一維熱傳導方程推導及定解條件小結*

默會霞 梅 婷

(北京郵電大學理學院 北京 100876)

1 引言

熱量具有從高溫的地方流向低溫的地方的現象這就是熱傳導或熱傳遞現象[1-2],其表現了熱能從高溫部分向低溫部分轉移的過程.由于熱量的傳遞過程總是表現為一個區域內溫度隨時間和空間位置的變化,所以考慮熱傳導問題就是要求物體內溫度隨時間和空間的分布情況,即求解熱傳導方程.

在很多數學物理方程或工程數學教材中,對于熱傳導方程的推導一般是從高維著手,其實具體到一維情形其推導需要更仔細,因為此時需要利用Fourier定律分別考慮兩端的熱傳導情況.本文將以均勻且各向同性的細棒為例,用兩種方法推導細棒在傳熱過程中溫度所滿足的偏微分方程,即熱傳導方程.并給出一些常見的定解條件,如初始條件,第一、二、三類邊界條件,并通過舉例對這些初始條件進行說明.

先來介紹一下支配熱傳導現象的若干物理定律.

(1) Fourier定律[3]

在各向同性的介質中,熱流強度q與溫度的負梯度成正比

(1)

其中K>0是熱傳導系數,u是溫度.熱流強度q的大小是單位時間內垂直通過等溫面單位面積的熱量,即

q的方向是等溫面的法線方向(由高溫指向低溫).式(1)中取負號是因為熱流方向與溫度梯度的正方向(即梯度方向)相反.

(2)能量守恒與轉化定律[3]

自然界中的一切物體都有能量,能量有各種不同的形式,它能從一種形式轉化為另一種形式,也可以從一個物體傳遞到另一個物體.在能量傳遞或轉化過程中能量的總數量保持不變.

(3) Newton冷卻定律[3]

Newton冷卻定律是指溫度高于周圍環境的物體向周圍媒質傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規律.當周圍環境與物體表面存在溫度差時,在單位時間內從單位面積散失的熱量與溫度差成正比,即

q(S,t)=H(u|S-u0)

(2)

其中比例系數H>0,稱為熱傳遞系數,u0為周圍介質的溫度,u|S是物體表面溫度.

由于

其中n0是介質表面的單位外法向量,故式(2)可以改寫為

(3)

接下來,我們將以均勻且各向同性的細棒為例,用兩種方法推導在傳熱過程中溫度所滿足的微分方程,且對一些常見的定解條件進行總結.

2 一維熱傳導方程的推導

設熱量在各向同性的均勻細棒中流動,即通過棒的導熱率是恒定的,沒有做功,也沒有熱源和散熱器.細棒側面絕緣,熱量只能通過兩端流入或流出.設棒長為L,將棒沿數軸放置,如圖1所示,則0≤x≤L.設細棒的橫截面積為S,介質的比熱為c,質量密度為ρ,熱傳導系數K>0(由于介質均勻,故K和ρ都是常數),q(x,t)和u(x,t)分別是細棒在t時刻在x點處的熱流強度和溫度.接下來我們討論細棒在傳熱過程中溫度u(x,t)所滿足的微分方程.

圖1 均勻細棒

2.1 利用微分法推導一維熱傳導方程

假設熱沿著數軸的正方向流動,任取桿上的一小段[x,x+dx],如圖2所示,現在我們利用微元法計算在給定時間段dt內,體積微元dV=Sdx內的凈熱增量.

圖2 細棒上的微元

這里i是沿著x軸正向的單位向量.

類似地,在dt時間段內,從截面右側流出dV的熱量為

dQ2=-Kux(x+dx,t)Sdt

從而在dt時間段內流入體積微元dV內的總熱量為

dQ=dQ1-dQ2=

K[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]Sdt=

uxx(x,t)KSdxdt

(4)

另外,由物理知識體積微元dV溫度升高du所需的總熱量是

(5)

其中c是比熱,ρ是桿的線密度.

Kuxx(x,t)=cρut(x,t)

或

這就是一維的熱傳導方程.

2.2 利用微元法通過積分推導一維熱傳導方程

假設熱沿著數軸的正方向流動,任取細棒上的一段x-Δx≤ξ≤x+Δx,如圖3所示.現在我們利用微元法計算在給定時間段t-Δt≤η≤t+Δt內,體積微元ΔV內的熱量變化.

