幾種運動周期的分析探討*

駱書院

(重慶市清華中學校 重慶 400054)

胡 南

(重慶理工大學 重慶 400054)

蔡柳東

(重慶市育才中學校 重慶 400050)

1 引言

我們在教學中發現有一些看似毫無關聯的運動,例如近地衛星的環繞運動,小球在地球內部的光滑直隧道中做簡諧運動,無限擺長的小角度單擺運動等,它們的周期居然相同.這種看似偶然的巧合,也許有著必然的聯系[1].下面我們從物體所受的萬有引力入手,對上述幾種運動周期進行推證.

2 幾種運動周期的推證

2.1 近地衛星運行周期

若地球是一個半徑為R,密度為ρ的均勻球體,質量為m的近地衛星繞其表面做勻速圓周運動.

地球的質量

(1)

衛星的萬有引力提供向心力

(2)

由式(1)、(2)得

(3)

將萬有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,地球密度ρ=5.5×103kg/m3代入式(3),可得T≈84 min.

2.2 小球在地球內部光滑直隧道中運動的周期

若地球是一個半徑為R,密度為ρ的均勻球體.如圖1所示,現沿著地球直徑挖一條光滑隧道(不計地球自轉),將質量為m的小球從隧道口靜止釋放開始運動.

圖1 小球在沿地球直徑光滑隧道內運動

當小球運動到距地心x處時,虛線球體的質量

(4)

小球所受萬有引力為(地球殼對小球的引力為零)

(5)

由式(4)、(5)得

由簡諧運動周期公式

(6)

(7)

如果不沿著地球的直徑挖隧道,而是沿著地球的任意一條弦挖光滑隧道(不計地球自轉),將質量為m的小球從隧道口靜止釋放開始運動.如圖2所示,當小球運動到距弦中心x處時,虛線球體的半徑為r,地球殼對小球的引力為零,小球受到地球的萬有引力F萬.把F萬分解為沿著隧道并指向隧道中心的力F1和垂直于隧道的力F2,F2與隧道給小球的支持力FN平衡.

圖2 小球在沿地球任意弦方向光滑隧道內運動

由題意得

(8)

其中

(9)

由式(8)、(9)可得

(10)

2.3 無限擺長小角度單擺的周期

如圖3所示,設想有一個擺長L遠大于地球半徑R的單擺在地球表面附近做小角度擺動,不考慮空氣阻力和地球自轉.地球是一個密度為ρ的均勻球體,小球所受的萬有引力F萬時刻指向地心[2].

圖3 擺長L遠大于地球半徑R的單擺

小球回復力大小

(11)

因為α和β都極小

(12)

由式(1)、(11)、(12)可得

其中

所以周期

(13)

當L?R時,由式(13)知

(14)

這樣無限擺長的單擺周期又是熟悉的84 min了.

3 結束語

在求解上述周期類題目時,命題者往往會給出地球半徑R,重力加速度g等常見量數據,給人造成了周期是與R、g等物理量有關的錯覺.其實從式(3)、(7)、(10)、(14)可知,這幾種物體的運動周期都是一個只與地球密度有關的必然結果,并非偶然巧合.

從運動學的角度看,做勻速圓周運動的物體在其直徑上的投影點恰好在做振幅為R的簡諧振動,它是勻速圓周運動的一個分運動,兩者具有等時性.如圖4所示,把在直徑AB上做簡諧運動的物體投影到圓的任意一條弦AC上,投影點也恰好做振幅為Rcosα的簡諧運動,它又是直徑上做簡諧運動的一個分運動,也具有等時性.在無限擺長且擺角極小的單擺中,擺球的運動軌跡可以看作近地表面地球的一條超短弦(如圖3中的弦MN),它的運動與小球在光滑直隧道MN中的運動相同,兩者還是具有等時性.這樣看來幾種運動都得到相同的周期且約為84 min也就在情理之中了.

圖4 直徑上做簡諧運動的物體在弦上投影