代數(shù)無處不在：交叉融合發(fā)展下的有效引擎

閆焱 鄧明立

如果要對代數(shù)學(xué)的歷史尋本挖源，它幾乎可以和人類的文明史相媲美。著名數(shù)學(xué)大師范·德·瓦爾登（B. L. van der Waerden， 1903—1996）認(rèn)為，在美索不達(dá)米亞、埃及、中國以及印度的古代文明之前，就存在著一種文明，這種文明是大部分早期數(shù)學(xué)的源泉[1]。代數(shù)學(xué)是伴隨著早期文明的產(chǎn)生而產(chǎn)生的，它是最早的、有組織的智力活動之一。代數(shù)學(xué)和美術(shù)、音樂以及宗教一樣，也是一項基本的、自然的人類活動。

代數(shù)化趨勢的形成

代數(shù)學(xué)的歷史可以追溯到什么時候呢？最早的代數(shù)起源于度量、計時和土地測量等實際問題。據(jù)記載，在公元前3000年左右，埃及和巴比倫的文明中就產(chǎn)生了以實用為目的的數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)這條困難重重的道路上，古埃及人大大推動了人類的進步，他們創(chuàng)造了最早的方程。古巴比倫人則在數(shù)學(xué)道路上走得更遠(yuǎn)，為了求解一些特殊形式的方程，他們創(chuàng)造了用特殊符號代表未知量的方法，這些都是代數(shù)早期的初始形態(tài)。在數(shù)學(xué)史上古希臘人是至高無上的，公元前 4世紀(jì)古希臘時期不僅誕生了真正的數(shù)學(xué)，從哲學(xué)到民主制，應(yīng)有盡有，這一時期的數(shù)學(xué)、社會及文化共榮發(fā)展。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，約246—330）是代數(shù)學(xué)重要的創(chuàng)始人之一。在13卷巨著《算術(shù)》中，丟番圖發(fā)明了用字母表示未知數(shù)的方法，并開始解答含有若干未知數(shù)的方程，為此還發(fā)明了能簡化解題過程的運算定律[2]。印度文明可以追溯到公元前2000年，但是據(jù)記載，他們在公元前800年以前是沒有數(shù)學(xué)的。古印度代數(shù)學(xué)主要被用于天文、利息與折扣計算、合股分紅、財產(chǎn)劃分等，在代數(shù)學(xué)的表達(dá)上采用縮寫文字和一些記號來描述運算，但是這一時期符號的使用比丟番圖的縮寫代數(shù)用途更加廣泛。

“代數(shù)”一詞可以追溯到公元9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家花拉子米（Al-Khwārizmī，約780—約850）的著作《還原與對消的科學(xué)》（al-jabr wal muqābala）中的“al-jabr”，該詞的本意為“還原”，即在方程中將負(fù)項移動到方程的另一端“還原”為正項。“代數(shù)”這個詞并沒有被翻譯成拉丁語，人們直接用它來表示這個尚未命名的新數(shù)學(xué)分支，該詞后來在英語中的用法與代數(shù)一詞的用法相同，后被簡譯為“algebra”。1859年中國數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）與英國漢學(xué)家偉烈亞力（A. Wylie， 1815—1887）合作翻譯了德·摩根（A. de Morgan， 1806—1871）的《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（The Elements of Algebra），首次將“algebra”譯成“代數(shù)”，由此代數(shù)作為新數(shù)學(xué)學(xué)科被引入中國，開啟了西方代數(shù)學(xué)在中國進行傳播的新紀(jì)元。

