基于指數(shù)趨近律的機械臂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制

王國剛，孫德煒，金紅嬌，孫其龍

（吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，吉林吉林，132022）

0 引言

機械臂已經(jīng)成為工業(yè)控制領(lǐng)域中的不可或缺的工具。由于機械臂是一個非線性、強耦合、時變的系統(tǒng)，并且存在未建模動態(tài)、參數(shù)變化、外部擾動及摩擦等 各種不確定因素的影響。這些不確定因素會導(dǎo)致機械臂各關(guān)節(jié)跟蹤精度變差，因此使機械臂具有良好的動態(tài)性能具有重要的研究意義，設(shè)計控制器以實現(xiàn)機械臂能快速、穩(wěn)定地跟蹤期望軌跡是機械臂控制的核心問題。在實際工程中，機械臂系統(tǒng)存在建模不確定性以及受外界干擾等諸多復(fù)雜因素的影響，專家學(xué)者在解決這個難題的同時，也在機械臂的軌跡跟蹤方面取得了重大突破[1～4]。諸多學(xué)者提出過各種的控制方法，主要有PD 控制，滑模控制，計算力矩控制，模糊滑模控制等[5～8]。文獻[9]對傳統(tǒng)干擾觀測器進行優(yōu)化，反饋補償外界干擾的同時利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬能逼近特性，提高響應(yīng)速度和軌跡跟蹤精度；文獻[10]為解決由于系統(tǒng)存在建模不確定性以及外界干擾對控制結(jié)果造成的不良影響，提出一種學(xué)習(xí)系統(tǒng)不確定性的未知上界的自適應(yīng)神經(jīng)滑模控制方法，以此來提高系統(tǒng)的控制性能；文獻[11]針對滑模控制中存在的收斂速度和系統(tǒng)抖振兩個方面的問題，通過分析兩種類型趨近律的優(yōu)缺點，設(shè)計一種對系統(tǒng)抖振能夠有效控制的同時也能提升收斂速度的改進型滑模趨近律；文獻[12]提出了一種采用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補償包括建模不確定性和外部干擾在內(nèi)的系統(tǒng)不確定性的滑模邊界控制器，以將關(guān)節(jié)驅(qū)動到所需位置并快速抑制振動。文獻[13]針對機械臂系統(tǒng)的滑模控制存在抖振的問題，提出了一種變指數(shù)趨近律滑模控制律，仿真結(jié)果表明該控制策略可以有效抑制抖振：文獻[14]針對一種并聯(lián)機械臂提出了魯棒PID 控制策略，通過選擇合適的PID 控制器增益，使系統(tǒng)達到穩(wěn)定的狀態(tài)。

針對機械臂跟蹤精度和穩(wěn)定性等問題，本文對基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制做出優(yōu)化與改進，相比于上述文獻，本文對機械臂系統(tǒng)的整體性控制有了進一步的提升。考慮到對機械臂動力學(xué)模型進行建模時，存在不確定項以及外部干擾。對此本文先利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對建模的不確定項進行逼近，然后采用基于指數(shù)趨近律的滑模控制用以削弱系統(tǒng)的抖振、提高系統(tǒng)的控制性能。

1 動力學(xué)模型

考慮n關(guān)節(jié)機械臂動力學(xué)方程［15～16］如下：

其中，q∈Rn為關(guān)節(jié)角位移量，M(q)∈Rn×n為慣性矩陣，C(q,)∈Rn為離心力和哥氏力項，G(q)∈Rn為重力項，F(xiàn)()∈Rn為摩擦力項，τ∈Rn為控制力矩，τd∈Rn為外加干擾以及系統(tǒng)建模的誤差項，利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其進行處理。

2 基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模控制器設(shè)計及其穩(wěn)定性分析

由于在實際控制系統(tǒng)中存在的干擾因素較為復(fù)雜。例如，系統(tǒng)摩擦力，系統(tǒng)建模誤差以及外界干擾等都會影響到系統(tǒng)的軌跡跟蹤。

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡單，收斂速度快，能夠較高精度地逼近任何連續(xù)非線性函數(shù)，結(jié)構(gòu)采用并列處理機制，具備較強的容錯能力等優(yōu)勢，其主要的工作機理為系統(tǒng)實際的控制參數(shù)經(jīng)隱含層激活函數(shù)的非線性變換后，通過權(quán)值的線性相加傳遞至輸出層。其中隱含層中的激活函數(shù)為徑向基函數(shù)，結(jié)構(gòu)特點為徑向中心對稱且兩邊衰減過渡，輸入的數(shù)據(jù)距離中心越近，輸出越敏感。基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠以任意精度逼近未知函數(shù)的特點，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠較好地滿足存在不確定性的系統(tǒng)控制的需要要求。

在設(shè)計控制系統(tǒng)時，我們需要將上述的不確定項利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行估計，然后對整個系統(tǒng)采用滑模控制為控制器。以此來提高機械臂軌跡跟蹤精度和穩(wěn)定性。

控制系統(tǒng)的原理如圖1 所示。

圖1 控制原理

采用基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模控制對機械臂進行位置的軌跡跟蹤控制。設(shè)qd為q的期望值，為的期望值。跟蹤誤差為：

定義滑模函數(shù)為：

滑模動態(tài)特性保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和狀態(tài)收斂到平衡狀態(tài)e=0。結(jié)合式(2)和式(3)，可得：

滑模控制具有響應(yīng)快、對干擾不敏感等優(yōu)點。但是由于滑模控制自身特性原因，使其存在抖振現(xiàn)象，并且該現(xiàn)象無法被控制系統(tǒng)消除。

