素養(yǎng)視角下幾何模型教學(xué)的思考
——由一道幾何問(wèn)題的師生探討談起

肖 霄

(重慶復(fù)旦中學(xué),重慶 400010)

0 引言

數(shù)學(xué)是一門研究模式的科學(xué).模型是模式的具體化,模型反映了對(duì)象之間隱藏的某種規(guī)律或關(guān)系,這些對(duì)象可以是圖象,也可以是數(shù)字、抽象的關(guān)系,甚至是思維方式.幾何模型,如“角平分線模型、四邊形對(duì)角互補(bǔ)模型、角含半角模型、將軍飲馬模型”等廣泛存在于“圖形與幾何”的相關(guān)內(nèi)容中.

核心素養(yǎng)的核心不是單純的知識(shí)技能,也不是單純的興趣、動(dòng)機(jī)、態(tài)度,而是重視運(yùn)用知識(shí)技能以及解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題所必需的思考力、判斷力與表達(dá)力及其人格品性[1].聚焦初中幾何模型,核心素養(yǎng)意味著學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)模型關(guān)聯(lián)的規(guī)律、性質(zhì)和關(guān)系,還應(yīng)具備運(yùn)用這些模型解決問(wèn)題的能力.因此,在幾何模型的實(shí)際教學(xué)中,這種凸顯創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)不再局限于“記憶型”的知識(shí)習(xí)得和重現(xiàn),而必須是學(xué)習(xí)者調(diào)動(dòng)主觀能動(dòng)性的“思考型”深度學(xué)習(xí).但在素養(yǎng)理念已經(jīng)深入中小學(xué)教學(xué)各個(gè)方面的今天,幾何模型教學(xué)在實(shí)踐中是否符合學(xué)生的認(rèn)知、是否清晰地體現(xiàn)幾何知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)、是否有利于學(xué)生借助幾何模型學(xué)習(xí)構(gòu)建完整的知識(shí)體系?近期和學(xué)生的一次探討讓筆者對(duì)以上問(wèn)題有了進(jìn)一步的思考.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)與師生探討

例1在△ABC中,D在AB上,E在BC上,∠AED=∠ABC,點(diǎn)F在邊AE上,EF=DE.

1)如圖1,若CE=BD,求證:BE=CF;

圖1

2)如圖2,若CE=AD,點(diǎn)G在邊DE上,∠EFG=∠EFC,求證:CF=2GF;

3)如圖3,若CE=AD,EF=2,∠ABC=30°,當(dāng)△CEF的周長(zhǎng)最小時(shí),請(qǐng)直接寫出△BCF的面積.

這是筆者所在學(xué)校九年級(jí)一名學(xué)生向筆者求助的一道題目.這名學(xué)生告知筆者第1)小題已經(jīng)順利解決,但對(duì)第2)和第3)小題束手無(wú)策.在隨后的交流中,筆者得知該題來(lái)源于中考復(fù)習(xí)后的練習(xí).在詢問(wèn)其對(duì)這兩道小題的看法時(shí),這名學(xué)生告訴筆者,根據(jù)條件“∠EFG=∠EFC”以及“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,可知這兩道小題分別屬于幾何模型中的“角平分線”“定弦定角”模型,結(jié)合以往教學(xué)中教師對(duì)角平分線模型的問(wèn)題條件和方法的總結(jié),他想通過(guò)圖4這樣構(gòu)造輔助線(即在FC上截取FH=FG,聯(lián)結(jié)EH)尋找問(wèn)題突破口(證明點(diǎn)H為FC的中點(diǎn)即可),但接下來(lái)證明點(diǎn)H為FC的中點(diǎn)有難度,只能轉(zhuǎn)而求解第3)小題.看到條件中的“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,他發(fā)現(xiàn)這是以往在圓相關(guān)章節(jié)學(xué)習(xí)中涉及的“定弦定角模型”問(wèn)題,進(jìn)一步分析可知點(diǎn)B在以DE為弦、半徑為2的圓上,如圖5所示.據(jù)此他認(rèn)為這一小題是與圓相關(guān)的最值問(wèn)題,但經(jīng)過(guò)一番思考和嘗試后,發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)特征難以確定,問(wèn)題求解就此停滯不前.

