Janus-Helmholtz 換能器的振動模態諧振頻率理論分析研究

張羿雙 桑永杰1)2)? 陳永耀1)4)? 吳帥

1) (哈爾濱工程大學,水聲技術全國重點實驗室,哈爾濱 150001)

2) (海洋信息獲取與安全工業和信息化部重點實驗室(哈爾濱工程大學),哈爾濱 150001)

3) (哈爾濱工程大學水聲工程學院,哈爾濱 150001)

4) (青島哈爾濱工程大學創新發展中心,青島 266000)

1 引言

目前,水聲換能器正朝著低頻、大功率、小型化、寬帶和深水工作的趨勢發展[1].常見的幾種水聲換能器,如Tonpilz 換能器、彎張換能器、圓環換能器以及電動式換能器等,均無法同時滿足低頻、大功率、小尺寸、寬帶、深水工作的需求.Tonpilz換能器具有大功率、寬帶和深水工作的特性,但低頻Tonpilz 換能器體積龐大;彎張換能器能夠以小尺寸實現低頻、大功率發射,但工作深度受限;電動式換能器體積小、重量輕且能寬帶發射,但效率低并且工作深度不足.

20 世紀90 年代,Le Gall 等提出的Janus-Helmholtz 換能器兼具了低頻、大功率、寬帶、深水工作等特點[2–6],使得其在遠距離聲通信、深海地質勘探等領域得到了廣泛應用[7,8].Janus-Helmholtz 換能器主要結構包括一只Janus 換能器和兩個圓筒形腔體.其中Janus 換能器是由輻射蓋板、預應力螺栓、PZT 晶堆和中間質量塊構成的雙面輻射縱振動換能器.Janus-Helmholtz 換能器在水中工作時,導納曲線上出現兩種諧振,其一為驅動振子諧振,即Janus 換能器的縱向模態諧振,其二為Helmholtz 諧振腔的液腔模態諧振.液腔諧振由驅動振子激勵產生,兩種模態諧振耦合使得換能器能夠實現寬帶發射.由于Janus-Helmholtz 換能器結構上的溢流特點,其工作深度可達數千米.目前,國內外學者對基于Janus-Helmholtz 換能器的基礎結構,提出了多種創新結構以適應更廣泛的應用領域.張振雨等[9]研究了順性管對兩種諧振頻率和帶寬的影響;伊子旭等[10]提出了一種具有寬體液腔的Janus-Helmholtz 換能器來增強兩種諧振的耦合;李世平等[11]研究了由壓電陶瓷圓管和Janus共同驅動的Janus-Helmholtz 換能器的性能;桑永杰等[12]提出通過增加外液腔來拓展換能器的工作帶寬,還設計了一種外液腔Janus-Helmholtz 換能器以改善徑向輻射的性能[13].

上述研究中均認為Janus-Helmholtz 換能器的導納曲線上,在低頻處的第1 個諧振為液腔諧振,而高頻處的第2 個諧振是驅動振子的縱向諧振.這種結論產生的原因主要有:

1) Janus-Helmholtz 換能器的液腔形狀并非經典的Helmholtz 結構,難以利用經典結構的諧振頻率公式求解精確的液腔諧振頻率數值解.研究者主要基于先驗知識來判斷Helmholtz 液腔諧振: 由于腔體內流體的體積模量遠低于驅動振子的彈性模量,因此液腔諧振頻率通常低于驅動振子的諧振頻率.

2) 電導曲線的第1 個諧振峰比較尖銳,這與液腔諧振的特性相符.此外,電導曲線的第1 個諧振頻率遠低于Janus 換能器在空氣中的縱向振動的諧振頻率.基于傳統縱振動換能器的研究結果,縱振動換能器的縱向諧振頻率不會在水中大幅度下降.

然而,實驗結果顯示上述結論存在疑點.Le Gall 等[4]在Helmholtz 諧振腔中填充了順性管后實驗研究發現,第2 個諧振頻率受順性管數量的影響明顯.考慮到順性管對諧振腔內流體的等效順性有顯著影響,而流體的等效順性是決定液腔諧振頻率的關鍵參數,他們就兩個諧振頻率提出了一種新的解釋: 兩個諧振均為縱向振動與液腔振動的耦合諧振,諧振腔內流體的質量和驅動振子的彈性模量對第1 個諧振頻率起主要影響作用,而驅動振子的動態質量和腔體的彈性模量則主要對第2 個諧振頻率產生影響.遺憾的是,文中并未對這一猜測提供合理的解釋.