從5世紀(jì)到11世紀(jì)，代數(shù)學(xué)的發(fā)展在整個中世紀(jì)處于凝滯狀態(tài)。12世紀(jì)在數(shù)學(xué)史上是翻譯者的世紀(jì)，當(dāng)阿拉伯和希臘的一系列著作被陸續(xù)翻譯、傳播到歐洲以后，歐洲數(shù)學(xué)開始復(fù)蘇。13世紀(jì)前期，歐洲各地興建了一些歷史上著名的大學(xué)，代數(shù)學(xué)在這些大學(xué)中得到了重視和發(fā)展。在14世紀(jì)的文藝復(fù)興時期，數(shù)學(xué)像美術(shù)、音樂、文化以及科學(xué)一樣在歐洲繁榮了起來，并且發(fā)生了根本性的變化，據(jù)記載這種新的數(shù)學(xué)開始于代數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)。意大利數(shù)學(xué)家在求代數(shù)方程的精確解方面取得了重大的進步，他們的算法已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了自美索不達(dá)米亞時代起任何解方程的算法。此外，意大利數(shù)學(xué)還出現(xiàn)了另一種趨勢，即用代數(shù)學(xué)去解決科學(xué)中的問題。意大利科學(xué)家、數(shù)學(xué)家及發(fā)明家伽利略的工作最能說明科學(xué)家已經(jīng)開始注重用代數(shù)學(xué)作為表達(dá)自己思想的語言。伽利略的名著之一《關(guān)于兩門新科學(xué)的對話》（Dialogues Concerning Two New Sciences）中遍布著代數(shù)學(xué)思想[1]，但是這并不是一部代數(shù)學(xué)著作，而是一部關(guān)于科學(xué)的著作，伽利略在這部著作中利用代數(shù)函數(shù)的文字形式表述了自己的科學(xué)觀點。伽利略的代數(shù)學(xué)方法告別了過去，因為在以往的一千多年來，幾何學(xué)一直都是進行科學(xué)探索的語言，科學(xué)家與數(shù)學(xué)家們常常使用直尺和圓規(guī)來表達(dá)自己的思想。盡管伽利略通過代數(shù)函數(shù)描述了物體的物理性質(zhì)，遺憾的是，他沒有使用便捷的代數(shù)符號來表述這些思想。

但是16世紀(jì)代數(shù)學(xué)的重要進展已經(jīng)成為數(shù)學(xué)最顯著的成就。以費羅（S. D. Ferro， 1465—1526）、塔爾塔利亞（N. Tartaglia， 1499—1557）、卡爾達(dá)諾（G. Cardano， 1501—1576）、費拉里（F. Lodovico， 1522—1565，人們習(xí)慣稱其名）等為代表的數(shù)學(xué)家（他們都略早于伽利略）發(fā)現(xiàn)三次和四次方程的代數(shù)解為主要標(biāo)志，大大推動了代數(shù)方程的研究和發(fā)展。16世紀(jì)末到17世紀(jì)，產(chǎn)生了近代數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)學(xué)科之一的符號代數(shù)學(xué)。符號代數(shù)學(xué)（或字母代數(shù)學(xué)）的產(chǎn)生并沒有改變代數(shù)的算法本性，并由此派生了兩類相關(guān)的新問題[2]：計算對象以及計算法則。韋達(dá)（F. Viète， 1540—1603）是第一個系統(tǒng)地引入代數(shù)符號的數(shù)學(xué)家，依照今天的代數(shù)視角，這個符號體系不但復(fù)雜而且效果甚微。隨后，笛卡兒改進了韋達(dá)的符號體系，比如在語言上笛卡兒使用的是易懂的法蘭西口語，在形式上去掉了許多不必要的限定條件。1628年，笛卡兒將前人的幾何分析方法同近代人的代數(shù)方法相結(jié)合，從而形成了統(tǒng)一的普遍數(shù)學(xué)（構(gòu)造出普遍方法來解決科學(xué)問題，特別是數(shù)學(xué)問題，對此笛卡兒稱之為普遍數(shù)學(xué)），從而完成了符號代數(shù)學(xué)的建立，這套符號體系被廣泛用于解決各個領(lǐng)域中的實際問題，如土木工程、軍事工程、天文學(xué)、航海學(xué)、會計學(xué)等。

古典代數(shù)學(xué)大多使用的是語言描述，現(xiàn)在使用的代數(shù)符號是在17世紀(jì)沿用下來的。在數(shù)學(xué)史上，17世紀(jì)是一個引人注目的富于開創(chuàng)性的世紀(jì)，世界數(shù)學(xué)進入了近代數(shù)學(xué)時期，這一時期數(shù)學(xué)發(fā)展的特征是代數(shù)化趨勢明顯。最為典型的就是笛卡兒把變量解釋成數(shù)量（即線段的長度），使他首創(chuàng)了將代數(shù)方法作為研究幾何學(xué)的一種工具，建立了解析幾何學(xué)，實現(xiàn)了代數(shù)與幾何方法的統(tǒng)一，并將此方法付諸解決科學(xué)問題。代數(shù)學(xué)的發(fā)展史是伴隨著漫長的符號化進程的：從數(shù)字及其表示的符號化→運算的符號化→關(guān)系的符號化→各類量的系數(shù)符號化→更一般對象的符號化。在這種背景下，笛卡兒和萊布尼茨產(chǎn)生了邏輯符號化的思想，這種思想后來發(fā)展成符號邏輯，成為數(shù)理邏輯（重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一）的前身。事實上，符號化是使問題代數(shù)化至關(guān)重要的一步，它使得初等幾何學(xué)問題變得代數(shù)化、形式化，從而為程序化以及機械化證明奠定了基礎(chǔ)。在這種符號化的演變過程中，代數(shù)學(xué)作為一種符號語言，從字符體系的發(fā)明開始，不僅在數(shù)學(xué)中贏得了突出的地位，也促使數(shù)學(xué)家在表述自己思想的同時，不斷持續(xù)提升對符號系統(tǒng)的思維意識。

