基于多重高階同步壓縮的高動態(tài)信號捕獲技術(shù)

程凌峰，張英健，倪淑燕

(1.航天工程大學(xué)研究生院，北京 101416；2.航天工程大學(xué) 電子與光學(xué)工程系，北京 101416)

0 引言

低軌衛(wèi)星軌道高度低,具有傳輸時延小、路徑損耗小的優(yōu)點,近年來,Starlink等低軌衛(wèi)星星座快速發(fā)展,已經(jīng)成為一種重要的通信方式。但是對于飛機(jī)、導(dǎo)彈等用戶,一方面衛(wèi)星軌道低,處于高速運動;另一方面自身速度很快,雙方處于高速的相對運動。在這種情況下接收信號會受到較強(qiáng)的多普勒效應(yīng)的影響[1],體現(xiàn)為較大的多普勒頻偏及高階頻偏變化率[2-3]。當(dāng)接收信號時間內(nèi)頻偏變化超出FFT分辨率的情況下,傳統(tǒng)捕獲方法難以對信號進(jìn)行有效的估計[4-6]。

高動態(tài)接收機(jī)在設(shè)計幀結(jié)構(gòu)時,通常在每一幀的最前端添加導(dǎo)頻序列用于捕獲,該序列在經(jīng)過高動態(tài)信道之后變?yōu)檎{(diào)頻信號。目前針對調(diào)頻信號的參數(shù)估計方法基本可分為2類:參數(shù)域類方法和時頻分析法。參數(shù)域類方法比較常用的有調(diào)頻率逼近法[7]、降階類參數(shù)估計算法[8]。調(diào)頻率逼近法對線性調(diào)頻信號有較好的估計性能,但是存在計算精度與計算復(fù)雜度之間的矛盾且無法對高階調(diào)頻信號進(jìn)行參數(shù)估計。降階類參數(shù)估計算法比較適用于非線性調(diào)頻信號,但是存在高階參數(shù)估計量對低階參數(shù)估計時誤差積累的問題,同時可能存在偽峰,抗噪性較差。時頻分析法將時間表示和頻率表示聯(lián)合起來[9],是分析非平穩(wěn)信號的理想工具,思路是對信號進(jìn)行時頻分析,獲得時頻分布,提取時頻圖脊線即瞬時頻率(Instantaneous Frequency,IF),實現(xiàn)對頻率的粗估。文獻(xiàn)[10]提出用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)這種特殊的時頻分析方法對線性調(diào)頻信號進(jìn)行估計,對于高階的調(diào)頻信號估計,過去通常使用傳統(tǒng)的短時傅里葉變換(STFT)和小波變換,但是受到海森堡測不準(zhǔn)原理的限制[11],其時頻分布是模糊的,不利于脊線的提取。為了提高傳統(tǒng)方法的能力,最近幾十年提出了時頻重排方法(Reassignment Method,RM)[12]、同步壓縮(Synchrosqueezing Transform,SST)方法[13]等方法。RM雖然時頻聚集能力較好,但是無法實現(xiàn)信號重構(gòu);SST方法對快時變信號的聚集能力仍然較差,存在頻率估計誤差逐步增大的問題。針對SST的誤差逐漸增大和時域能量溢出現(xiàn)象[14],基于更精確的瞬時頻率估計的二階SST[15]和擴(kuò)展形式的高階同步壓縮(High-Order Synchrosqueezing Transform,HOSST/SSTN)[16]陸續(xù)被提出。相比于傳統(tǒng)的幾種時頻分析工具,HOSST/SSTN具有更集中的時頻能量聚集能力和更高的分辨率,已經(jīng)應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)的檢測等領(lǐng)域,但是存在對噪聲魯棒性較差、低信噪比下時頻圖發(fā)散嚴(yán)重的問題。根據(jù)本文的信號模型,后續(xù)對比實驗時,采用三階同步壓縮變換(Third-order Synchrosqueezing Transform,SST3)進(jìn)行比較。

針對以上問題,本文提出一種基于多重高階同步壓縮變換(Multi-High-Order Synchrosqueezing Transform,MHOSST/MSSTN)的時頻分析法對信號進(jìn)行載波捕獲,將HOSST/SSTN和多重同步壓縮(Multisynchrosqueezing Transform,MSST)相結(jié)合,對接收信號進(jìn)行高分辨率的時頻分析,并針對常用的脊線提取能量泛函數(shù)法由于噪聲導(dǎo)致錯誤的提取點,提出將時頻面分成多個部分進(jìn)行提取的方法,向前向后分別提取脊線,提高低信噪比下信號估計能力。

