“等差數列的前n項和公式”教學設計

李謀華 程正玲

摘要：“等差數列的前n項和公式”作為優秀課例參加了“全國第十屆高中青年數學教師優秀課展示活動”，本文中按教學過程設計、教學設計策略、教學反思的順序對本單元的教學設計逐一進行說明.

關鍵詞：等差數列；前n項和公式；單元教學設計；問題驅動教學；數學情境；數學文化

“等差數列的前n項和公式”選自人教A版普通高中數學教科書選擇性必修第二冊第四章第4.2.2節，筆者是基于單元教學對本節課進行設計的，一共包含兩個課時：第一課時側重于公式的探究與推導，第二課時側重于公式的應用.

1 教學過程設計

1.1 環節一：重溫經典算法，歸納“探”公式

等差數列項的變化規律和倒序相加求和法是推導等差數列前n項和公式的兩個關鍵點.在公式的推導過程中，學生最大的疑惑是“你是怎樣想到倒序相加求和法的？”因此，怎樣讓求和公式的推導過程顯得自然合理是本節課的關鍵.筆者以畢達哥拉斯學派研究的“三角形”為學習情境，設計了一條探究路徑，讓學生親身經歷倒序相加求和法的發現過程.

問題情境：古希臘畢達哥拉斯學派的數學家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數.比如，他們研究過圖1中的1，3，6，10，15，……，由于這些數能夠表示成三角形，因此將其稱為三角形數.

問題1? 如果圖1中的石子有100層，那么從第1層到100層一共用了多少粒石子？

學生將問題抽象為求1+2+3+……+100，并用高斯的方法計算出了結果.筆者在總結學生解法的基礎上介紹高斯的算法.

利用首尾配對相加求和法解決項數為偶數時的求和問題很方便，但是如果求和項數是奇數，那又該怎么辦呢？于是設計了第二個問題.

問題2? 如果圖1中的石子有101層，那么從第1層到第101層一共用了多少粒石子？

學生經過合作學習，相互討論，形成以下兩種求解思路：

（1）先拿出一項，再首尾配對.可以先拿出中間項，再首尾配對，也可先拿出末項，再首尾配對.

（2）先湊成偶數項，再配對.可以通過前面補零，湊成偶數項配對，也可通過后面增項減項，湊成偶數項配對.

在解決了奇數項和偶數項的求和問題后，將特殊數列的求和問題推廣到從1到n這連續n個自然數的求和問題，接著設計了第三個問題.

問題3? 如果圖1中的石子有n層，那么從第1層到第n層一共用了多少粒石子？

學生將問題轉化為計算Sn=1+2+3+……+n后，仿照問題2的轉化思路，從奇偶分析法入手探求：

（1）當n是偶數時，直接運用高斯算法求解；

（2）當n為奇數時，學生經過小組合作討論，借鑒前面的研究經驗，通過不同的配項方式（增項、補項等），得到“化奇為偶”的不同化歸方法，計算出Sn=1+2+3+……+n=n（n+1）2.

由于分類討論后得到的結果是相同的，于是筆者提出問題：是否一定要分類討論？怎樣避開分類討論實現“配對”？如何將“不同數的求和”化歸為“相同數的求和”？

當學生的探究止步不前時，筆者引導他們另辟蹊徑，于是設置了第四個問題.

問題4? 回憶梯形面積公式的推導過程，回答下列問題：

（1）梯形面積公式的推導體現了什么研究策略？

（2）能否借助這樣的策略研究“石子堆”問題？

在學生借助幾何圖形（如圖2）發現倒序相加求和法后，筆者引導學生從代數的角度去發現倒序相加求和法：

Sn=1+2+3+……+n，①

Sn=n+（n－1）+（n－2）+……+1.②

由 ①+②，得

2Sn=（n+1）+（n+1）+……+（n+1）n個=n（n+1）.

其結果變成了n個n+1相加.由此自然引出了“倒序相加”的求和方法.

在本環節中，通過創設數學情境，采取以退為進的研究策略，采用問題驅動的教學方式，帶領學生一起回憶了高斯的經典算法，分析了首尾配對相加求和法的局限性.利用類比的方法，讓學生親身經歷了倒序相加法求和的發現過程，為解決等差數列的求和問題邁出了關鍵性的一步.在本環節中運用了化歸與轉化、特殊與一般、分類與整合、數形結合等數學思想，培育了學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養.

1.2 環節二：探索求和規律，演繹“推”公式

在環節一的引導下，筆者設置了第五個問題，引導學生順利推導出了等差數列的前n項和公式的三種形式.

