綜合訓練（九）

20.為提升銷量，某電商在其網店首頁設置了一個“勇闖關，贏紅包”的游戲小程序，其游戲規則如下：在網頁上設置三個翻牌關卡，每個關卡翻牌結果只有兩種： Pass （通過）與 Fail （失敗），若買家通過這三關，則認為闖關成功；若三關均未通過或只通過三關中的一關，則游戲失敗；若三關中恰好通過兩關，則允許參加復活環節.復活環節有兩個翻牌關卡，若兩關均通過，也認為闖關成功，否則認為闖關失敗.假定買家每一關通過的概率均為1/3，且各關卡之間是否通過相互獨立.若闖關成功，則買家可贏得 50 元的購物紅包.若闖關失敗，則可獲得 10 元紅包，紅包均可直抵在該網店購物的貨款.某日有 8100 人參與了游戲且均在該網店消費.

（1）求某買家參加這個游戲闖關成功的概率；

（2）求該日所有買家所獲紅包總金額 X 的數學期望；

（3）假定該電商能從未中獎的買家的購物中平均獲利 8 元/人，從中獎的買家的購物中平均獲利 120元/人（均不含所發紅包在內）.試從數學期望的角度判斷該電商這一日通過游戲搞促銷活動是否合算，并說明理由.