18世紀(jì)分析學(xué)在一定程度上推動了代數(shù)學(xué)的進展，在方程演算不斷發(fā)展的過程中，數(shù)值計算（或近似計算）以及方程理論問題逐漸成了代數(shù)學(xué)發(fā)展的新傾向和主流。盡管如此，符號代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生并沒有改變代數(shù)的算法本性，但由此派生了兩類相關(guān)的新問題：計算對象以及計算法則。大約在1840年前后，代數(shù)學(xué)發(fā)展成為對任意對象進行運算操作的一門科學(xué)。計算對象以及計算法則又得到了新的發(fā)展，計算對象進一步擴大，特別是行列式、矩陣、置換、變換等均可以成為運算的對象，只是它們的計算法則不一定服從數(shù)的運算法則。計算法則更加系統(tǒng)，比如冪等律、德·摩根律等新規(guī)則的確立。此外，代數(shù)符號化促使了結(jié)構(gòu)形式化的發(fā)展，這使得從1840年前后到1920年前后，在抽象群理論、交換環(huán)論、交換代數(shù)理論、域論、結(jié)合代數(shù)及非結(jié)合代數(shù)理論以及李群理論的發(fā)展過程中，形式地推廣促進了不同問題的解法統(tǒng)一成共同的算法，這些都推動著代數(shù)學(xué)逐漸走向了結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)研究的道路。

近世代數(shù)學(xué)——研究抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)的一門結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)

19世紀(jì)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)對于五次、六次乃至次數(shù)更高的方程找不到求根公式，在這種情況下，數(shù)學(xué)家希望創(chuàng)造出另一種代數(shù)，轉(zhuǎn)向一個新領(lǐng)域。這一時期，整個代數(shù)學(xué)由于群及域的觀念而使其自身發(fā)生了根本的改變，這種遠(yuǎn)離古典代數(shù)學(xué)的異端在最初并不被世人所接受，經(jīng)過了四五十年的發(fā)展之后，人們才開始意識到數(shù)學(xué)的對象除了“數(shù)”與“形”，還有“群”這類抽象的對象。19世紀(jì)中后期，諸如群一樣的抽象對象層出不窮，代數(shù)學(xué)迎來了新的局面，這為代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念在20世紀(jì)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。19世紀(jì)末，當(dāng)抽象群可以概括所有具體群的共同性質(zhì)，抽象群概念隨即誕生，并且可以很自然地把許多具體群論的結(jié)果都推廣到抽象群中。由于群概念的日趨成熟且涵蓋了當(dāng)時大部分的數(shù)學(xué)，因此一大批數(shù)學(xué)家嘗試以群的觀念來統(tǒng)一數(shù)學(xué)。另一方面，在集合論的刺激下，產(chǎn)生了探索數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運動熱潮，20世紀(jì)初形成了三大“數(shù)學(xué)哲學(xué)”學(xué)派：直覺主義學(xué)派，其代表人物是布勞威爾（L. E. J. Brouwer，1881—1966）；形式主義學(xué)派，其代表人物是希爾伯特；邏輯主義學(xué)派，其代表人物是羅素。三個學(xué)派堅持用各自的主張統(tǒng)一數(shù)學(xué)，盡管都有成就，但是均以失敗告終。