1 信號模型

進(jìn)入載波同步過程的起始信號是通過傳輸信道傳輸,經(jīng)過接收機(jī)自動增益控制、下變頻和匹配濾波后的含有噪聲的數(shù)字信號。

接收機(jī)的信號模型可表示為:

(1)

式中:s(k)為調(diào)制數(shù)據(jù),k為整數(shù);gT(t)為信號成形濾波器的沖激響應(yīng),T為符號周期,Δf、Δθ為接收機(jī)接收到的信號載波頻率、載波相位與本地載波頻率、相位的差值,w(nT)是均值為0的高斯白噪聲。

導(dǎo)頻序列通常為無數(shù)據(jù)變化的常數(shù)序列:

s(k)=1,k=0,1,…,P-1,

(2)

式中:P為導(dǎo)頻長。

暫不考慮成形濾波器的拖尾,經(jīng)過下變頻和濾波后的基帶信號可表示為:

(3)

對于低軌道衛(wèi)星,受徑向相對速度和相對速度變化率等影響,可將時變基帶信號相位近似高階泰勒級數(shù)展開:

(4)

式中:f0、f1、f2分別為頻偏、一階頻偏變化率和二階頻偏變化率。考慮到導(dǎo)頻數(shù)據(jù)較短的情況,忽略了更高階頻偏變化率分量造成的影響,從而將載波捕獲的問題轉(zhuǎn)換為非線性調(diào)頻信號的參數(shù)估計問題。

2 基于MSSTN的高動態(tài)信號時頻分析

非平穩(wěn)信號的瞬時頻率為瞬時相位對時間的一階導(dǎo)數(shù),理想情況下時頻能量只分布在瞬時頻率脊線上。由于快時變信號變化規(guī)律的復(fù)雜性,目前的時頻分析方法存在瞬時頻率估計精度有限、計算量大、噪聲魯棒性差的缺點,針對時頻分析后處理方法的局限性,本文提出了MSSTN這樣一種新的時頻分析方法,提出思路如圖1所示,后續(xù)仿真實驗對比足以證明所提方法的優(yōu)越性。

圖1 MSSTN方法提出思路Fig.1 Source of ideas for MSSTN

2.1 SST原理

SST是基于STFT進(jìn)行后處理得到的。對于信號r(t),STFT可表示為:

(5)

式中:g(t)為窗函數(shù),r(t)為輸入信號。受海森堡測不準(zhǔn)原理的制約,STFT無法同時實現(xiàn)時頻的高分辨率。SST方法實際上是對STFT在頻率方向進(jìn)行能量重新分配的一種方法,如圖2所示,主要用于純諧波信號分析。其過程可以表示為[17]:

(6)

圖2 SST方法時頻能量分配示意Fig.2 Time-frequency energy distribution in SST method

接收信號的SST表達(dá)式為:

(7)

2.2 高動態(tài)信號的SST

對于研究的高動態(tài)信號,由于STFT的窗函數(shù)較短,二階頻偏變化率影響較小,因此可以將其所加窗內(nèi)信號近似為線性調(diào)頻信號[18],即:

r(τ)=Aej[φ(t)+2πf0(τ-t)+πf1(τ-t)2]。

(10)

定義窗函數(shù)為高斯窗g(t)=e-0.5t2,則:

(11)

(12)

因此將式(12)兩邊對時間求偏導(dǎo)可得:

(13)

因為式(13)是復(fù)數(shù)形式,不能直接用于計算,取實部可得:

(14)

2.3 HOSST

對于SST方法的缺點,基于更為準(zhǔn)確的瞬時頻率估計,二階同步壓縮變換(SST2)[17]被提出,首先定義一個二階局部調(diào)制因子,然后用來計算新的瞬時頻率估計。

對于給定的信號,二階局部調(diào)制系數(shù)為:

(15)

式中:

(16)

可得:

(17)

式中:Gg″(t,f)、Gg′(t,f)、Gtg(t,f)、Gtg′(t,f)分別表示窗函數(shù)為g″(t)、g′(t)、tg(t)、tg′(t)時的STFT的計算結(jié)果[18]。

