21外,其他圖形不宜在課堂上向學生展示,但是適合教師探究.

4 陳題新探

圖37

圖39

5 幾點思考

1)從編題的角度看,筆者認為例1受到較好評價的原因主要是:①此題的背景圖和要畫的圖形都是初中階段最常見的幾何圖形——等邊三角形、菱形.它們的性質、判定都是學生熟悉并掌握的.學生見到此題會有一種“似曾相識”的感覺,因此題目的起點較低,第1)小題的得分率達到90%.②此題取材于含60°角的菱形,含60°角的菱形可以看作是兩個全等的等邊三角形組成,這種菱形是最常見的菱形之一.于是,筆者想到先把含60°角的菱形分割成兩個全等的等邊三角形,然后改變兩個三角形的位置關系,還原(畫)出菱形,考查學生的逆向思維,因此此題的落點較高.第2)小題的平均得分率只有40%,說明第2)小題對于大部分學生來說是很有難度的.

2)從題目功能看,只利用無刻度直尺畫圖問題是借助無刻度直尺在幾何基本圖形、網格或坐標系等幾何背景中進行作圖構思與研究,由此探究相關點、線、幾何圖形之間的特殊位置、形狀及大小之間的關系,進而設置相關的問題與探究.無刻度直尺畫圖的實質是構造直線和點這兩種基本圖形,其中畫直線的基本原理是兩點確定一條直線,畫點的基本原理是兩直線交于一點,這對訓練和培養學生幾何直觀、推理能力等核心素養有著極為重要的意義.如此題要畫菱形,根據圖形特征,容易想到先畫出中點,再畫出菱形,較好地考查了學生的幾何直觀能力、推理能力和創新能力.

3)從探究過程看,著名數學家陳省身曾說:“數學好玩.”教師應當享受探究與發現的樂趣,讓解題不再是負擔,而是享受;讓解題過程不再沉冗煩躁,而是輕松愉快.也就是說,教師應該把一題多解、多題一解、一題多變、發現規律、提煉規律等當作是常態化教研,并享受其中的探究過程.教師的探究應該是自發的、內省的,應該有“超前意識”,是“源”于學生而又“高”于學生的,是“高屋建瓴”的.因此,引導學生有目的地探究的前提是教師更要有主動探究的意識和創新意識.另外,教師在探究過程中還可以發現美、挖掘美.例如,筆者把兩個全等的等邊三角形變為兩個相似的等邊三角形,在探究過程中思考了兩個等邊三角形所有可能出現的位置關系,并最終得出能畫出菱形的一般規律,充分體現了“變中蘊含不變”的辯證思想.還有陳題新探的探究過程也是對數學美的發現和挖掘.當然,還可以把此題的兩個全等的等邊三角形變為兩個全等或相似的等腰三角形繼續探究,有興趣的讀者可以嘗試.