圖4

圖5

在進(jìn)一步交流中筆者了解到這名學(xué)生對(duì)第2)小題有初步思路:由條件“∠AED=∠ABC”以及圖形信息,知其符合“一線三等角模型”中角的關(guān)系特征.由此,他得到題目隱含的條件:∠BDE=∠AEC.筆者引導(dǎo)其考慮在“∠BDE=∠AEC,EF=DE,且CE=AD”的條件下,聯(lián)想證明三角形全等的條件“SAS”,從而可利用如圖6所示作輔助線的方法(延長(zhǎng)DE至點(diǎn)N,使ND=DE,聯(lián)結(jié)AN)對(duì)問(wèn)題思路展開探尋.這名學(xué)生在思考后發(fā)現(xiàn)△ADN≌△CEF及△EGF∽△EAN,從而順利解決了問(wèn)題.同時(shí),當(dāng)筆者提示“點(diǎn)D為NE的中點(diǎn),已證得AN=CF以及需要證明CF=2GF”時(shí),這名學(xué)生提出是否可利用中位線加以考慮.得到筆者肯定后,他經(jīng)過(guò)幾番嘗試后得到如圖7所示作輔助線的第2種方法(取AE的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)DM).

圖6

隨后,筆者詢問(wèn)在圖4這樣的方法受阻后,是否就認(rèn)為這里“角平分線模型”不可行,這名學(xué)生表示由于題目條件以及以往所學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累,并未聯(lián)想到其他辦法.但當(dāng)筆者詢問(wèn)當(dāng)圖4這樣的思路難有突破時(shí),是否嘗試過(guò)圖8(延長(zhǎng)FG至點(diǎn)H,使FH=FC,聯(lián)結(jié)EH)這樣的思路,出乎意料的是該學(xué)生告知筆者在模型及其習(xí)題學(xué)習(xí)中基本只遇到采取圖4或者向角兩邊作垂線的角平分線問(wèn)題,對(duì)圖8這樣的角平分線結(jié)構(gòu)比較陌生.在對(duì)如圖8所示結(jié)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)學(xué)習(xí)后,筆者引導(dǎo)其通過(guò)“導(dǎo)角”得到∠BAE=∠DEH,明確原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)G為FH中點(diǎn)后,結(jié)合問(wèn)題條件和類比以往所學(xué)的中點(diǎn)證明方法,這名學(xué)生自主探究后發(fā)現(xiàn)如圖9所示的第3種方法(過(guò)點(diǎn)F作EH的平行線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q).

圖8

針對(duì)第3)小題,筆者提示學(xué)生考慮△CEF的周長(zhǎng)受點(diǎn)C位置的影響,但由∠ABC=30°以及CE=AD,實(shí)際上點(diǎn)C的位置受點(diǎn)A的影響.有了前面探究活動(dòng)的鋪墊,這名學(xué)生由第2)小題中△ADN≌△CEF,以及動(dòng)點(diǎn)A在定直線EF上,發(fā)現(xiàn)原問(wèn)題不是他認(rèn)為的“定弦定角模型”,而是“將軍飲馬模型”,從而找到了問(wèn)題的突破口,如圖10所示(類比如圖6所示的方法,作點(diǎn)N關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)N1,聯(lián)結(jié)DN1交EF于點(diǎn)A1).

從師生探討中分析這名學(xué)生思路受阻的成因,雖然幾何模型的相關(guān)學(xué)習(xí)使其能迅速識(shí)別題目隱含的模型,進(jìn)而調(diào)動(dòng)記憶中該模型的相關(guān)認(rèn)知結(jié)構(gòu)以便對(duì)問(wèn)題展開求解,但這也容易造成思維定式,使其難于結(jié)合問(wèn)題條件識(shí)別模型的適切性,在運(yùn)用模型探尋思路受阻時(shí),無(wú)法準(zhǔn)確判斷是條件挖掘、整合不夠,還是對(duì)模型本身隱藏的規(guī)律和關(guān)系認(rèn)識(shí)有所偏頗或不足.但歸根結(jié)底,主要原因在于目前的幾何模型教學(xué)存在不合理現(xiàn)象:部分課堂教學(xué)只是教授模型的成立條件、運(yùn)用方法,對(duì)模型的本質(zhì)及其方法由來(lái)和知識(shí)間的關(guān)聯(lián)講解不深入,數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)和滲透的力度不夠;對(duì)幾何模型在“圖形與幾何”內(nèi)容中的意義,特別是在推動(dòng)核心素養(yǎng)發(fā)展方面的作用認(rèn)識(shí)不到位,加之部分教師認(rèn)為學(xué)生在幾何模型的學(xué)習(xí)和運(yùn)用主要是如圖11所示的認(rèn)知過(guò)程,忽略了絕大多數(shù)學(xué)生面對(duì)幾何模型問(wèn)題,特別是如第3)小題這樣的涉及運(yùn)動(dòng)變化的幾何最值問(wèn)題時(shí),由于圖形變化產(chǎn)生的抽象性和不確定性,使得模型的深層建構(gòu)難以一蹴而就,需要經(jīng)歷反復(fù)、多次的螺旋上升的過(guò)程,如圖12所示.