該調(diào)制系數(shù)為SST瞬時頻率估計對時間的一階導(dǎo)數(shù),二階瞬時頻率估計可表示為:

(18)

SST2已經(jīng)被證明能夠提高線性調(diào)頻信號的時頻分布的效果[19-21]。針對更為復(fù)雜的快速變化頻率信號,根據(jù)SST2表達(dá)式遞推進(jìn)一步提出了具有更為通用形式的HOSST方法。

(19)

定義y1(t,f)和xk,1(t,f)為:

(20)

式中:Gtk-1g(t,f)表示窗函數(shù)為tk-1g(t)的STFT。

從而可以將yj(t,f)和xk,j(t,f)用迭代的形式表示為:

(22)

HOSST的可表示為:

(23)

利用HOSST的方法,可以獲得更為準(zhǔn)確的瞬時頻率估計,從而有效抑制時頻模糊現(xiàn)象。根據(jù)本文實際需求,研究信號為具有多普勒頻偏及一二階變化率的高動態(tài)信號,將其建模為三階非線性調(diào)頻信號。為了估計模型匹配,本文采用三階同步壓縮方法,即N=3。

2.4 MSST

區(qū)別于HOSST,對于快時變信號,MSST采用迭代的方法逐步接近瞬時頻率。

(24)

進(jìn)一步可得:

(25)

圖3 MSST頻率壓縮過程示意Fig.3 MSST frequency compression process

(26)

(27)

雖然MSST中采用的固定點迭代原則能夠增強(qiáng)時頻分析能力,但理論分析已經(jīng)證明了MSST是一種有偏瞬時頻率估計器[22],MSST計算的時頻表示結(jié)果保留了未重新分配能量的時頻點,時頻分布向理想分布收斂的速度有待提升。

2.5 MSSTN

類比MSST,式(23)中的SSTN表達(dá)式可寫為:

(28)

經(jīng)過二重壓縮后的時頻分析結(jié)果可表示為:

(29)

以此類推,經(jīng)過N次壓縮后的MSSTN的時頻分析結(jié)果可表示為:

本文考慮的場景主要涉及多重三階同步壓縮變換(MSST3)方法,具體實現(xiàn)的方法如算法1所示。

算法1 MSST3輸入:x為二階非線性調(diào)頻信號Gg=STFT(x),Gg′=STFTg′(x),Gg″(x)=STFTg″(x)Gtg=STFTtg(x),Gtg′=STFTtg′(x),Gt2g=STFTt2g(x)f～=f-1j2πGg′Gg()τ2=GtgGgτ3=Gt2gGgXk,j=GgGtkg-Gtj-1gGtk-j+1gW2=1j2π((Gg)2+GgGtg′-GtgGg′)W3=?fW2=1j2π(2GgGtg+GgGt2g-Gt2gGg′)q～[3,3]=W3X2,2-W2X3,3X4,3X2,2-X3,2X3,3q～[2,3]=W2X2,2-q～[3,3]X3,2X2,2f～[3]=f～+q～[2,3]τ2+q～[3,3]τ3

引入2個矩陣f和t,f和t分別對應(yīng)于時頻分析結(jié)果的時間頻率集合。在進(jìn)行多重壓縮時,頻率點集合表示為Sf,時間點集合表示為St,Sf和St的頻率時間點個數(shù)分別為Nf和Nt,重分配的次數(shù)為N。此外,對于W3=?fW2的求解需要用到:

?fGtk-1g=-j2πGtkg。

(31)

通過對上述變量和公式的確定,MSST3的具體實現(xiàn)算法見算法1。

3 仿真驗證

仿真條件:接收信號為二階非線性調(diào)頻信號,信號長度N=10 000,采樣率為20 kHz,頻率范圍為±10 kHz,調(diào)頻率范圍為±2 kHz/s,二階調(diào)頻率范圍為±5 kHz/s2,頻偏、一階調(diào)頻率和二階調(diào)頻率在取值范圍內(nèi)隨機(jī)取值,在計算頻率估計均方根誤差和捕獲概率時采用500次蒙特卡洛仿真,比較STFT、RM、SST、SST3、MSST和MSST3這幾種時頻分析方法在高動態(tài)非線性調(diào)頻信號參數(shù)估計中的性能。