本文基于一個Janus-Helmholtz 樣機模型,使用等效電路法和有限元法確定了Janus-Helmholtz換能器中兩種模態的位置關系,進而對驅動振子在水中的諧振頻率大幅度下降、大尺寸腔體的Helmholtz 液腔諧振頻率較高等現象給出解釋.研究結果可以加深對Janus-Helmholtz 換能器結構及性能特點的理解,并且對改善Janus-Helmholtz 換能器的性能提供技術支持.

2 Janus-Helmholtz 換能器樣機

本文用到的Janus-Helmholtz 換能器樣機的結構示意圖以及照片分別如圖1(a),(b)所示.文獻[14]中已對換能器樣機的性能參數進行詳細闡述.兩個不銹鋼腔體通過3 個T 形支架與Janus在換能器的節面相連.腔體的內壁與輻射蓋板的外邊沿之間留有一道3 mm 的狹縫,以確保輻射蓋板的自由邊界條件.壓電晶堆通過聚氨酯包覆來實現水密.換能器的尺寸標識符號如圖2 所示.換能器的主要結構尺寸和使用材質的性能參數如表1—表3 所列.樣機的總長度和最大直徑分別為0.436 m和0.316 m.

表1 換能器的尺寸(單位: m)Table 1. Dimensions of the transducer (Unit: m).

表2 換能器金屬部分的材料屬性Table 2. Material properties of metal used in the transducer.

表3 壓電晶堆PZT-4 的材料屬性Table 3. Material properties of PZT-4 used in the transducer.

圖1 換能器樣機的結構示意圖及照片 (a) 結構示意圖;(b) 照片Fig.1.Structure diagram and photo of the prototype: (a) Structure diagram;(b) photo.

圖2 換能器的1/2 模型及其尺寸標識Fig.2.Half transducer and its dimensions.

在外場測試了換能器樣機的導納、發送電壓響應、聲源級以及指向性,測試深度40 m.電導曲線的仿真結果以及測試結果如圖3 所示.對比曲線可知,測試結果與仿真結果符合較好.電導曲線的測試結果顯示,第1 個諧振頻率為1155 Hz,第2 個諧振頻率為2303 Hz.依據傳統的觀點解釋,第1個諧振為Helmholtz 液腔諧振,而第2 個諧振為驅動振子縱向諧振.

圖3 電導測試及仿真結果Fig.3.Test and simulation results of conductivity.

3 驅動振子縱向振動諧振頻率分析

使用有限元方法對空氣中的驅動振子諧振頻率進行分析.使用ANSYS 軟件建立Janus 換能器的二分之一軸對稱模型,并進行空氣中的模態分析和諧波響應分析,空氣中分析時忽略輻射面的輻射質量,在中間質量塊的中心線上施加對稱邊界條件.仿真得到的模態和電導納曲線分別如圖4(a)和圖4(b)所示.模態分析結果顯示,由于Janus 換能器的圓錐形輻射面較大,縱振動模態在輻射面處呈現了彎曲振動的成分,后續的將輻射面視為圓面活塞模型具有一定的近似性.有限元分析結果顯示,空氣中的驅動振子諧振頻率為2241 Hz.

圖4 換能器空氣中的有限元分析結果 (a) 模態分析結果;(b) 電導納曲線Fig.4.Modal analysis results and admittance curves of the Janus-Helmholtz transducer in air: (a) Modal analysis result;(b) admittance curves.

根據聲輻射理論,在水中的縱向振動諧振頻率由于輻射質量的存在應該有所降低,圖3 中電導曲線的第2 個諧振頻率為2303 Hz,卻大于空氣中的諧振頻率值,因此第2 個諧振頻率為Janus 縱向振動諧振頻率是存疑的.但如果第1 個諧振頻率為Janus 換能器在水中的縱向振動諧振頻率,比起空氣中的諧振頻率幾乎降低了一半,這不符合對于縱振動換能器傳統的認識: 水中的輻射質量并不會顯著地改變縱振動換能器的諧振頻率.表4 列出了文獻[12,13,15–17]中有關縱振動換能器在空氣中和水中的諧振頻率比較.可以看出,通常縱振動換能器在水中的諧振頻率較空氣中有所下降,但不會像Janus-Helmholtz 換能器那樣,幾乎下降了一半.