數(shù)學(xué)史上，近世代數(shù)學(xué)思想的發(fā)展經(jīng)歷了由“戴德金（J. W. R. Dedekind， 1831—1916）→希爾伯特→諾特→范·德·瓦爾登”的過程。戴德金作為庫默爾（E. E. Kummer， 1810—1893）的得意門生，他在庫默爾理想數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了理想概念（復(fù)整數(shù)的集合），建立了理想理論，實現(xiàn)了從數(shù)到集合的推廣。戴德金的代數(shù)學(xué)思想影響廣泛，希爾伯特、諾特等大批數(shù)學(xué)家都傳承了他的數(shù)學(xué)思想。特別是諾特，她曾參與編輯出版了戴德金的三卷全集[2]，這讓她對戴德金的工作有了深入的思考，并用自己的思想和邏輯體系呈現(xiàn)并凝練出了驚人的近世代數(shù)成果。諾特的抽象代數(shù)系統(tǒng)研究始于理想理論，特別是她對交換環(huán)論的工作使之成為代數(shù)學(xué)的重要研究領(lǐng)域，并且在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了強大的內(nèi)交叉效應(yīng)，促使了很多其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。1930—1931年，得到諾特真?zhèn)鞯姆丁さ隆ね郀柕浅霭媪恕督来鷶?shù)學(xué)》（Moderne Algebra），確定了代數(shù)結(jié)構(gòu)化的思想形成，成為數(shù)學(xué)代數(shù)化趨勢的思想源泉，標(biāo)志著抽象代數(shù)學(xué)正式誕生[3]，這部書也被世人公認(rèn)為是抽象代數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的一個里程碑。在隨后的幾十年中，這部著作為代數(shù)學(xué)的寫法建立了一個類似范·德·瓦爾登的范式，它以結(jié)構(gòu)為指向的“近世代數(shù)學(xué)”從根本上改變了代數(shù)學(xué)的整個面貌。1950年代第四版起改名為《代數(shù)學(xué)》（Algebra），對此范·德·瓦爾登解釋說，在1930年還可以稱為是近代的代數(shù)學(xué)，在今天，這就是代數(shù)學(xué)了。

19世紀(jì)群論的誕生，驅(qū)動著代數(shù)學(xué)向抽象代數(shù)方向發(fā)展，數(shù)學(xué)對象及方法得到了大范圍的推廣。在這一時期代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向產(chǎn)生了幾次拐點，比如方程數(shù)值解法和近似解法的發(fā)展、方程論及置換群論的發(fā)展、抽象群及表示論的產(chǎn)生、型論及不變式論的發(fā)展、消元法技術(shù)的產(chǎn)生、交換代數(shù)理論的產(chǎn)生、四元數(shù)及其各種推廣、非結(jié)合代數(shù)的產(chǎn)生等。

19世紀(jì)數(shù)學(xué)的多樣性在代數(shù)學(xué)的演變中得到了淋漓盡致的彰顯，伴隨著代數(shù)學(xué)的發(fā)展，抽象化為20世紀(jì)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的誕生植入了強大的動力，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)理邏輯的研究中，集合的觀念、公理化方法和結(jié)構(gòu)的意識愈演愈烈。20世紀(jì)20年代末至30年代初，抽象代數(shù)逐漸成為代數(shù)學(xué)的主流，其研究的對象是滿足若干條件、具有代數(shù)運算的集合。在這一時期，“代數(shù)”一詞有兩種含義：一是作為一個數(shù)學(xué)分支；二是作為一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，如前面所提到的群、環(huán)、域，它們都是由一些公理來進行定義的。從結(jié)構(gòu)的角度研究代數(shù)是20世紀(jì)代數(shù)學(xué)研究發(fā)展的一個趨勢，抽象代數(shù)討論代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中最基本的對象是群、環(huán)、域，其他對象都是這三個對象衍生出來的[4]。在20世紀(jì)的前幾十年里，很多數(shù)學(xué)家都在他們各自認(rèn)知的領(lǐng)域里，深入挖掘是否存在群、環(huán)、域這些結(jié)構(gòu)，以便在更抽象的結(jié)構(gòu)層次上考慮問題。群作為最純粹的代數(shù)對象，具有應(yīng)用性廣、抽象度高的特點。環(huán)和域雖然具有較為復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)，但是它們擁有極為明顯的數(shù)的背景，而且它們的發(fā)展完全與數(shù)的推廣密切相關(guān)，因此在數(shù)與多項式的背景下，理解環(huán)和域是比較形象的。諸如環(huán)、域和模等許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都可以看成是在群的基礎(chǔ)上衍生出來的，由此可見在代數(shù)中群具有最基本的重要地位。

