用求導法解決極值問題

郝 詳

(河北保定外國語學校 河北 保定 071000)

極值問題在物理教學中經常出現,根據物理規律,找到物理量之間的關系,利用數學知識求解極值,是擺在每個物理教師面前的問題.

在求解極值問題時,最長用的方法是三角函數法(在2022 年 1 月浙江省普通高校招生選考科目考試物理試題第5題用到)和二次三項式性質法(配方法,比如2012年普通高等學校招生全國統一考試浙江理綜物理卷第5題用到).但是,這兩種方法對有的題目效果并不好,比如下面的例題.

【例1】如圖1所示,光滑小球a、b的質量均為m,a、b均可視為質點,a、b用剛性輕桿連接,豎直地緊靠光滑墻壁放置,輕桿長為l,b位于光滑水平地面上,a、b處于靜止狀態,重力加速度大小為g.現對b施加輕微擾動,使b開始沿水平面向右做直線運動,問:直到a著地的過程中,何時b的速度最大?

圖1 例1題圖

分析:對b施加輕微擾動使b開始沿水平面向右做直線運動,桿被壓縮,對a和b均為推力,桿對a做負功,桿對b做正功,當桿的推力等于零時,桿對b做正功最多,此時b的速度最大,設桿與水平方向的夾角為θ,對系統由機械能守恒有

沿著桿的速度相等,有

vasinθ=vbcosθ

聯立解得

即

Ekb=mgl(1-sinθ)sin2θ

通過觀察發現,動能Ekb是關于θ的函數,而且是高次函數,所以用三角函數的方法有些困難.現在作函數的y-θ圖像,如圖2所示.

圖2 y=(1-sin θ)sin αsin α函數圖像

通過圖線發現,函數的最大值在42°左右,并不是一個特殊值,這就需要用到費馬定理.由于高中階段對此介紹是通過例題出現的,在此簡單介紹一下.

費馬定理這樣表述:若函數f(x)在x0點有導數,并且在x0的某鄰域內恒有f(x)≤f(x0)[f(x)≥f(x0)]成立,則f′(x0)=0[1].費馬定理的幾何意義是:如果f(x)在x0的值不小于臨近的函數值[或f(x0)不大于臨近的函數值],只要在[x0,f(x0)]點曲線有切線,其切線必為水平.函數在x0處的切線水平,意味著函數在此處存在極值(函數的一階導數等于零).

例題解法:設

y=mgl(1-sinθ)sin2θ

對其求導,有

y′=2mglsinθcosθ(2-3sinθ)

求導法不但可以解決三角函數的極值問題,也可以解決二次函數的極值問題.

【例2】(2017年高考全國Ⅱ卷第17題)如圖3所示,半圓形光滑軌道固定在水平地面上,半圓的直徑與地面垂直,一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道,并從軌道上端水平飛出,小物塊落地點到軌道下端的距離與軌道半徑有關,此距離最大時,對應的軌道半徑為(重力加速度為g)( )

圖3 例2題圖

分析:設小物塊運動到最高點的速度為vt,半圓形光滑軌道半徑為R,小物塊由最低點運動到最高點,由機械能守恒定律,有

小物塊從最高點飛出做平拋運動,則

聯立解得

根式下面是一個關于R的二次函數,令

用這種方法比判別式方法求二次函數極值簡單高效.

通過以上例題可以看出,在求極值問題上,求導法是難得的好方法.