洪炎, 王藝杭, 蘇靜明, 溫言

(安徽理工大學電氣與信息工程學院, 淮南 232001)

隨著數字時代的到來,圖像和視頻已經成為人類生活中必不可少的載體,圖像、視頻等多媒體信息也隨著互聯網的發展可以廣泛傳播[1-2],但隨之而來的信息安全問題更應該引起廣泛關注。因此,越來越多的學者開始研究圖像加密技術[3-6]。

圖像置亂技術則是圖像加密的一種,是通過相關的變換公式進行編碼,從空域改變圖像內部信息的排列分布或者從頻域徹底改變圖像信息內容的一種信息加密技術,主要應用在對數字圖像加密的前期預處理和后續解密當中。置亂技術可以很好地隱藏圖像信息,減小信息間的相關性,并在傳輸過程中增強魯棒性[7-9]。

目前常見的置亂技術有Arnold變換[10-14]、幻方變換[15-16]、Baker變換[17-19]、Logistic 變換[20-21]等,其中Arnold變換因為其較好的置亂效果以及簡單的變換公式為學者們廣泛使用。文獻[13]將Arnold變換與Gray碼結合起來,使圖像達到灰度空間和位置空間雙置亂的效果,但仍具有安全性不高等局限性;文獻[12] 提出一種 基于動態L形置亂和組合混沌映射擴散的混沌圖像加密方案,圖像最初被動態L形加擾混淆,然后利用Arnold變換進一步混淆圖像,最后,在擴散階段使用非線性操作,具有良好加密效果;Mansouri等[10]提出一種基于改進Arnold的圖像加密方案,通過增加分割和旋轉操作和像素洗牌等操作,使其在短時間內獲得良好的加密效果,但該方法并未具備良好的魯棒性;Wang等[11]應用Arnold變換置亂圖像,為改變其具有周期性這個弊端,引入邏輯-正弦自嵌入(logistic-sine self-embedding,LSSE)混沌系統來生成變換公式參數,從而使其不具備周期性并增大密鑰空間,但其仍不能加密不等長圖像。

因此,為改變其變換公式簡單易破解,且難以應用于不等長圖像,使得圖像在傳輸過程中容易收到攻擊,導致信息損失,安全性能也無法得到保障的缺陷,現針對傳統Arnold變換置亂方式存在的不足進行算法改進,使其能夠對任意類型圖像進行加密操作,通過加入行列按位異或操作、引入改進henon混沌映射系統,使Arnold雙置亂的進一步加強,有效削弱加密圖像的信息相關性,提升圖像在傳輸時的抗攻擊能力。

1 Arnold雙置亂

在圖像加密領域,Arnold變換一直被當作置亂方法的一種,由于其并不能改變圖像像素坐標值,所以在圖像加密領域常常需要與其他算法相結合,文獻[13]提出一種基于Arnold的雙置亂方法,不僅讓圖像的像素位置坐標發生改變,還會改變圖像像素值,從而實現圖像位置空間和灰度空間的雙置亂。

1.1 基于位置空間的Arnold變換

首先是位置空間的置亂,眾所周知,廣義二維Arnold變換過程為

(1)

式(1)中:x′、y′為變換后的像素坐標;x、y為未發生變換的像素坐標;a、b為任意整數;N為圖像的長和寬;mod為模運算,即取余操作,從而保證圖像像素坐標進行置亂后仍然保持在原來圖像坐標范圍內。

相對應的,經過Arnold變換后的圖像可以經過逆變換公式還原達到解密的效果,其逆變換公式為

(2)

一次廣義Arnold變換并沒有完全達到置亂圖像的效果,所以在實際應用中,多采用多次迭代變換的結果,但是,上述變換要求圖像的長和寬必須一致,并不適用于不等長圖像,因此該變換具有很多局限性。因此,本文研究做出以下改變,即

(3)

改變Arnold變換形式,使其能夠對不等長圖像進行置亂,引入x′2,從而提升置亂效果。和二維廣義Arnold變換一樣,改進的二維不等長Arnold變換也可以通過逆變換公式將圖像進行復原,其逆變換公式為