1930年代，“新數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”運動席卷數(shù)學(xué)界，布爾巴基學(xué)派就是在這種背景下產(chǎn)生并初顯他們所提倡的結(jié)構(gòu)主義運動端倪的，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)由此應(yīng)運而生。與經(jīng)典數(shù)學(xué)的數(shù)與形不同，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)關(guān)注的是對象的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主要是一些對象的集合，著重考慮的是它們之間的關(guān)系，對于抽象的集合，元素和元素之間除了它們有共同隸屬于該集合這種共性之外，一旦元素之間存在一些特殊的關(guān)系，結(jié)構(gòu)也就產(chǎn)生了。定義結(jié)構(gòu)的方式一般是這樣引入的：首先，需要闡明一系列法則，然后數(shù)學(xué)家對服從這些法則的對象進行研究，這些法則用數(shù)學(xué)術(shù)語來說叫作公理。在某一個學(xué)科體系內(nèi)建立公理具有一些顯著的好處：第一，這些法則使得研究范圍清晰化；第二，人們通過事先約定法則，可以確保在討論數(shù)學(xué)對象時所有人頭腦中想的是同樣的對象；第三，可以依法則為基礎(chǔ)進行邏輯推導(dǎo)，從而得出一些起初從法則本身沒有預(yù)見到的事實。

代數(shù)學(xué)的滲透與應(yīng)用

在集合化和公理化浪潮的作用下產(chǎn)生了很多的抽象結(jié)構(gòu)，由此引發(fā)眾多數(shù)學(xué)研究者投入到創(chuàng)建新方法、發(fā)展新理論、實踐新交叉或者新應(yīng)用的研究中。眾多數(shù)學(xué)家喜歡追求清晰的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在這一過程中經(jīng)常會流露出一種常見的數(shù)學(xué)哲學(xué)思維：拋開多余的信息，抓住問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)推理的魅力常在于找到一個框架，在其中將試圖證明的結(jié)果變得幾近明顯，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造力主要在于找到這樣一個框架。正如數(shù)學(xué)史的發(fā)展長河經(jīng)過上百年的洗禮，數(shù)論、代數(shù)、幾何及分析四個互不相干的數(shù)學(xué)領(lǐng)域逐步形成了一種共同的代數(shù)結(jié)構(gòu)——交換代數(shù)。代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和不變量理論可以視為是交換代數(shù)的三大起源。反過來，交換代數(shù)也通過交叉滲透去影響這些領(lǐng)域的發(fā)展。

20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展中一個重要趨勢是不同學(xué)科互相滲透和由此發(fā)生的統(tǒng)一，其中諾特所開創(chuàng)的抽象代數(shù)學(xué)以及她的抽象思想方法不僅奠定了代數(shù)學(xué)的未來發(fā)展，也促使了整個數(shù)學(xué)“代數(shù)化”趨勢的產(chǎn)生，特別是交換環(huán)理論的交叉應(yīng)用。代數(shù)數(shù)論的研究也從早期側(cè)重算術(shù)方面的研究，轉(zhuǎn)移到側(cè)重代數(shù)方面的研究。歷史上，代數(shù)數(shù)論中的唯一分解定理、理想、模等為交換代數(shù)提供了早期的框架。再有，作為19世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造之一的代數(shù)幾何，該理論體系中最原始的公共零點以希爾伯特不變式論的形式，構(gòu)建了諾特環(huán)的基礎(chǔ)理論。反過來，交換代數(shù)為代數(shù)幾何提供了有力的工具，兩者之間的界限現(xiàn)在已經(jīng)逐步消失，并融入數(shù)學(xué)的前沿領(lǐng)域中[3]。還有，19世紀(jì)的代數(shù)函數(shù)論曾是數(shù)學(xué)研究的核心地帶，許多數(shù)學(xué)家將代數(shù)函數(shù)論作為代數(shù)幾何的超越理論加以論述，這樣代數(shù)函數(shù)論很自然地被融入代數(shù)幾何并成為其中的組成部分。由此從幾何的角度，代數(shù)函數(shù)論被納入代數(shù)幾何學(xué)范疇。到了20世紀(jì)中葉，代數(shù)函數(shù)論同一般域上的代數(shù)曲線論被納入交換代數(shù)范疇，這是典型代數(shù)化的作用影響結(jié)果。回顧展望這些與交換代數(shù)相融合的理論，不禁感嘆這位偉大的“抽象代數(shù)之母”——諾特，是她賦予了抽象代數(shù)這門學(xué)科旺盛的生命力，并在很多學(xué)科領(lǐng)域植入了抽象代數(shù)這顆強大的種子。