選取合適的趨近律可以實現(xiàn)在相同的控制抖振下更快的趨于零或在相同收斂速度下削減抖振。為削減抖振現(xiàn)象，本文采用基于指數(shù)趨近律的滑模控制。

式中，-ks是指數(shù)趨近項，k越大，-εsgn(s)趨近滑模面速度越大，-εsgn(s)是等速趨近項，可消減抖振。增大k的同時減少ε可保證快速趨近的同時消減抖振。

高斯基函數(shù)具有良好的解析性，用于理論分析時比較方便，其圖像不僅光滑性好而且還是徑向?qū)ΨQ的。應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時可以從一定程度上使系統(tǒng)的跟蹤性能更好，并且其自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力更強。因此，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制機械臂的不確定性問題、跟蹤問題以及穩(wěn)定性問題是有意義的，結(jié)合機械臂的動力學(xué)特性，利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制機械臂，進而提高系統(tǒng)性能，實現(xiàn)快速收斂。同時RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)可對機械臂動力學(xué)方程中未知部分進行逼近，由此提高了對機器人的控制精度。

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

根據(jù)RBF 網(wǎng)絡(luò)自身特性，采用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近不確定項f，網(wǎng)絡(luò)算法為：

其中，x為網(wǎng)絡(luò)的輸入，j為網(wǎng)絡(luò)隱含層第j個節(jié)點，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)高斯基函數(shù)輸出，W*為網(wǎng)絡(luò)理想權(quán)值，ε為網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，ε≤εN。

則RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為：

將式(1)與式(4)進行聯(lián)立可得：

在實際工程模型中的f項是未知的，然后對f進行逼近。為RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計值。

取：

為實現(xiàn)自適應(yīng)逼近定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律：

為更好的抑制滑模控制帶來的抖振，本文采用了指數(shù)趨近律來實現(xiàn)滑模控制。由式(9)和式(5)可知：

將指數(shù)趨近律式(5)與式(12)結(jié)合得到控制器：

上式中，v為魯棒項。將其設(shè)為：

定理1：針對機械臂動力學(xué)系統(tǒng)式(1),設(shè)計了滑模函數(shù)式(4)，并在自適應(yīng)律式(11)下得到系統(tǒng)的控制器方程式(13)，保證了跟蹤誤差的有限時間內(nèi)收斂。

對于整個系統(tǒng)控制器取式(13)，自適應(yīng)律取式(11)。定義Lyapunov 函數(shù)為：

將式(13)代入式(9)中，可得：

將式(17)代入式(16)中，可得：

所以系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。

3 仿真實驗

在對滑模控制算法的研究和穩(wěn)定性分析完成后，為進一步證明該控制算法的可行性，采用MATLAB 搭建機械臂控制系統(tǒng)來對該控制算法進行仿真驗證。

選用的機械臂示意圖如圖3 所示。

圖3 雙關(guān)節(jié)機械臂

動力學(xué)參數(shù)為：

機械臂的物理參數(shù)值見表1。

表1 物理參數(shù)

以機械臂動力學(xué)模型為被控對象來驗證所提方法有效性，控制器見式(15)。系統(tǒng)的兩個關(guān)節(jié)的指令分別為qd1=cos(πt)，qd2=sin(πt)，初始狀態(tài)為[0.050 -0.050]，在魯棒項中，取bd=0.20，εN=0.30，同時取F=diag[100,100]，Λ=diag[12,12]。RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為5-7-2，網(wǎng)絡(luò)輸入取x=，高斯基函數(shù)的中心點cj為[-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5]，高斯基函數(shù)的寬度為bj=18，仿真結(jié)果如圖4～14 所示。

圖4 關(guān)節(jié)1 角度跟蹤

圖5 關(guān)節(jié)2 角度跟蹤

4 總結(jié)

本文在為解決機械臂軌跡跟蹤精準(zhǔn)度、穩(wěn)定性等問題時，對基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模的控制方法做出優(yōu)化與改進。提出了一種基于指數(shù)趨近律的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制算法。對仿真結(jié)果進行分析與總結(jié)。

由圖6 及圖7 可知，角度跟蹤誤差最高不超過1rad，并且在約0.5s 后角度跟蹤誤差曲線波動極小，軌跡跟蹤曲線與期望軌跡幾乎重合。由此可以說明該控制算法有較好的軌跡跟蹤性能；由圖10 和圖11 可知，在約0.5s 前關(guān)節(jié)1角速度跟蹤誤差達到11rad/s，關(guān)節(jié)2 的角速度跟蹤誤差約為1.5rad/s，隨后圖像急速削減，無限趨近于零。所以可知本文提出的控制算法也具有良好的角速度跟蹤效果，有效地抑制了系統(tǒng)的抖振問題。仿真結(jié)果表明該控制算法具有較好的軌跡跟蹤效果的同時也具有良好的穩(wěn)定性和快速性。

圖6 關(guān)節(jié)1 角度跟蹤誤差

圖7 關(guān)節(jié)2 角度跟蹤誤差

圖8 關(guān)節(jié)1 角速度跟蹤

圖9 關(guān)節(jié)2 角速度跟蹤

圖10 關(guān)節(jié)1 角速度跟蹤誤差

圖11 關(guān)節(jié)2 角速度跟蹤誤差

圖12 關(guān)節(jié)1 控制輸入

圖13 關(guān)節(jié)2 控制輸入

圖14 關(guān)節(jié)1 及關(guān)節(jié)2 的 ||f (x)||及其逼近||(x)||