圖11

圖12

因此,亟須對(duì)幾何模型教學(xué)的內(nèi)容和方式進(jìn)行把握與創(chuàng)新,注意與信息技術(shù)的有機(jī)結(jié)合,才能從根本上促進(jìn)幾何模型教學(xué)朝著有利方向轉(zhuǎn)變.

2 教學(xué)思考

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中,“圖形與幾何”作為4個(gè)課程內(nèi)容之一,主要研究幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系[2].幾何模型用簡(jiǎn)潔、直觀,甚至較少的位置和數(shù)量條件高度概括了圖形中邊、角隱含的某些規(guī)律或性質(zhì),能夠?yàn)閷W(xué)生的素養(yǎng)提升提供幫助.但無(wú)論學(xué)習(xí)何種幾何模型,模型本身只是一個(gè)載體,教師應(yīng)著力于借助幾何模型這個(gè)載體,思考如何引導(dǎo)學(xué)生掌握研究幾何圖形的一般思路和基本方法,從幾何模型的學(xué)習(xí)活動(dòng)中積累必要的經(jīng)驗(yàn),發(fā)展相應(yīng)的核心素養(yǎng).綜合前文的論述和分析,筆者認(rèn)為初中幾何模型教學(xué)應(yīng)聚焦以下3個(gè)方面.

2.1 整體把握幾何模型,注重模型與核心素養(yǎng)的聯(lián)系

幾何模型是落實(shí)“圖形與幾何”課程內(nèi)容目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生相應(yīng)核心素養(yǎng)的載體.因此,一方面,教師要對(duì)幾何模型涉及的內(nèi)容整體分析,包括模型的產(chǎn)生與來(lái)源、與之相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和聯(lián)系以及模型本身在整個(gè)課程中的價(jià)值和意義.此外,還應(yīng)特別注意將教師對(duì)幾何模型的教學(xué)意圖清晰地向?qū)W生展示,引起其重視.這里尤為重要的是教學(xué)中要強(qiáng)化學(xué)生對(duì)模型的理解,提煉出貫穿模型背后的知識(shí)及方法的本質(zhì).以例1中“角平分線模型”為例,模型的幾種結(jié)構(gòu)如圖13所示,其方法本質(zhì)是在已有一邊一角(角平分線)對(duì)應(yīng)相等的條件下,根據(jù)三角形全等判定條件“SAS”或“AAS”進(jìn)行相應(yīng)的圖形構(gòu)造與補(bǔ)充.厘清模型方法的由來(lái)方能確立適合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的幾何模型學(xué)習(xí)主題,也才能在某一模型主題統(tǒng)整下幫助學(xué)生建構(gòu)起脈絡(luò)清晰的知識(shí)體系,形成邏輯性較強(qiáng)的知識(shí)結(jié)構(gòu).

圖13

另一方面,幾何模型的教學(xué)要注意引導(dǎo)學(xué)生類比不同幾何模型之間研究方法的異同,深刻感悟方法間的一致性和可遷移性,在此基礎(chǔ)上明晰模型概念、原理及其運(yùn)用條件,由此建構(gòu)起有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而學(xué)會(huì)用整體的、發(fā)展的、聯(lián)系的數(shù)學(xué)眼光思考和分析問(wèn)題,養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣,在此過(guò)程中與之對(duì)應(yīng)的核心素養(yǎng)才能得到發(fā)展.

教師要根據(jù)“圖形與幾何”板塊的內(nèi)容主線,明晰教學(xué)中涉及的幾何模型是否與之契合,從而準(zhǔn)確挖掘模型中的核心素養(yǎng)要素,進(jìn)而厘清這些要素在模型概念、原理和性質(zhì)的習(xí)得以及運(yùn)用階段達(dá)到何種要求和發(fā)展水平,便于準(zhǔn)確把握該階段需要關(guān)注的核心素養(yǎng),使模型無(wú)論從內(nèi)容還是從學(xué)習(xí)要求上都能與核心素養(yǎng)的目標(biāo)緊密聯(lián)系在一起.

