巧求橢圓柱面的轉(zhuǎn)動慣量*

黎 磊 萬慧軍 勾慶東

(井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院 江西 吉安 343009)

轉(zhuǎn)動慣量是物理學(xué)乃至整個自然科學(xué)的一個重要概念,它反映了物體轉(zhuǎn)動下的慣性,轉(zhuǎn)動慣量越大的物體角速度越難被改變.作為轉(zhuǎn)動定理中的一個重要物理量,轉(zhuǎn)動慣量貫穿在整個轉(zhuǎn)動力學(xué)中,掌握轉(zhuǎn)動慣量的多種計算方法是學(xué)好轉(zhuǎn)動動力學(xué)的前提.眾多大學(xué)物理教材以及教學(xué)參考書中會給出較為簡單的剛體模型對相應(yīng)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量計算公式,如勻質(zhì)的圓環(huán)、圓盤、圓柱體、圓柱面、球、球面等,不過基本都是在直角坐標(biāo)系下利用轉(zhuǎn)動慣量的定義直接積分求得.針對不同類型的剛體模型,往往可以有不同的轉(zhuǎn)動慣量計算方法和技巧,選取合適的方法可以簡化計算,比如:文獻[1]利用三角形的頂點坐標(biāo)與邊長的關(guān)系,直接推導(dǎo)出任意的勻質(zhì)三角形框線繞其質(zhì)心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量.文獻[2]應(yīng)用量綱分析法,遞推出了幾類分形物體的轉(zhuǎn)動慣量.文獻[3]用廣義柱面坐標(biāo)變換計算了橢圓柱體繞對稱軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量.文獻[4]用質(zhì)量投影法計算了均質(zhì)橢圓柱面剛體對中心對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量.文獻[5]在極坐標(biāo)下計算了勻質(zhì)橢圓環(huán)和橢圓盤對過焦點和過中心的豎直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.

本研究針對橢圓柱面模型,利用極坐標(biāo)在表示質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離上的優(yōu)勢,采用以橢圓中心為極點的極坐標(biāo)方程并結(jié)合平行軸定理,計算了橢圓柱面繞3個中心對稱軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量.本方法另辟蹊徑,不需要給出曲面的面積微元表達(dá)式,對于初學(xué)者更容易理解,本研究內(nèi)容推導(dǎo)過程詳細(xì),思路清晰,不管是對極坐標(biāo)的應(yīng)用教學(xué)還是對轉(zhuǎn)動慣量的求解教學(xué)都具有啟發(fā)意義.

1 橢圓柱面的轉(zhuǎn)動慣量

如圖1所示,在橢圓柱面模型中建立直角坐標(biāo)系Oxyz,原點O選在橢圓柱面中心橫截面的中心,x軸沿著橫截面橢圓的長軸方向,y軸沿著橫截面橢圓的短軸方向,z軸沿著橢圓柱面的高度方向.橢圓柱面的質(zhì)量為m,高度為L,橫截面橢圓的長半軸為a,短半軸為b,離心率為e.采用微元法,在橢圓柱面上選取寬度為dz的薄橢圓環(huán)作為微元,橢圓環(huán)到Ox、Oy轉(zhuǎn)軸的距離為z.我們首先計算橢圓環(huán)微元繞Ox、Oy、Oz軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量.

圖1 橢圓柱面示意圖

如圖2所示,以中心為極坐標(biāo)原點的橢圓的極坐標(biāo)方程可以表示為

(1)

圖2 橢圓環(huán)微元

橢圓環(huán)的弧長微分在極坐標(biāo)下可表示為

(2)

對式(2)進行化簡積分,得到橢圓環(huán)的長度表達(dá)式為

(3)

根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的計算公式并結(jié)合平行軸定理,可以將橢圓環(huán)繞Ox、Oy、Oz軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量分別寫為

(4)

(5)

(6)

對式(4)積分,可求出橢圓柱面繞Ox軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為

(7)

對式(5)積分,得到橢圓柱面繞Oy軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為

(8)

同理,對式(6)積分,得到橢圓柱面繞Oz軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為

(9)

2 討論與數(shù)值計算

我們討論一種特殊情況,當(dāng)橢圓的離心率e=0時,橢圓柱面轉(zhuǎn)化為圓柱面,此時橢圓的長短半軸相等,有a=b=R(圓半徑),橢圓周長L′=2πR.將這些代入式(7)、(8)、(9),計算可得

此即圓柱面繞相應(yīng)對稱軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式.

因為橢圓柱面的轉(zhuǎn)動慣量不能用只包含初等函數(shù)的解析表達(dá)式寫出來,所以我們對式(7)、(8)、(9)進行數(shù)值計算.假設(shè)m= 12 kg、L= 4 m,圖3、4、5分別給出了Jx、Jy、Jz對橫截面橢圓長短半軸a、b的依賴關(guān)系曲面.特別地,當(dāng)a=b=R=3 m時,如圖3、4、5所示,數(shù)值結(jié)果表明Jx=70 kg·m2,Jy= 70 kg·m2,Jz= 108 kg·m2,這和圓柱面對相應(yīng)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量的理論公式結(jié)果

圖3 橢圓柱面繞Ox軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量Jx

圖4 橢圓柱面繞Oy軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量Jy

圖5 橢圓柱面繞Oz軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量Jz

Jz=mR2=108 kg·m2

一致.

3 總結(jié)

本文在極坐標(biāo)下結(jié)合平行軸定理巧妙地求解了勻質(zhì)橢圓柱面分別繞Ox、Oy、Oz3個中心對稱軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量,并對結(jié)果進行了討論和數(shù)值計算.本研究內(nèi)容不僅可以用于大學(xué)物理教學(xué)中對轉(zhuǎn)動慣量相關(guān)計算的擴充講解,也可以在極坐標(biāo)相關(guān)應(yīng)用的課堂教學(xué)中發(fā)揮作用,加深學(xué)生對轉(zhuǎn)動慣量和極坐標(biāo)這兩個知識點的認(rèn)識.另外,本文中的計算方法也可以用于橢圓柱體、橢球體、橢球面等模型的轉(zhuǎn)動慣量計算,作為課本上沒有涉及的擴充解法.這種基于新的求解思路的教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生對大學(xué)物理理論知識的探究興趣,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維能力.