2-UPS/UPR/(rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)的運動學分析及應用

崔鑫佳，李清，寧峰平，李瑞琴，王斌斌，張磊

2-UPS/UPR/(rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)的運動學分析及應用

崔鑫佳，李清*，寧峰平，李瑞琴，王斌斌，張磊

（中北大學 機械工程學院，太原 030051）

針對產(chǎn)品加工包裝流水線上的印刷和裝箱環(huán)節(jié)，提出一種具有雙構(gòu)型的2-UPS/UPR/(rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)。基于螺旋理論，分析得出機構(gòu)在2種構(gòu)型下自由度的數(shù)目及性質(zhì)；根據(jù)修正的Kutzbach-Grübler公式，驗證自由度的計算結(jié)果；采用封閉矢量法計算2種模式下機構(gòu)的運動學反解；求解機構(gòu)在2種模式下的可達工作空間；分析應用實例，研究機構(gòu)在進行印刷和裝箱2個環(huán)節(jié)作業(yè)時驅(qū)動支鏈線位移的變化，使得機構(gòu)滿足噴碼和裝箱工作需求。2-UPS/UPR/(rT)PS并聯(lián)機構(gòu)具有2R1T、2R2T等2種運動模式，工作空間內(nèi)部連續(xù)。2-UPS/UPR/(rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)通過運動副軸線變化，使機構(gòu)可在2R1T、2R2T這2種運動模式下進行切換，可應用于產(chǎn)品印刷、裝箱環(huán)節(jié)。

可重構(gòu)；螺旋理論；運動學反解；工作空間

并聯(lián)機構(gòu)是目前的研究熱點，傳統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)的自由度存在單一性[1]，很難適應復雜多變的工況。可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)是一類具有多種工作模式的并聯(lián)機構(gòu)[2]，根據(jù)工作模式的不同，可以應用于產(chǎn)品包裝流水線上的不同環(huán)節(jié)，例如印刷環(huán)節(jié)、裝箱環(huán)節(jié)等。印刷環(huán)節(jié)機構(gòu)需要對印刷高度、印刷角度進行調(diào)整，裝箱環(huán)節(jié)機構(gòu)要有定位、抓取等多重功能。由此可見，可重構(gòu)機構(gòu)在包裝工程等領(lǐng)域具有廣泛的應用前景。

目前，可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)研究已成為眾多學者的關(guān)注焦點。馬春生等[3]提出一種2-SPR/(U+UPR)P(vA)可重構(gòu)并聯(lián)冗余機構(gòu)，分析了機構(gòu)的自由度和工作空間。張春燕等[4]對一種全R副可重構(gòu)機器人進行了分析，設(shè)計出該機器人的多種形態(tài)。賈維涵[5]設(shè)計了一種具有3種運動模式的并聯(lián)機構(gòu)。徐帥等[6]提出一種三自由度可重構(gòu)機構(gòu)，分析了機構(gòu)的工作空間。徐杰等[7]提出一種異形虎克鉸機構(gòu)，對機構(gòu)的自由度進行了分析。Essomba等[8]對3-RRR球面機構(gòu)進行了可重構(gòu)設(shè)計。Huang等[9]設(shè)計了一種通過改變結(jié)構(gòu)參數(shù)實現(xiàn)可重構(gòu)的并聯(lián)機構(gòu)。Jia等[10]提出了一種變胞機構(gòu)，可以從6個自由度變?yōu)?、4、3個自由度。Fang等[11]設(shè)計了一種具有閉環(huán)支鏈并聯(lián)機構(gòu)，可應用于復合材料鋪帶。Ye等[12]提出了一種具有連續(xù)可重構(gòu)能力的2R1T、1R2T的可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)。Chablat等[13]基于運動副鎖合，提出了具有3T和多種2T1R模式的并聯(lián)機構(gòu)。Li等[14]設(shè)計了一種三自由度多工作模式并聯(lián)機構(gòu)。Nurahmi等[15]提出的3-(rR)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)具有2種工作模式。將可重構(gòu)機構(gòu)與產(chǎn)品包裝融合，具有良好的應用前景。