2.2 創(chuàng)新幾何模型教學(xué)方式,注重引導(dǎo)學(xué)生探究

幾何模型是一類具有高度概括性和抽象性的內(nèi)容,必然要經(jīng)歷螺旋上升的學(xué)習(xí)過(guò)程,這就需要學(xué)生深度參與學(xué)習(xí),也只有這樣才能實(shí)現(xiàn)對(duì)模型深層次地建構(gòu),由此發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力,還要求教師在幾何模型教學(xué)時(shí)注重引導(dǎo)學(xué)生探究式地展開對(duì)模型的學(xué)習(xí).在幾何模型的學(xué)習(xí)中,學(xué)生的動(dòng)手操作和自主探究對(duì)促進(jìn)他們理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、發(fā)現(xiàn)模型隱含的規(guī)律或關(guān)系都有不可替代的作用.例如,上文中,學(xué)生在筆者引導(dǎo)下,完善對(duì)角平分線模型的認(rèn)識(shí)后,獨(dú)立結(jié)合問(wèn)題條件進(jìn)行探究并發(fā)現(xiàn)第3種方法,在順利解決問(wèn)題獲得良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)的同時(shí),對(duì)角平分線模型也有了更完整的認(rèn)識(shí),充分感受到“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想在問(wèn)題分析、求解過(guò)程中的重要性,同時(shí)更深刻地認(rèn)識(shí)到模型運(yùn)用離不開對(duì)問(wèn)題條件的深度挖掘和有機(jī)整合.此外,幾何模型的教學(xué)要通過(guò)設(shè)置層層遞進(jìn)、適合各認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生參與的問(wèn)題解決活動(dòng).例如,在第3)小題的實(shí)際教學(xué)中可先設(shè)問(wèn)求△CEF周長(zhǎng)的最小值,在此基礎(chǔ)上再安排求△BCF的面積,同時(shí)還可類比△CEF周長(zhǎng)最小(即求CE+CF的最小值)問(wèn)題,將其改變?yōu)榍髚CE-CF|的最大值,借助一系列問(wèn)題變式調(diào)動(dòng)各認(rèn)知水平層級(jí)的學(xué)生主動(dòng)參與到模型的探究學(xué)習(xí)中,嘗試將幾何模型蘊(yùn)含的規(guī)律、性質(zhì)和重要結(jié)論自主探究并建構(gòu)出來(lái),體會(huì)到幾何模型學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心.

幾何模型教學(xué)的關(guān)鍵在于教師要著力促進(jìn)學(xué)生自主探究、學(xué)會(huì)探究,以學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展為教學(xué)目標(biāo),思考如何根據(jù)不同模型內(nèi)容、不同學(xué)習(xí)要求選擇包括現(xiàn)代教育信息技術(shù)在內(nèi)的何種教學(xué)模式更為適當(dāng),推動(dòng)幾何模型教學(xué)的師生共進(jìn),教學(xué)相長(zhǎng).

2.3 重視信息技術(shù)的運(yùn)用,促進(jìn)信息技術(shù)與幾何模型教學(xué)的深度融合

現(xiàn)代信息技術(shù)的跨越式發(fā)展促使課堂教學(xué)模式發(fā)生了很大的變化,針對(duì)幾何模型教學(xué)而言,更需要重視現(xiàn)代信息技術(shù)的運(yùn)用.幾何模型的突出特點(diǎn)是其本質(zhì)不變,但問(wèn)題情境多樣,特別是以幾何最值為代表的各種幾何模型.在這類模型的問(wèn)題教學(xué)中,利用信息技術(shù)讓圖形“動(dòng)”起來(lái),將抽象的、不易準(zhǔn)確把握的圖形變化過(guò)程直觀、形象地展示給學(xué)生,這樣做不僅可以切實(shí)提升課堂教學(xué)的有效性,還能培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的幾何直觀和空間觀念等核心素養(yǎng).例如,師生探討第3)小題,當(dāng)學(xué)生根據(jù)條件“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,認(rèn)為這是“定弦定角模型”問(wèn)題時(shí),筆者并未第一時(shí)間指出其思考的不足之處,而是首先肯定其準(zhǔn)確識(shí)別出這里有“定弦定角模型”,隨后借助幾何畫板軟件,讓其觀察點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)A和點(diǎn)C的位置,如圖14～16所示.

圖14

圖17

信息技術(shù)與幾何模型教學(xué)的深度融合使學(xué)生得以充分調(diào)動(dòng)多種感官投入問(wèn)題的探究活動(dòng),消弭由于圖形變化導(dǎo)致難以分析而產(chǎn)生的畏難情緒,從而有利于學(xué)生在圖形變化中發(fā)現(xiàn)數(shù)量和位置關(guān)系的“變”與“不變”,引導(dǎo)其正確地進(jìn)行模型識(shí)別,為后續(xù)準(zhǔn)確挖掘圖形隱含的性質(zhì),進(jìn)而順利解決問(wèn)題搭好“腳手架”,促進(jìn)幾何直觀、空間觀念等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

幾何模型的教學(xué)需要教師在內(nèi)容的整體把握、教學(xué)模式的改進(jìn)與創(chuàng)新,以及現(xiàn)代信息技術(shù)的深度融合下促進(jìn)學(xué)生積極自主探究,積累必要的經(jīng)驗(yàn),深入體會(huì)直觀驗(yàn)證和演繹推理在幾何模型學(xué)習(xí)中的重要作用,逐步落實(shí)幾何直觀、空間觀念以及推理能力等核心素養(yǎng)目標(biāo),在不斷探索幾何模型規(guī)律、性質(zhì)的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)特有的人文韻味.