表4 幾種縱振動換能器空氣中和水中諧振頻率的比較Table 4. Comparison of resonance frequencies of several typical longitudinal vibration transducers in air and water.

接下來的分析中,將使用Janus 換能器的四端網絡等效電路來計算驅動振子水中的諧振頻率.由于Janus 換能器具有結構對稱性,并且節面在中間質量塊的中心線上,因此僅考慮Janus 換能器的二分之一模型.Janus 換能器的二分之一模型可以分成如圖2 所示的若干部分.忽略各部分的孔洞及預應力螺桿,并且僅考慮一維的縱向振動.每個部分的結構尺寸和材料屬性分別如表1—表3 所列.

Janus 換能器的機電等效圖如圖5 所示.從左至右的T 形網絡分別對應中間質量塊、壓電晶堆以及輻射蓋板的過渡部分、圓錐部分和圓柱部分.Zr為輻射蓋板的輻射阻抗.

圖5 水中1/2 Janus 換能器的機電等效圖Fig.5.Electromechanical equivalent circuit of the half Janus transducer in water.

在圖5 中,R0=105? 和Zm0=50 ? 分別是換能器的介電損耗阻和機械損耗,二者均為經驗值.C0和φ分別為壓電晶堆的靜態電容和機電轉換系數,可分別表示為

其中S2為壓電陶瓷片的橫截面積,與輻射蓋板較小一側的橫截面積相等分別為PZT-4 的機電耦合系數、介電常數和柔性系數;t0=0.005 m 為壓電陶瓷片的厚度.

圖5 中其余各個部分的表達式如下[18,19]:

其中ρi,ci和ki分別為換能器各部分所使用材料的密度、聲速和波數;ρw,cw和kw分別為水的密度、聲速和波數;S1為中間質量塊的橫截面積;S3為輻射面的面積; J1(x) 為一階貝塞爾函數;H1(x)為一階漢克爾函數.

Janus 換能器的電導納可以寫成如下形式:

式中,Zm是Janus 換能器機械端的阻抗,它可由(10)式—(13)式計算得到

由(9)式計算得到Janus 換能器在水中的理論電導納,結果如圖6 所示.Janus 換能器在水中的縱向諧振頻率為1460 Hz,該結果與Janus-Helmholtz 換能器仿真及測試的電導曲線的第1 個諧振頻率較為接近,而與第2 個諧振頻率相差較大.在理論計算過程中,忽略了大尺寸輻射蓋板的彎曲振動,彎曲振動的耦合效應會降低縱向諧振頻率,并且使結果更接近仿真及測試曲線的第1 個諧振頻率.

圖6 基于四端網絡等效電路理論計算得到的水中電導納曲線Fig.6.Theoretical result of admittance in water using fourterminal network equivalent circuit.

上述理論分析中,在計算輻射質量時用到了如下幾個假設: 1) 輻射蓋板前、后表面的面積是相等的;2) 輻射面視為無限大剛性障板上的活塞輻射模型;3)兩個輻射蓋板之間不存在互輻射.而在實際情況下,這3 個假設并不能全部滿足,所以計算得到的輻射質量并不精確.接下來通過有限元法確定空氣中Janus 換能器等效電路中的參數以及水中4 個輻射面的輻射質量,并將理論與仿真結果結合來計算水中的縱向諧振頻率.該方法考慮了兩個輻射蓋板間的互輻射并且在結構尺寸上沒有限制,因此得到的計算結果是精確的.

對Janus 換能器進行空氣中的諧波響應分析,得到的電導納曲線如圖4(b)所示.空氣中Janus 換能器在縱向諧振頻率附近的等效電路圖如圖7(a)所示.

圖7 空氣中Janus 換能器的等效圖 (a)等效電路圖;(b)機電等效圖Fig.7.Equivalent circuit of the Janus transducer in air:(a) Electrical equivalent circuit;(b) electromechanical equivalent circuit.

根據圖4(b)所示電導曲線,可分別求得圖7(a)中的等效電阻Re、等效電容Ce以及等效電感Le[20]:

其中Q為機械品質因數;fr為縱向諧振頻率;f1和f2為半功率點頻率,即對應G1=G2=0.707Gmax的兩個頻點.