圖3 細棒上的一段

類似于方法一的推導,易見在時間段t-Δt≤η≤t+Δt內,流入細棒小段x-Δx≤ξ≤x+Δx的總熱量為

ux(x-Δx,η)]dη=

(6)

另外,由物理知識知道,細棒上單位時間,單位長度單位面積溫度升高Δu所需的總熱量是

ΔQ=cρΔu

其中c是比熱,ρ是桿的線密度.

從而,在時間段t-Δt≤η≤t+Δt內,桿內小段x-Δx≤ξ≤x+Δx的溫度升高Δu所需的熱量是

(7)

由能量守恒Q1=Q2,從而由式(6)和式(7),可得

從而

cρuη(ξ,η)-Kuξξ(ξ,η)=0

也即

這也是一維的熱傳導方程[4].此方法類似文獻[5]中的推導.

3 熱傳導問題的定解條件

為了完全弄清楚一個物理過程,還要給出定解條件.接下來,對一維熱傳導方程一些常見的定解條件進行總結,并舉例說明.

(1)初始條件

初始條件描述所研究系統的初始狀態.由于熱傳導方程對時間只有一階導數,故只要一個初始條件,即要給出系統各點在初始時刻的溫度分布情況,即

u(x,t)|t=0=φ(x)

(2)邊界條件

第一類邊界條件:給定溫度在邊界上的值.

【例1】[3]在一維問題中,若導熱桿在x=0端保持為零度,x=L端保持為T,則有

u(0,t)=0u(L,t)=T

第二類邊界條件:給定溫度在邊界上的法向導數值.

情形1:邊界不絕熱

【例2】[3]在x=0處,單位面積上單位時間沿邊界面外法線方向(-i)流出的熱量為

q(0,t)=(-i)·q|x=0=

(8)

這表明,若ux(0,t)>0,則在x=0附近溫度隨x增大而增大,則桿通過x=0面流出的熱量q(0,t)>0;反之亦然.易見式(8)可改寫為x=0端的邊界條件

類似地,在x=L處,在邊界面單位面積上單位時間沿邊界面外法線方向i流出的熱量為

q(L,t)=i·q|x=L=

(9)

這表明,若ux(L,t)>0,即在x=L附近溫度隨x增大而增大,則導熱桿通過x=L面流出的熱量q(L,t)<0;反之亦然.易見式(9)可改寫為x=L端的邊界條件

(10)

由于x=0與x=L處邊界面外法線方向相反,使式(8)與式(10)相差一負號.

情形2:邊界絕熱

【例3】[3]假設細桿與周圍介質處于絕熱狀態,或者邊界上的熱流率始終為零.則由情形1的推導過程易見此情形下熱方程的相應邊界條件為

ux(0,t)=0ux(L,t)=0

第三類邊界條件[3]:給定邊界溫度與邊界溫度法向導數的線性關系.

【例4】細棒兩端以Newton冷卻定律與周圍介質(其溫度為u0)進行熱交換.

由牛頓冷卻定律,在介質邊界面S上,單位時間從單位面積散失的熱量同介質溫度u|S與周圍介質溫度u0之差成正比,即

q(s,t)=q·n0|S=

(11)

其中H>0為熱交換系數,n0為介質表面的單位外法向量.

在x=L處n0的方向就是x軸的正方向,所以式(11)可寫為

即

(ux+σu)|x=L=σu0

其中

在x=0處n0的方向就是x軸的負方向,所以式(11)可寫為

即

(ux-σu)|x=0=-σu0

故例4中一維熱傳導方程的第三類邊界條件為

(ux-σu)|x=0=-σu0

和

(ux+σu)|x=L=σu0

注:一維熱傳導方程還有其他格式如差分格式[6]等.除了求熱傳導方程解析解,還可求其數值解[7].

4 結論

熱傳導方程是一類重要的偏微分方程,本文以均勻且各向同性的細棒為例,推導了細棒在傳熱過程中溫度所滿足的偏微分方程,且對一些常見的定解條件進行總結并舉例說明.

致謝：作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.