針對產(chǎn)品印刷作業(yè)，文杰等[16]提出了一種具有2R1T自由度的2-RCU/CUR并聯(lián)機構(gòu)。針對快遞分揀裝箱作業(yè)，樊文龍等[17]設(shè)計了具有兩轉(zhuǎn)兩移自由度的2-RPU/2-SPU并聯(lián)機構(gòu)。機構(gòu)印刷需要2R1T的自由度：沿軸的移動，繞軸、軸的轉(zhuǎn)動；產(chǎn)品分揀裝箱，機構(gòu)需要具有沿軸、軸移動，以及繞軸、軸轉(zhuǎn)動的4個自由度。為了同時滿足2種生產(chǎn)環(huán)節(jié)的需求，文中提出一種2-UPS/UPR/(rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)，并分析該機構(gòu)在2種構(gòu)型下自由度的數(shù)目及性質(zhì)，依據(jù)運動學反解求解機構(gòu)的工作空間，結(jié)合印刷和裝箱實例，研究機構(gòu)在進行2種作業(yè)時的工作狀況。

1 并聯(lián)機構(gòu)2-UPS/UPR/(rT)PS構(gòu)型描述及坐標系的建立

并聯(lián)機構(gòu)2-UPS/UPR/(rT)PS由動平臺、靜平臺、1條UPR支鏈（支鏈1）、2條UPS支鏈（支鏈2和支鏈3）及1條(rT)PS支鏈（支鏈4）組成，如圖1所示。支鏈4由1個rT副、1個P副和1個S副組成。可變構(gòu)型虎克副[18]（簡稱rT副）是在普通虎克副的構(gòu)型基礎(chǔ)上，增加了1個可以調(diào)節(jié)虎克副姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)自由度。如圖2a所示，環(huán)形件的軸線與支鏈的軸線共線，記為(rT)1構(gòu)型。如圖2b所示，環(huán)形件的軸線與支鏈的軸線垂直，記為(rT)2構(gòu)型。

圖1 并聯(lián)機構(gòu)整體構(gòu)型

圖2 可變構(gòu)型虎克副的2種構(gòu)型

靜平臺和動平臺的構(gòu)型為圓形，半徑分別為、。靜平臺上的3個U副（點1、2、3）和1個rT副（點4）以正四邊形分布。動平臺上的1個R副（點1）和3個S副（點2、3、4）以正四邊形分布，如圖1所示。以靜平臺幾何中心為原點，建立靜坐標系-，其中，軸沿1連線方向指向1，軸沿2連線方向指向2，軸垂直于靜平臺向上。以動平臺幾何中心為原點，建立動坐標系0-000，0軸沿01連線指向1，0軸沿02連線方向指向2，0軸垂直于動平臺向上。

2 自由度分析

根據(jù)螺旋理論[1]，首先分析支鏈1（UPR支鏈），建立局部坐標系1-111，支鏈1的運動螺旋系見式（1）。

式中：11～14為支鏈1的運動螺旋；(，0，)為支鏈中P副的方向余弦；1為支鏈1桿長（U副中心到R副中心的距離），下同；(0，1，1)為4點的坐標。對式（1）求反螺旋，得到支鏈1的約束螺旋，見式（2）。

UPR支鏈提供1個過U副轉(zhuǎn)動中心、沿1方向的約束力，以及沿1方向的約束力偶。支鏈2和支鏈3為UPS支鏈，為六自由度支鏈，對機構(gòu)整體不產(chǎn)生約束[1]。支鏈4為(rT)PS支鏈。由于rT副具有特殊性，因此該支鏈應分為2種情況，如圖3所示。

圖3 支鏈4的2種構(gòu)型

當rT鉸變?yōu)?rT)1PS構(gòu)型時，如圖3a所示，螺旋142的軸線與支鏈4的P副共線，且過球副中心，此時可得支鏈4螺旋系，見式（3）。

式中：141～146為構(gòu)型1時支鏈4的運動螺旋；、為螺旋142轉(zhuǎn)軸軸線坐標分量；(0，，)為支鏈中P副的方向余弦；4為支鏈4桿長（rT副中心到球副中心的距離），下同；(0，4，4)為4點的坐標。螺旋142與螺旋145線性相關(guān)，對式（3）求反螺旋，得到此種構(gòu)型下支鏈4的約束螺旋，見式（4）。