將等效電路圖轉化為圖7(b)所示的機電等效圖,其中機械損耗阻Rm、等效機械柔順系數Cm,以及等效機械質量Mm分別為

其中φ=13.16 由(2)式計算得到.

當換能器在水中工作時,水介質引入的輻射抗僅為質量抗,機電等效圖中輻射阻Rr與4 個輻射面的輻射質量Mr串聯連接.如圖8 所示為Janus換能器在水中的機電等效圖.

圖8 水中Janus 換能器的機電等效圖Fig.8.Electromechanical equivalent circuit of the Janus transducer in water.

為研究輻射質量,通過水中的諧波響應分析提取4 個輻射面的平均位移u和壓強p(r),求解水對輻射面的反作用力[21]:

輻射阻抗Zr可以表示為

其中v=jωu為輻射面的平均速度,r為每個輻射面的半徑.

輻射質量計算式為

在第1 個諧振頻率處4 個輻射面上的輻射質量為33.2 kg.根據

計算得到Janus 換能器的縱向諧振頻率,相比理論結果1460 Hz,(24)式計算得到的結果與仿真結果1140 Hz 和測試結果1155 Hz 更為接近.

根據上述分析,第1 個諧振應為驅動振子諧振.同時,也可以看出,空氣中和水中的諧振頻率幾乎相差一倍,有必要對水中驅動振子諧振頻率大幅度下降的現象做出解釋.

圖9 比較了Janus-Helmholtz 換能器和典型縱振動換能器的結構差異.典型的縱振動換能器輻射面較小,可以看作是無限大剛性障板上的單面活塞.Janus 換能器輻射面積較大,并且4 個輻射面均參與了聲輻射.因此,兩種結構的輻射質量存在顯著差異.

圖9 Janus-Helmholtz 換能器與典型縱振動換能器的結構對比 (a) Janus-Helmholtz 換能器結構示意圖;(b) 典型縱振動換能器結構示意圖Fig.9.Structural comparison between Janus-Helmholtz transducer and typical longitudinal vibration transducer:(a) Structure diagram of Janus-Helmholtz transducer;(b) structure diagram of typical longitudinal vibration transducer.

根據(8)式,4 個輻射面上總的輻射質量Mr為

在諧振頻率處,4 個輻射面總的輻射質量達到28.7 kg.(20)式中,Janus 換能器自身的等效機械質量為14.85 kg,由水中的聲輻射引入的輻射質量是等效機械質量的近兩倍.

根據(25)式計算的Janus 換能器和典型縱振動換能器輻射質量的比較如圖10 所示,其中典型縱振動換能器只有一個面參與聲輻射,且輻射面半徑為Janus 換能器的一半.圖10 結果表明,Janus 換能器的輻射質量遠高于典型縱振動換能器,這也就解釋了表4 數據結果,相比于典型縱振動換能器,Janus 換能器在水中的縱向諧振頻率大幅度降低.

圖10 Janus 換能器和典型縱振動換能器輻射質量的比較Fig.10.Radiation mass comparison between Janus transducer and typical longitudinal transducer.

機械品質因數Q與輻射質量Mr存在如下關系:由(26)式可知,較大的輻射質量會大幅度增大水中縱向振動模態的機械品質因數,這是造成Janus-Helmholtz 換能器電導曲線在縱向諧振頻率附近峰值尖銳的主要原因.

4 Helmholtz 液腔諧振的分析

Janus-Helmholtz 換能器中的液諧振腔形狀較為特別,長期以來缺乏相關的理論分析求出液腔諧振頻率的解析解.近年來,由于有限元在水聲換能器設計領域的廣泛應用,使得利用有限元軟件求解復雜結構液腔諧振頻率成為了可能.本文使用ANSYS 軟件來分析Helmholtz 液腔振動模態,求解其諧振頻率.

圖1(b)中樣機的支撐部件與Janus 換能器在節點平面相連.這些支撐部件對Janus 換能器的諧振頻率影響較小,且由于支撐部件的尺寸遠小于水中波長,不會對聲輻射造成影響.為節省計算時間,在有限元建模中忽略支撐部件,并且僅建立二維軸對稱模型.圖11(a)是腔體充液的換能器有限元模型,模型包含Janus 換能器,兩個腔體和腔體內的流體.在流體與結構體的交界處施加流固耦合邊界條件,在液腔輻射面處施加聲壓為零邊界條件.使用非對稱的模態頻率提取方法提取液腔的諧振頻率和液腔模態的聲壓分布.仿真分析的第1 個Helmholtz 液腔諧振模態的聲壓分布如圖11(b)所示,諧振頻率為2598 Hz,與測試曲線的第1 個諧振頻率相差較大.