3.1 迭代次數(shù)的確定

作為一種迭代算法,需要確定MSST和MSST3迭代終止的條件。本文采用時頻分析瑞利熵和重構(gòu)信號的信噪比變化來確定合適的迭代次數(shù)。

時頻聚集性是時頻分析方法性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一,通過將時頻分析和信息熵結(jié)合,提出利用瑞利熵[23]來表征時頻分析方法性能,α階瑞利熵的定義為:

(32)

Ryα越小,時頻聚集程度越高。瑞利熵可以確保MSST時頻聚集到合適的水平,當(dāng)?shù)^程中連續(xù)時頻分析結(jié)果的瑞利熵沒有明顯的變化時,迭代過程可以中止。

對時頻分析結(jié)果進(jìn)行重構(gòu),比較不同迭代次數(shù)重構(gòu)后信號的信噪比,相鄰2次信噪比不再明顯變化時,可中止迭代[22]。圖4為迭代次數(shù)對瑞利熵和重構(gòu)信號信噪比的影響,輸入信噪比為5 dB。可以看出,迭代次數(shù)越多,瑞利熵越小,重構(gòu)信號的信噪比越高,瑞利熵在迭代次數(shù)為4后趨于穩(wěn)定,信噪比在迭代3次后提升微弱。考慮到瑞利熵在迭代3次和4次差別不大和出于減少運算量的目的,本文擬采用迭代3次的多重壓縮方法。同時由圖4可以比較STFT、SST、MSST、SST3和MSST3這5種具有信號重構(gòu)能力方法的重構(gòu)性能,STFT、SST這2種方法重構(gòu)時會造成信號信噪比的損失,SST3重構(gòu)后對信號的信噪比有一定提升,經(jīng)過多重壓縮后的MSST、MSST3在信噪比穩(wěn)定后分別可提升約9、12 dB,這種能力可以考慮用于信號的增強(qiáng)。

(a)瑞利熵

3.2 時頻聚集能力

時頻聚集能力是準(zhǔn)確估計瞬時頻率、提高捕獲精度的重要保證。假設(shè)信號信噪比為5 dB,比較STFT、SST、RM、SST3、MSST和MSST3這6種方法的時頻二維能量分布圖。將圖5中所有圖的能量刻度設(shè)置相同,通過比較可以看出,STFT的能量聚集性最差,局部放大后幾乎難以分辨;由于噪聲的加入和快時變信號的影響,SST方法的分析結(jié)果變得模糊;RM方法是從時間和頻率2個方向重新分配時頻能量,得到比SST更為集中的時頻圖;SST3方法雖然能夠應(yīng)對二階非線性調(diào)頻信號的快時變,但是自身的噪聲魯棒性較差,時頻分析圖也出現(xiàn)了發(fā)散的現(xiàn)象;同時可以發(fā)現(xiàn)多重壓縮方法確實可以提高時頻聚集能力,MSST和MSST3這2種方法都獲得了清晰的瞬時頻率脊線,但是受到SST有偏估計的影響,MSST方法在一些時刻有2個能量低的時頻點,在圖中時頻能量顯示為藍(lán)色,并且無法隨迭代次數(shù)的增加而匯成一個時頻點,在提取瞬時頻率脊線時容易導(dǎo)致提取錯誤,這就是MSST方法存在的未分配時頻能量點的缺點,不利于頻率的準(zhǔn)確提取。

(a)STFT時頻圖

用瑞利熵對4種方法的性能進(jìn)行定量分析,結(jié)果如圖6所示。可以看出,輸入信噪比為-10～15 dB時,多重壓縮算法的瑞利熵遠(yuǎn)小于其他幾種方法,在信噪比-2 dB以下時,多重壓縮方法不足以彌補(bǔ)HDSST對噪聲魯棒性較差的問題,出現(xiàn)了MSST3瑞利熵大于MSST的現(xiàn)象,這對在相應(yīng)的場景選擇合適的方法有指導(dǎo)意義。

圖6 不同時頻分析方法的瑞利熵隨信噪比變化情況Fig.6 Variation of Rayleigh entropy with signal to noise ratio in different time-frequency analysis methods