(4)

1.2 灰度空間的Arnold置亂

灰度空間的置亂,首先將任意灰度圖像像素值h從原本的十進制數表示成兩個十六進制數,即h=(h1,h2)H,然后,基于每個像素點的灰度空間置亂可表示為

(5)

式(5)中:h′=(h′1,h′2)H,h′即為變換后的圖像像素值,其置亂還原可表示為

(6)

通過位置空間和灰度空間的雙重置亂后,圖像的置亂效果要比原先只進行Arnold變換好得多,同時抗干擾能力也大大增強。

2 按位異或

2.1 改進的henon映射

改進的henon混沌映射[22]是一個離散的時間序列,其表達式為

(7)

式(7)中:a、c為系統調節參數,該系統的分岔圖如圖1所示,當a∈(4.3,5],c∈(0,0.3]時,該系統處于混沌狀態。

圖1 改進的henon映射分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram for improved henon mapping

2.2 行列按位異或

在Arnold置亂中,不論是傳統的變換公式,還是改進后的變換公式,都有一個致命的缺點,就是其在受到剪切攻擊時,恢復的圖像會丟失大量信息。為此,本研究在Arnold雙置亂變換中引入了按位異或運算,具體步驟如下。

首先對使用改進的henon混沌映射迭代n+2MN次,為消除暫態響應,舍棄前n項,得到長度為2MN的混沌序列x(i),根據式(6)對序列處理得到序列A和B,將用于后續行列異或操作,來增強圖像傳輸過程中的抗差分攻擊能力。

(8)

(1)行按位異或:假設圖像為M行N列,從第1行開始,先將A和B序列轉換成二維矩陣,將第1行的第2列像素點值與第1列像素點值進行按位異或,再與矩陣A的第1行第1列值進行按位異或,即將像素點的像素值分為8位二進制數進行每一位的異或操作再轉化成十進制數并將值賦予第1行第1列的像素點;然后將第1行第3列像素點值與第2列像素點值進行按位異或,再與矩陣A的第1行第2列值進行按位異或,將值賦予第1行第2列的像素點;以此類推,一直到第1行第N-1列像素賦值完畢,第1行第N列像素點值則與255以及矩陣A的第1行第N列值進行按位異或并賦值;第2行到第M行則重復第1行的操作,最終完成整個圖像的行按位異或。

(2)列按位異或:同行按位異或類似,從第1列開始,將第1列的第2行像素點值與第1行像素點值進行按位異或,再與矩陣B的第1列第1行值進行按位異或,并將值賦予第1列第1行的像素點;然后將第1列第3行像素點值與第2行像素點值進行按位異或,再與矩陣B的第1列第2行值進行按位異或,將值賦予給第1列第2行的像素點;以此類推,一直到第1列第M-1行像素賦值完畢,第1列第M行像素點值則與255以及矩陣B的第1列第N行值進行按位異或并賦值;第2列到第N列則重復第1列的操作,最終完成整個圖像的列按位異或。

如圖2和圖3所示,以5×5的像素塊為例,展示了行按位異或和列按位異或的示意圖。

圖2 行按位異或示意圖Fig.2 Bitwise XOR operation of rows

圖3 列按位異或示意圖Fig.3 Bitwise XOR operation of columns

對于行按位異或以及列按位異或都是可逆的變換,其逆變換則為再次按位異或即可,因為其本質就是異或,異或的還原就是再進行一次異或。

3 具體算法步驟

輸入大小為M×N的明文圖像。

輸出大小為M×N的密文圖像。

步驟1對于輸入的明文圖像S,先根據基于改進的Arnold變換公式進行灰度空間置亂,得到置亂圖像S1。

步驟2將置亂圖像S1基于改進的Arnold變換公式進行位置空間置亂,變換次數為T,得到置亂圖像S2。

步驟3將置亂圖像S2進行行按位異或得到置亂圖像S3。

步驟4將置亂圖像S3再根據改進的Arnold變換公式進行T次位置空間置亂,得到置亂圖像S4。

步驟5將置亂圖像S4進行一次列按位異或,最終得到密文圖像S5。

若為彩色圖像,則將其R、G、B三通道分開,分別進行步驟1～步驟5,最后將通道合并,完成圖像加密。在提出的算法中,改進的Arnold位置空間變換、灰度空間變換、行按位異或以及列按位異或都是可逆的,所以其加密圖像是可恢復的,且恢復過程與加密過程相反,在此不做贅述。圖4給出了整個算法加密和解密的流程圖。