多學(xué)科交叉融合是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要來源之一，在數(shù)學(xué)中很難有哪個數(shù)學(xué)分支能夠與代數(shù)學(xué)的歷史變遷同日而語，代數(shù)學(xué)既承載了數(shù)學(xué)發(fā)展史中的經(jīng)典厚重，又勢不可擋地展現(xiàn)了交叉融合背景下不容忽視的強大力量，使其思想和方法不斷滲入許多學(xué)科領(lǐng)域之中。諾貝爾物理學(xué)獎獲得者、美籍匈牙利理論物理學(xué)家維格納（E. Wigner， 1902—1995）曾在他1960年的里程碑式的論文《數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不可思議的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）中提到[1]：

“這是一種奇跡，代數(shù)學(xué)的不可思議的有效性隨處可見。”

20世紀(jì)以來，不同分支領(lǐng)域的數(shù)學(xué)思想與方法匯集碰撞、成果交流，代數(shù)學(xué)在這一過程中成了交叉融合發(fā)展理念下的有效引擎，它通過與其他學(xué)科的互通互融，算子代數(shù)、代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)組合等新學(xué)科如雨后春筍般破土而出。20世紀(jì)偉大的德國數(shù)學(xué)家外爾在《半個世紀(jì)的數(shù)學(xué)》（A Half Century of Mathematics）中曾寫道：

“群的概念是由年輕的法國天才伽羅瓦引進的，現(xiàn)在已經(jīng)擴散到整個數(shù)學(xué)中，沒有群就不能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。”

由于群結(jié)構(gòu)具有普適的一般性和外延的張力性，在派生數(shù)學(xué)新領(lǐng)域、新內(nèi)容的過程中，群方法成為極具創(chuàng)造性的思維模式，代數(shù)學(xué)成了20世紀(jì)融合發(fā)展理念下的有效引擎。代數(shù)學(xué)通過與其他學(xué)科的交叉融合，代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)組合等新學(xué)科如雨后春筍破土而出。正是在這種不同學(xué)科間的交叉融合中，現(xiàn)代數(shù)學(xué)仿佛被注射了一支活力劑，蓬勃發(fā)展，方興未艾。從群論的觀點來研究組合數(shù)學(xué)，這為組合數(shù)學(xué)注入了新的活力，亦為代數(shù)組合這門學(xué)科找到了適合的生長點。國際數(shù)學(xué)界常將代數(shù)組合（algebraic combinatorics）視為“組合對象的表示理論”或“沒有群的群論”。代數(shù)組合是組合數(shù)學(xué)與抽象代數(shù)兩門學(xué)科的一個重要分支，除了可以利用代數(shù)方法或結(jié)論研究組合問題，也可以利用組合方法或結(jié)論研究代數(shù)問題。代數(shù)組合的特色魅力就在于通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，本質(zhì)上彰顯了在數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的趨勢下表現(xiàn)出來的代數(shù)學(xué)的滲透與應(yīng)用。