問題5? （1）你能用倒序相加求和法求公差為d的等差數列{an}的前n項和嗎？

（2）等差數列還有其他的求和公式嗎？

在推導出求和公式的三種形式后，筆者設置了兩個問題，引導學生從“數”和“形”兩方面深入認識公式，挖掘公式中包含的性質.

追問1：你還能說出式子Snn=d2n+a1－12d的意義嗎？

追問2：等差數列的求和公式之間有什么樣的關聯呢？

在本環節中，學生對“倒序相加求和法”的運用不再感到突兀，公式推導的整個過程顯得自然、合理.筆者引導學生從“數”和“形”兩方面深入挖掘求和公式，發現了公式中包含的性質，有利于學生對公式的深入理解.本環節運用了化歸與轉化、數形結合等數學思想，培育了學生的邏輯推理、直觀想象等核心素養.

1.3 環節三：挖掘幾何意義，類比“釋”公式

在環節三中，筆者通過設置第六個問題，引導學生根據公式的結構特征，找出公式的幾何意義.

問題6? 根據等差數列前n項和公式的結構特征，你能分別說出它們的幾何意義嗎？

在本環節中，學生通過小組討論發現了求和公式的三種形式分別與梯形（圖3～4）的面積、函數的圖象（圖5～7）之間的關系，找到了公式的幾何意義.這樣設計的目的是讓學生通過數形結合的方式，明確公式的幾何意義，幫助學生深入理解公式，并在理解的基礎上加以記憶.本環節運用了化歸與轉化、數形結合等數學思想，培育了學生的邏輯推理、直觀想象等核心素養.

1.4 環節四：創設多元情境，落實“用”公式

在第2課時里，筆者設置了四個例題和四個探究.例1選自教科書中的例6，引導學生探究等差數列的五個基本量之間的關系，簡單運用公式.例2選自教科書中的例8，引導學生利用數學知識解決實際問題，綜合運用公式.變式探究中的問題選自我國古代數學名著《張丘建算經》.例3選自教科書中的例9，引導學生根據等差數列首項和公差求前n項和的最值，綜合運用公式.例4選自教科書中的例7，引導學生探究等差數列前n項和的性質，靈活運用公式.在變式探究2中，引導學生利用信息技術探究等差數列的性質.

在本環節中，通過創設數學情境、現實情境和文化情境，引導學生正用、逆用和變用等差數列的求和公式解決了相應的問題，并探究了等差數列前n項和的部分性質，通過整合教材，使得例題與例題之間形成了梯次遞進、螺旋上升的內在關系；通過采取“兵”教“兵”的教學方式，調動了學生的積極性，提高了學生的自主學習能力.

本環節的設計意圖在于培養學生學以致用的意識，領會解決問題的思想方法，積累運用公式的基本經驗.本環節運用了化歸與轉化、數形結合、函數與方程等數學思想，培育了學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養.

在本單元的教學過程中，筆者通過創設從特殊到一般推導公式、從簡單到復雜應用公式的學習情境，帶領學生經歷了化歸與轉化、探索與嘗試、總結與提煉、應用與深化四個學習階段，有效達成了教學目標.

2 教學設計策略

本單元的教學設計策略有：核心素養導航、數學思想引領、數學文化滲透、單元教學設計.

學科核心素養是課程目標和育人價值的集中體現，本單元的教學著重培育學生的五種數學素養.

數學思想是數學最本質、最具有價值的內容.在教學過程中探索數學思想的最終目的是提高學生的數學思維品質和整體素質.本單元的教學主要運用了五種數學思想.

本單元的教學將數學史料貫穿于整個教學過程之中，有利于學生了解求和公式的發展歷程，厘清求和公式的來龍去脈，欣賞數學家的研究成果，感受數學文化的魅力.

單元教學設計可以提高課堂教學的針對性、有效性和科學性.本單元是按照歸納“探”公式、演繹“推”公式、類比“釋”公式、落實“用”公式這四個環節依次展開教學的.

本單元教學設計策略如圖8所示.

3 教學反思

（1）本單元的教學設計及實施的特色在于：采用單元教學的設計模式，采取問題驅動的教學方式，創設多元數學情境，滲透數學文化，加強學生自主學習指導.

（2）本單元教學設計中的一個關鍵點是讓“倒序相加求和法”的發現更加自然合理，盡管筆者做出了很大的努力，但是從問題3到問題4的過渡還不是很自然.這是課后需要繼續思考的問題.