圖4 加解密流程圖Fig.4 Encryption and decryption flow chart

4 實驗結果與分析

本文研究進行了多組仿真實驗來證明改進算法的有效性、抗干擾性以及圖像安全性。實驗運行環境:微軟 Windows 11(64 位)操作系統,銳龍 R9-5900HX CPU 3.2 GHz,內存 16 GB,實驗平臺為 MATLAB 2018a。仿真實驗所用圖像為標準的USC-SIPI圖像數據庫中圖像以及MATLAB 圖像處理標準圖像庫中的“Dragon”(360×477)和“Football”(320×256)圖像。

4.1 密鑰空間

密鑰空間是衡量一個算法能否抵擋暴力攻擊的重要指標,一般以比特為單位,當密鑰空間大于2100時,則認為該算法可以抵御暴力攻擊。本文的密鑰空間是由二維不等長Arnold變換參數b、r、q以及混沌系統控制參數a、c和初值x0、y0共同構成,即約為2192,符合抵御暴力攻擊的要求,對加密方案的安全性提供了保障。

4.2 置亂圖像結果

由于對于傳統Arnold變換公式的改進,本文的置亂算法可實現對于不等長圖像的置亂,設位置空間置亂次數為T=10,灰度空間置亂次數、行按位異或以及列按位異或次數均為1,圖5和圖6顯示了圖像經過置亂和恢復的結果。

圖5 不等長圖像的加解密結果Fig.5 Encryption and decryption results for images of unequal length

圖6 等長圖像的加解密結果Fig.6 Encryption and decryption results for equal length images

由圖5和圖6可知,經過改進,本文算法不僅可以對任意類型圖像進行置亂,而且置亂后的圖像都只出現了隨機噪聲點,完全看不出原圖像的任何信息,可以很好地隱藏原始圖像的信息,并且最終恢復出來的圖像也與原圖像保持一致,由此可見,本文算法具有良好的加密和恢復效果。

4.3 直方圖分析

直方圖分析可以直觀地反映像素分布特征,如果密文圖像不能掩蓋圖像的統計特征,攻擊者就會通過密文圖像推斷出明文圖像信息從而破解圖像加密算法。圖7是明文圖像5.2.10和“Football”及其加密后的圖像直方圖。可以看出,加密后的直方圖都能均勻分布,可以有效抵抗統計攻擊。

圖7 直方圖測試Fig.7 Histogram test

4.4 信息熵分析

信息熵的概念是由香農從熱力學中借用而來,他用這一概念來描述信源的不確定度,在圖像處理中,信息熵則可以反映一幅圖像的隨機信,熵值越大,圖像的灰度值分布的就越均勻,隨機性也就越強[23]。一般來說,信息熵越接近于8表示圖像包含更多信息量,可以用來衡量圖像的置亂效果。

灰度圖像信息熵的計算公式為

I(i)=-pilog2pi

(9)

式(9)中:i為第i級灰度級;pi為第i級灰度出現的概率。

分別使用5種算法對5.2.10和Football進行置亂后的圖像信息熵計算,可以通過表1數據得到,本文算法加密后的信息熵都接近于8,不僅高于其他算法,且只有本文算法可以實現任意類型的圖像加密,結果表明本文算法加密后的圖像具有更強的隨機性,也就可以更好地抵御外來攻擊。

表1 信息熵分析Table 1 Information entropy analysis

4.5 相關性分析

通常來說,一幅圖像相鄰像素在其水平、垂直以及對角方向具有高度相關性,這使得攻擊者可以通過這一特征性來分析圖像的加密算法,從而去破解圖像[24]。因此相鄰像素間的相關性分析也可以用來衡量某一加密算法的安全性,好的加密算法應當能消除像素間的相關性。