此時，支鏈4提供1個沿4方向且通過支鏈中球副中心點的約束力。當rT副變?yōu)?rT)2PS構(gòu)型時，如圖3b所示，即螺旋242的軸線與支鏈4的P副的軸線垂直，此時支鏈4的運動螺旋系見式（5）。

式中：2$41～2$46為構(gòu)型2時支鏈4的運動螺旋；(0，e，f)為支鏈中P副的方向余弦；(0，l4e，l4f)為B4點的坐標。6個螺旋線性無關(guān)，此時支鏈對機構(gòu)不提供約束。機構(gòu)所受約束如圖4所示。

當支鏈4為(rT)1PS構(gòu)型時，由式（2）、（4）可知，支鏈為動平臺提供了3個約束，分別為沿軸的約束力、軸的約束力偶和沿軸的約束力，這3個約束線性無關(guān)，約束力偶限制轉(zhuǎn)動，約束力限制移動。機構(gòu)還剩下3個自由度，分別為繞軸的轉(zhuǎn)動、繞軸的轉(zhuǎn)動及沿軸的移動。

當支鏈4為(rT)2PS構(gòu)型時，機構(gòu)中只有UPR支鏈對機構(gòu)提供2個約束，分別為沿軸的約束力、沿軸的約束力偶，這2個約束線性無關(guān)。機構(gòu)還剩下4個自由度，分別為繞軸的轉(zhuǎn)動、繞軸的轉(zhuǎn)動、沿軸的移動、沿軸的移動。

用修正的Kutzbach-Grübler公式，對機構(gòu)在2種不同構(gòu)型時的自由度進行驗證，驗證見式（6）。

式中，機構(gòu)不存在公共約束，機構(gòu)的階=6，構(gòu)件數(shù)=10，機構(gòu)中總運動副的數(shù)目=12，機構(gòu)中運動副自由度數(shù)目之和為22，冗余約束=0。

在支鏈4為(rT)1PS構(gòu)型時，rT副中螺旋142的轉(zhuǎn)動軸線同S副的一個螺旋144的轉(zhuǎn)動軸線重合，產(chǎn)生了一個局部自由度，=1，計算可得=3。在支鏈4構(gòu)型為(rT)2PS時，無局部自由度，即=0，計算可得=4。驗證結(jié)果與螺旋理論計算自由度的結(jié)果相符。

在(rT)1PS構(gòu)型時，當機構(gòu)沿軸移動時，機構(gòu)的運動螺旋系不會發(fā)生變化，故約束螺旋不會發(fā)生改變，機構(gòu)的自由度數(shù)目及性質(zhì)也不會發(fā)生變化；當機構(gòu)繞軸、軸轉(zhuǎn)動時，機構(gòu)的運動螺旋系不會發(fā)生變化，約束螺旋不會發(fā)生變化，3個反螺旋線性無關(guān)，因此機構(gòu)的自由度具有全周性。在(rT)2PS構(gòu)型時，機構(gòu)中只有支鏈1提供約束，當機構(gòu)沿軸、軸移動時，機構(gòu)的運動螺旋系不會發(fā)生變化，2個約束螺旋線性無關(guān)；當機構(gòu)繞軸、軸轉(zhuǎn)動時，機構(gòu)的運動螺旋系不會發(fā)生變化，約束螺旋不會發(fā)生改變，2個約束螺旋線性無關(guān)，機構(gòu)的自由度數(shù)目及性質(zhì)不變。由此可見，在2種構(gòu)型下機構(gòu)的自由度具有全周性。

3 并聯(lián)機構(gòu)的位置反解

機構(gòu)的反解是根據(jù)機構(gòu)的末端位姿參數(shù)，反求機構(gòu)驅(qū)動參數(shù)的過程[5]。在靜平臺上，將鉸鏈點相對于靜坐標系-的坐標記為A。在動平臺上，將鉸鏈點相對于動坐標系0-000的坐標記為0。采用i表示桿B（即每條支鏈）位置矢量，采用i表示桿AB的長度，其中=1, 2, 3, 4。0點相對于點的位置矢量為0=[，，]T，由剛體轉(zhuǎn)動關(guān)系，設(shè)動平臺位姿角為(，，)。已知靜平臺和動平臺的半徑分別為、。靜平臺上各點相對于靜坐標系-的坐標見式（7），動平臺上各點相對于動坐標系0-000的位置坐標見式（8）。