代數(shù)組合的起源可以追溯到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的不同分支，其中一個重要起源可以追溯到群論中舒爾（I. Schur， 1875—1941）在1933年關(guān)于舒爾環(huán)的工作。最初舒爾環(huán)是用來研究具有正規(guī)子群的本原置換群的，其中大部分的結(jié)論后來被發(fā)現(xiàn)也適用于具有正規(guī)群作用的本原結(jié)合方案（代數(shù)組合中的一個核心概念和重要的研究方向）。此外，代數(shù)組合這門學(xué)科的研究歷史可以與群的特征理論媲美，包括弗羅貝尼烏斯（F. G. Frobenius， 1849—1917）、舒爾和伯恩賽德（W. Burnside， 1852—1927）的研究理論。特別是20世紀(jì)30—60年代，群論專家維蘭德（H. Wielandt， 1910—2001）和希格曼（D. G. Higman， 1928—2006）等人關(guān)于有限置換群的工作（置換群的中心化子環(huán)）[5-7]，由此打開了新的局面，促進了代數(shù)組合領(lǐng)域的發(fā)展。代數(shù)組合與有限群論、編碼、圖論、組合設(shè)計有著密切的聯(lián)系，在調(diào)和分析、代數(shù)幾何、表示論和數(shù)學(xué)物理方程中發(fā)揮著積極的作用，并且在化學(xué)、信息論、計算機科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域具有重要的工具價值。自代數(shù)組合被系統(tǒng)研究以來，許多群論的概念和性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)可以推廣到結(jié)合方案上來，例如：子群、正規(guī)化子、有限群的冪零性、西羅定理等。不僅是群中的概念和性質(zhì)，類似有限群的表示理論，結(jié)合方案的表示理論也是研究結(jié)合方案數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的有效途徑之一。這些信息都揭示出一個強烈的信號，在代數(shù)組合中看似沒有群的結(jié)構(gòu)，但是其學(xué)科體系中卻蘊含著強大的群論思想和“沒有群的群論結(jié)構(gòu)”。“代數(shù)組合”一詞首先是坂內(nèi)英一（E. Bannai， 1946— ）于1979年在日本著名刊物《數(shù)學(xué)》（Sugaku）上發(fā)表的《代數(shù)組合論》（代數(shù)的組合せ論）這篇評論性文章中提出的[8]，由此宣告了這門學(xué)科的誕生。坂內(nèi)英一一貫主張以純粹數(shù)學(xué)的觀點來研究組合學(xué)，堅持用群論的視角為組合學(xué)的研究開創(chuàng)新的思路和方法[9]，從而建立起“代數(shù)思維”與“代數(shù)組合中思維實踐”之間的關(guān)系思考，這正是20世紀(jì)這個統(tǒng)一的時代所彰顯出來的一種特色趨勢——“代數(shù)學(xué)無處不在”。

回望歷史來路，汲取歷史智慧，代數(shù)學(xué)的能量是巨大的。代數(shù)學(xué)不僅是集合、符號和思維的語言，更是貫穿在科學(xué)中的工具。正如數(shù)學(xué)已經(jīng)成為科學(xué)的語言，代數(shù)學(xué)通過一代代數(shù)學(xué)家們的踔厲奮發(fā)，篤行不怠，儼然成為數(shù)學(xué)的流行語言，并實現(xiàn)了將許多種類各異的、高度數(shù)學(xué)化的學(xué)科進行代數(shù)化處理。在人類思考和探索代數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，每當(dāng)所有的代數(shù)難題被攻克或者即將被完成的時候，一些全新的問題、學(xué)科分支和新思想便會出乎意料地浮出水面，使得人們重新思考之前的知識積累并加以拓展延伸。代數(shù)學(xué)正是在這樣的歷史進程中，逐漸彰顯出其巨大的能量，成了很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至科學(xué)與工程研究中必不可少的組成部分。

[本文相關(guān)研究得到國家自然科學(xué)基金（12171137）的資助。]

[1]塔巴克. 代數(shù)學(xué)： 集合、符號和思維的語言. 鄧明立， 胡俊美譯.商務(wù)印書館， 2007： 71-87.

[2]胡作玄. 近代數(shù)學(xué)史. 濟南： 山東教育出版社， 2006： 383-385， 630-631.

[3]胡作玄， 鄧明立. 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)思想. 濟南： 山東教育出版社， 1999： 106-117.

[4]鄧明立， 王濤. 歷史與結(jié)構(gòu)觀點下的群論. 北京： 科學(xué)出版社， 2016： 92-106.

[5]Higman D G . Finite permutation groups of rank 3. Mathematische Zeitschrift， 1964， 86（2）： 145-156.

[6]Wielandt H. Finite Permutation Groups. New York： Academic Press， 1964： 39-40.

[7]Higman D G . Intersection matrices for finite permutation groups. Journal of Algebra， 1967， 6（1）： 22-42.

[8]Bannai E. Algebraic Combinatorics. Sugaku， 1979， 31： 126-143.

[9]Bannai E. Combinatorics regarded as pure mathematics： the aims of algebraic combinatorics. Sugaku， 2010， 62（4）： 433-452； 作為純粹數(shù)學(xué)的組合理論——代數(shù)組合的目標(biāo). 高鎖剛， 馬建敏， 張躍輝譯. 數(shù)學(xué)譯林， 2011， 30（4）： 312-325.

關(guān)鍵詞：代數(shù)學(xué) 抽象代數(shù) 代數(shù)組合 結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué) ■