相關性的計算公式為

(10)

(11)

(12)

式中:xi、yi為第i個像素點的像素值;N為樣本數量;E(x)、D(x)為x的期望和方差。

本文研究分別選取5 000對像素對5.2.10進行相鄰像素值相關性的計算,從水平、垂直和對角方向3個方向對比結果,如圖8和圖9所示,結果表明加密圖像相鄰相關性更小,安全性更高。同時選取USC-SIPI圖像數據庫中15張圖像以及“Dragon”和“Football”進行相關性測試,結果如表2所示,可以看出圖像相鄰像素間相關性幾乎為0,能夠有效抵抗統計攻擊。

表2 相鄰像素相關性分析Table 2 Adjacent pixel correlation analysis

圖9 加密圖像相鄰像素相關性Fig.9 Neighbourhood pixel correlation of encrypted images

4.6 魯棒性分析

對于置亂后的圖像,要求具有一定的抗攻擊能力,以便有效防御加密后的圖像被攻擊破壞,從而導致恢復圖像時難以修復。典型的攻擊有添加噪聲、剪切圖像等攻擊。

4.6.1 抗噪聲攻擊

為有效驗證本方法對噪聲攻擊的防御能力,對5.2.10圖像進行測試,分別選擇不同的椒鹽噪聲0.05和0.1以及高斯噪聲0.01和0.05對本方法進行測試,如圖10所示。

圖10 抗噪聲攻擊測試Fig.10 Noise resistance test

4.6.2 抗剪切攻擊

為有效驗證本方法對剪切攻擊的防御能力,對5.2.10圖像進行測試,分別選擇不同的剪切方式即剪切方式對本方法進行測試,如圖11所示。

圖11 抗剪切攻擊測試Fig.11 Clipping resistance test

由于圖像像素經過灰度空間置亂、位置空間置亂以及行列按位異或,很好地打亂了圖像的相鄰像素點,達到置亂的要求,因此可以很好地抵御一些常見的攻擊。由圖10和圖11可知,在給圖像添加少量椒鹽噪聲時,雖然圖像恢復后充滿噪聲點,但是仍然可以獲得大部分圖像信息;對圖像進行剪切攻擊時也是一樣,圖像恢復后雖然會有噪聲點的出現,但是并不會因為少量剪切就丟失原本圖像信息。

除了直觀圖像分析其抗攻擊性能,算法魯棒性還可以通過歸一化相似度(normalized correlation, NC)和峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)來進行評估。

4.6.3 歸一化相似度及峰值信噪比分析

歸一化相似度公式為

(13)

式(13)中:W(i,j)為有原圖(i,j)位置處的像素值;W′(i,j)為恢復后圖像在該位置的像素值,歸一化相似度值可以用來判斷圖像經過加噪、剪切等處理后與原圖像的相似度,越接近于1則說明恢復效果越好,置亂算法的性能也就越好。

峰值信噪比公式為

(14)

(15)

式中:MAX為圖像像素值的最大值即255;MSE為均方誤差,峰值信噪比和歸一化相似度一致,也是用來衡量圖像在受到攻擊后重建的質量,越大說明圖像恢復效果越好。

根據表3和表4實驗結果數據分析可知,本文算法相較于其他算法而言,PSNR和NC值都大大提升,說明本文算法不論是在置亂效果上還是在抗攻擊能力上都明顯優于其他算法。

表3 噪聲攻擊結果Table 3 The results of noise attacks

5 結論

基于Arnold的雙置亂提出了一種改進算法,將二維不等長Arnold變換疊加進行行列按位異或操作,從而實現不同大小和不同類型圖像的灰度空間以及位置空間雙重置亂效果。本文算法相較于同類型算法在置亂程度上有顯著提升,充分地消除了相鄰像素間相關性,增大了密鑰空間,適用于任意圖像,增加了算法的抗攻擊性和魯棒性,因此適用于各領域圖像的加密。未來將針對加密時間做進一步的改進,提升加密效率,保障圖像安全性。