將動坐標系0-000中的0點轉(zhuǎn)換到靜坐標系中，轉(zhuǎn)換后各點坐標記為D(=1, 2, 3, 4)，轉(zhuǎn)換見式（9）。

在2種構(gòu)型下，動平臺均無繞軸的轉(zhuǎn)動，故=0°。轉(zhuǎn)換矩陣的計算見式（10）。

式中：s、c分別表示sin、cos，下同。計算得到式（11）。

根據(jù)閉環(huán)矢量法，可求出各支鏈的位置矢量表達式，見式（12）。

得出式（13）。

支鏈的桿長方程見式（14）。

在構(gòu)型1時，機構(gòu)的自由度為沿軸的移動，以及繞軸和軸的轉(zhuǎn)動，故反解表達見式（15）。

當支鏈4為(rT)2PS構(gòu)型時，機構(gòu)共有4個自由度，沿軸、軸的移動，以及繞軸、軸的轉(zhuǎn)動，反解表達見式（16）。

在(rT)1PS構(gòu)型時，根據(jù)式（15），機構(gòu)可給定3個參數(shù)、、，求出驅(qū)動副反解。在(rT)2PS構(gòu)型時，根據(jù)式（16），機構(gòu)可給定4個參數(shù)、、、，求出驅(qū)動副反解。

4 工作空間

機構(gòu)能否達到預期的工作范圍，可以通過分析機構(gòu)的末端執(zhí)行器的可達工作空間來驗證[19]。設(shè)=120 mm，=80 mm，每條支鏈的伸縮范圍為200～600 mm。將末端執(zhí)行器中心點在動坐標系0-000的位置表示為01=[0，0，1]T，在(rT)1PS構(gòu)型下，通過旋轉(zhuǎn)矩陣將其轉(zhuǎn)換到靜坐標系-中，轉(zhuǎn)換后的位置見式（17）。

設(shè)定1=100 mm，給定機構(gòu)反解所需的參數(shù)，將反解表達式（15）導入Matlab中，可得到(rT)1PS構(gòu)型下機構(gòu)末端執(zhí)行器的可達工作空間范圍，如圖5所示。

由程序求解可知，末端執(zhí)行器方向的運動范圍為243～497 mm，軸、軸的運動范圍均為–86.602 5～ 86.602 5 mm。

圖5 工作空間（構(gòu)型1）

機構(gòu)在(rT)2PS狀態(tài)下，同樣將末端執(zhí)行器中心點01轉(zhuǎn)換到靜坐標系中，轉(zhuǎn)換后的位置見式（18）。

由于rT鉸具有特殊性，因此需對支鏈4中U形件的偏轉(zhuǎn)角進行限制。U形件的偏轉(zhuǎn)角可通過機構(gòu)的幾何特性表示出來，D4位于空間第3象限時求解示意圖如圖6所示。

在圖6中，1表示U形件的偏轉(zhuǎn)角，環(huán)形件軸線與U形件軸線相互垂直，環(huán)形件偏轉(zhuǎn)角為90°–1，見式（19）。

當4運動到其他區(qū)域時，式（19）不變。設(shè)定U形件偏轉(zhuǎn)角1轉(zhuǎn)動范圍為0°～60°，將反解表達式（16）導入Matlab中，可得到機構(gòu)的可達工作空間范圍，如圖7所示。

求解可知，末端執(zhí)行器在方向的運動范圍為486.391 6～486.391 6 mm，在方向的運動范圍為86.602 5～86.602 5 mm，在方向的運動范圍為175.710 8～599.513 4 mm。