3.3 頻率捕獲精度

圖7為不同方法的頻率估計均方根誤差隨信噪比變化情況。多重壓縮方法的頻率估計誤差始終是最小的,在較高信噪比(8 dB)條件下,各種方法的均方根誤差變化趨于平穩(wěn),MSST3的估計誤差降到3 Hz以下,約為2.4 Hz,MSST的估計誤差穩(wěn)定在3.3 Hz左右,降至其他方法誤差的1/3以下。在較低信噪比(-2 dB)條件下,MSST3的頻率估計性能還是略弱于MSST方法。同時可以發(fā)現(xiàn)其他4種方法的均方根誤差不是完全按照時頻聚集能力的順序排列的,這說明作為STFT的后處理方法,不僅將有用信號的瞬時頻率時頻能量聚集,同時也會將噪聲聚集,在瞬時頻率估計的時候造成過大的誤差。很明顯,MSST和MSST3對信號的時頻聚集能力強(qiáng)于噪聲聚集能力,而SST、RM和SST3在低信噪比時瞬時頻率的時頻能量嚴(yán)重發(fā)散,無法準(zhǔn)確地實現(xiàn)瞬時頻率估計,甚至相較于STFT的估計精度都出現(xiàn)下滑,這也是研究時頻分析方法改進(jìn)的方向,將時頻聚集能力更多地發(fā)揮在對有用信號能量的積聚上。

圖7 頻率估計均方根誤差隨信噪比變化情況Fig.7 Variation of frequency estimation root mean square error with signal to noise ratio

3.4 捕獲概率與時間

捕獲概率通常定義為信號頻率估計誤差小于20 Hz的概率。圖8比較了不同算法的捕獲概率,在較高信噪比下,MSST3方法的捕獲概率穩(wěn)定在99.5%左右,優(yōu)于其他方法;在較低信噪比下MSST方法捕獲性能更優(yōu)。同時也發(fā)現(xiàn)SST、RM和SST3這3種方法在高信噪比條件下捕獲概率均收斂到95%以上,而STFT的捕獲概率收斂到80%左右,證明了對STFT后處理的必要性。

圖8 不同方法捕獲概率隨信噪比變化情況Fig.8 Variation of acquisition probability with signal to noise ratio in different methods

在實際應(yīng)用時,時頻分析方法的運行效率非常關(guān)鍵,決定了能否應(yīng)用于實際工程中。假設(shè)時間點數(shù)和頻率點數(shù)分別為Nt和Nf,STFT的時間計算復(fù)雜度為ο(NtNflog(Nf),后處理方法的多重壓縮、求導(dǎo)及重新分配時頻能量等步驟的計算復(fù)雜度為低階項,可忽略。采用測試的計算機(jī)配置為i7-10750H 2.6 GHz,Windows 10系統(tǒng),Matlab版本為R2020a。所需時間如表1所示,所有方法都在20 s內(nèi)完成處理。可以看出,MSST3和SST3相對于其他方法,由于求導(dǎo)高階項步驟的增加,算法復(fù)雜度提高,運行時間增長。

表1 不同時頻分析方法所需計算時間Tab.1 Computing time required by different time-frequency analysis methods 單位:s

4 結(jié)論

本文主要針對大頻偏、快時變條件下的載波頻率捕獲問題進(jìn)行研究,對基于時頻分析的捕獲方法進(jìn)行研究,通過仿真對比,得到以下結(jié)論:

本文提出一種MSST3的時頻分析方法,可用于高動態(tài)載波捕獲,這種方法既考慮了SST3方法對二階非線性調(diào)頻信號這種快時變信號能夠準(zhǔn)確估計的優(yōu)點,又考慮了多重壓縮方法提高噪聲魯棒性的能力。仿真實驗表明,這種方法能夠有效應(yīng)對多重同步壓縮方法多次迭代無法消除未分配能量點的問題,而且能夠提供更為集中的時頻分析結(jié)果;同時在對時頻分析后的信號重構(gòu)時發(fā)現(xiàn),信噪比提升約12 dB,有較大的的應(yīng)用價值。在較高信噪比下,頻率估計誤差降到2.4 Hz左右,比MSST方法降低了0.9 Hz左右,約為STFT誤差的1/4,約為其他后處理方法的1/3。在頻率捕獲概率方面,捕獲概率為99.5%左右,比MSST方法提高約0.4%左右,也明顯優(yōu)于其他方法。

作為SST3的多重壓縮方法,通過多重壓縮,極大地提高了噪聲魯棒性,但是在仿真時發(fā)現(xiàn),較低信噪比下捕獲性能略遜于MSST方法,這也是后續(xù)要繼續(xù)改進(jìn)的方向。