圖11 腔體充液換能器的有限元模型與模態分析結果 (a)有限元模型;(b) 模態分析結果Fig.11.Finite element model and acoustic modal analysis result of the Helmholtz resonator: (a) Finite element model;(b) acoustic modal analysis results.

在上述模態分析過程中,由于軟件求解的要求,未對外部流體進行建模,因此接下來對輻射口處的輻射質量進行求解以修正輻射口的長度,以模擬Helmholtz 諧振腔的精確尺寸.研究中采用有限元分析的方法,在圖11(b)所示結構基礎上建立流體中的有限元模型,在輻射面處的單元上賦予結構自由度并設置法向振速v,求解輻射面處的聲壓p頻響結果,獲取該鑲嵌在有限長圓柱體上的徑向輻射器的輻射阻抗其中S0為液腔的輻射面積,分離虛部并除以角頻率獲得輻射質量為4.37 kg,則可求出輻射口的修正長度為25.46 mm.輻射口修正長度后的有限元模型以及模態分析結果分別如圖12(a),(b)所示.Helmholtz 液腔諧振頻率為2277 Hz,與測試電導納曲線的第2 個諧振頻率2303 Hz 基本一致.綜上所述,第2 個諧振為Helmholtz 液腔諧振.

圖12 輻射口修正長度后的有限元模型與模態分析結果 (a) 有限元模型;(b) 模態分析結果Fig.12.Finite element model with radiation mass and analysis results of the Helmholtz resonator: (a) Finite element model;(b) acoustic modal analysis results.

圖12(b)聲壓分布揭示了一個有趣的現象,聲壓沿換能器的對稱平面呈對稱分布,并且由兩個輻射蓋板的背面向輻射口逐漸降低.因此,可以判斷,每個腔體包圍的流體形成了一個單獨的Helmholtz 共振腔,即Janus-Helmholtz 換能器里存在兩個尺寸相同、呈面對面放置的液腔.當忽略兩個液腔之間的互輻射時,Janus-Helmholtz 換能器的液腔諧振頻率和由一只腔體構成的液腔諧振頻率基本上是相等的,如圖13(a)所示.在之前的研究中將換能器中的液腔形狀視為經典的Helmholtz諧振腔結構(圖13(b))來求解液腔諧振頻率的等效方法是不合理的.

圖13 求解Helmholtz 液腔諧振頻率的兩種等效方法 (a) 正確的等效方法;(b) 錯誤的等效方法Fig.13.Two equivalents for solving the Helmholtz resonance frequency: (a) Correct equivalent;(b) incorrect equivalent.

如圖14(a)所示,若兩個腔體的長度不一致,則在電導曲線的第2 個諧振頻率附近將會出現兩個峰.圖14(b)有限元分析結果驗證了這一猜想,進一步證明了第2 個諧振為Helmholtz 液腔諧振.

圖14 腔體長度不等的Janus-Helmholtz 換能器結構示意圖及諧波響應仿真結果 (a) 結構示意圖;(b) 諧波響應仿真結果Fig.14.Janus-Helmholtz transducer with unequal length housings and harmonic analysis simulation results: (a) Structure diagram;(b) harmonic analysis simulation results.

5 結論

本文對Janus-Helmholtz 換能器中的兩個諧振頻率進行討論.結合等效電路法與有限元仿真結果,得出了以下結論.

1) Janus-Helmholtz 換能器導納曲線的第1個諧振為驅動振子縱向諧振,而第2 個諧振為Helmholtz 液腔諧振.

2) 4 個大尺寸輻射面引起的較大的輻射質量顯著降低了驅動振子水中的諧振頻率,并且使得-電導曲線在驅動振子諧振頻率附近具有較尖銳的峰值.

3) Janus-Helmholtz 換能器具有兩個相同尺寸的Helmholtz 諧振腔.Helmholtz 液腔諧振頻率主要取決于單個腔體所包含的流體體積而非兩個腔體包含的體積之和.

本文研究得出的結論雖然是基于具體的Janus-Helmholtz 換能器,但上述結論對任意尺寸的Janus-Helmholtz 換能器都有適用性.