圖7 工作空間（構(gòu)型2）

在尺寸不變的情況下，機構(gòu)通過rT運動副改變運動模式。比較2種運動模式可知，2R2T比2R1T多1個移動自由度，靈活性較強，工作空間也較大。對比圖6和圖7可知，在2種模式下，機構(gòu)在方向的運動范圍相同，但在2R2T運動模式下，機構(gòu)在和方向的運動范圍更大。即，工作空間大的對應2R2T運動模式。

5 應用實例

目前，很多產(chǎn)品的印刷和裝箱工作需要人工完成，如圖8所示。在印刷環(huán)節(jié)，刷頭需要有沿軸的移動自由度來定位印刷高度，由繞軸和軸的轉(zhuǎn)動來調(diào)整印刷角度。當2-UPS/UPR/(rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)為(rT)1PS構(gòu)型時，機構(gòu)的自由度滿足印刷工作所需的2T1R自由度，可以滿足印刷需求。在裝箱環(huán)節(jié)，抓手應具有沿軸的移動來調(diào)整抓取距離，由沿軸的移動將工件送至裝箱點，由繞軸和軸的轉(zhuǎn)動確保機械手能對工件的姿態(tài)進行調(diào)整，如圖8b所示。當2-UPS/UPR/(rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)為(rT)2PS構(gòu)型時，機構(gòu)的自由度可以滿足裝箱所需的2T2R自由度，滿足裝箱需求。

圖8 2種作業(yè)實際工況

以牛奶盒印刷為例，牛奶盒的尺寸為90 mm×60 mm× 120 mm，刷頭距離傳送帶（牛奶盒底部）240 mm。在第1種構(gòu)型時，根據(jù)工作空間范圍求解可知，刷頭在方向的運動范圍為243～497 mm，在軸、軸的運動范圍均為–86.602 5～86.602 5 mm，刷頭的工作空間包含牛奶盒印刷的作業(yè)空間。

對目標牛奶盒印刷進行模擬仿真，此時機構(gòu)有3個自由度，需要3個驅(qū)動。經(jīng)分析，在4條支鏈中任選3個P副作為驅(qū)動副，經(jīng)鎖死機構(gòu)的自由度均為零，即選取4條支鏈中的P副作為驅(qū)動副，存在1個冗余驅(qū)動。在此次仿真中，將支鏈1、支鏈2和支鏈3中的P副作為驅(qū)動副，將支鏈4中的P副作為冗余驅(qū)動。通過增加冗余驅(qū)動，可以優(yōu)化機構(gòu)的驅(qū)動力分配，降低機構(gòu)運動時支鏈的負載，提升機構(gòu)的性能。如圖9a所示，機構(gòu)進行印刷作業(yè)時，設(shè)刷頭距離噴碼處的垂直高度為200 mm。在0～1 s時，刷頭下移至印刷位置，同時調(diào)整印刷姿態(tài)。在1～2 s時，印刷第1個工件。在2～3 s時，刷頭豎直回移50 mm（防止影響下一個工件進入印刷區(qū)）。在3～4 s時，刷頭下移至印刷位置。在4～5 s時，對第2個工件進行印刷。在5～6 s時，印刷完成，刷頭返回初始位置。在工作過程中，各驅(qū)動支鏈線位移的變化如圖9b所示。

以規(guī)格為300 g的芒果糖盒裝箱為例，糖盒尺寸為150 mm×80 mm×100 mm，抓手與糖盒的垂直距離約為300 mm，糖盒距離目標放置點的橫向距離為400 mm。根據(jù)工作空間范圍可知，機構(gòu)在第2種構(gòu)型時，抓手在方向的運動范圍為486.391 6～486.391 6 mm，在方向的運動范圍為86.602 5～86.602 5 mm，在方向的運動范圍為175.710 8～599.513 4 mm，工作空間包含糖盒裝箱的作業(yè)空間。

對糖盒裝箱進行模擬仿真，機構(gòu)此時有4個自由度，選取4條支鏈中的P副作為驅(qū)動副，設(shè)定U形件的偏轉(zhuǎn)角1=30°，機構(gòu)進行裝箱作業(yè)，如圖10a所示。在0～1 s時，抓手下移300 mm，同時調(diào)整抓取姿態(tài)。在1～2 s時，抓取工件。在2～3 s時，抓手在豎直方向上移200 mm（設(shè)置箱體高度為100 mm，防止觸碰箱體）。在3～4 s時，橫向平移400 mm，到達箱體落點上方200 mm處。在4～5 s時，抓手下移200 mm，將工件裝箱。在5～6 s時，抓手在豎直方向上移200 mm（防止觸碰箱體）。在6～7 s時，抓手返回到初始位置下方200 mm處，等待下一個工件進入工作區(qū)。裝箱周期各驅(qū)動支鏈線位移的變化如圖10b所示。

圖9 噴碼環(huán)節(jié)

圖10 裝箱環(huán)節(jié)

以印刷環(huán)節(jié)為例，人工印刷單個產(chǎn)品的平均時間為8 s左右。采用傳統(tǒng)機械印刷的速度快，但受到單一自由度的限制，只能用于包裝線上某一環(huán)節(jié)。由圖9b可知，將該機構(gòu)應用于產(chǎn)品印刷，單個產(chǎn)品印刷的完成時間為5～6 s，效率高于人工印刷。相較于傳統(tǒng)并聯(lián)機構(gòu)，2-UPS/UPR/(rT)PS并聯(lián)機構(gòu)通過重構(gòu)可以應用到裝箱環(huán)節(jié)，從而實現(xiàn)一機多用。

6 結(jié)論

提出了2-UPS/UPR/(rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)，對機構(gòu)進行了運動學分析和工作空間分析，得出以下結(jié)論。

1）通過重構(gòu)rT運動副，實現(xiàn)了2-UPS/UPR/ (rT)PS可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)在2R1T、2R2T兩種自由度模式間的切換。

2）計算了機構(gòu)在2種構(gòu)型下的位置逆解方程，繪制了2種構(gòu)型下的工作空間，并分析了在構(gòu)型2時U形件偏轉(zhuǎn)角與機構(gòu)幾何尺寸的關(guān)系。

3）結(jié)合應用實例對機構(gòu)進行仿真分析，繪制機構(gòu)在進行印刷和裝箱環(huán)節(jié)時各個支鏈的線位移的變化情況，分析機構(gòu)應用于產(chǎn)品包裝線上的優(yōu)點，驗證了機構(gòu)的合理性。

在包裝流水線作業(yè)方面，目前有許多環(huán)節(jié)仍以人工為主，將并聯(lián)機構(gòu)與產(chǎn)品包裝相結(jié)合，對于提升工作效率及促進包裝產(chǎn)業(yè)的發(fā)展具有較高的應用價值。

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Kinematics Analysis and Application of Reconfigurable 2-UPS/UPR/(rT)PS Parallel Mechanism

CUI Xinjia,LI Qing*,NING Fengping,LI Ruiqin,WANG Binbin,ZHANG Lei

(School of Mechanical Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China)

The work aims to propose a 2-UPS/UPR/(rT)PS reconfigurable parallel mechanism with dual configuration for the printing and packing links on the product processing and packaging assembly line. Based on the screw theory, the number and properties of degrees of freedom of the mechanism in two configurations were analyzed. The degree of freedom calculation results were verified according to the modified Kutzbach-Grübler formula. The closed vector method was used to calculate the inverse kinematics of the mechanism under the two modes. The reachable workspace of the mechanism in two modes was solved. Through the analysis of application examples, the displacement change of the driving branch line of the mechanism during the two links of printing and packing was studied, and it was concluded that the mechanism could meet the requirements of printing and packing. The 2-UPS/UPR/(rT)PS parallel mechanism had two motion modes of 2R1T and 2R2T, and the workspace was continuous. The 2-UPS/UPR/(rT)PS reconfigurable parallel mechanism can be switched between 2R1T and 2R2T motion modes by changing the axis of the kinematic pair, which can be applied to the printing and packing of products.

reconfigurable; screw theory; inverse kinematics; workspace

TB486；TH112

A

1001-3563(2024)03-0226-08

10.19554/j.cnki.1001-3563.2024.03.026

2023-07-02

山西省重點研發(fā)計劃（202202150401018）；山西省研究生教育教學改革課題—中北大學校立培育項目（2023039JY06）