不同含水率條件下含瓦斯煤改進鄧肯-張模型

高 霞 ，劉 洪 ，陳港慶 ，張保勇 ，吳 強

（1.黑龍江科技大學 建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150022；2.黑龍江科技大學 安全工程學院，黑龍江 哈爾濱 150022）

隨著我國煤炭資源開采深度和開采強度的增大，地應力、地溫和瓦斯壓力不斷增加，深部煤炭采掘過程伴隨著更加復雜嚴重的煤與瓦斯突出災害[1]。綜合作用假說認為，突出是地應力、煤體中的瓦斯、煤的力學性質、煤的微觀結構、宏觀結構、煤層構造及煤的自重力等因素綜合作用的結果[2]。深部煤巖的力學特征與淺部煤巖方面有明顯的差異[3]，且在煤炭開采過程中，不可避免地會對上覆巖層造成擾動，產生導水裂隙，形成大量的礦井水[4]，對煤的力學性質造成影響。因此，圍壓和含水率是影響含瓦斯煤力學特性的2 個重要外因，探究不同圍壓和含水率下含瓦斯煤的力學性質，并建立相應的應力-應變關系模型具有重要意義。

針對含瓦斯煤的力學性質，學者們利用單軸試驗、常規三軸及真三軸試驗獲得其應力-應變曲線，結果表明：瓦斯壓力[5-7]、圍壓[8-9]、含水率[10]是影響含瓦斯煤靜力學性質的主要因素。為了準確描述含瓦斯煤的三軸壓縮力學行為，需要建立與試驗結果相適應的應力-應變關系模型。

含瓦斯煤應力應變模型主要通過理論與試驗擬合獲得。KONDNER[11]根據大量土的三軸壓縮實驗結果，提出用雙曲線擬合發生應變硬化的應力-應變曲線；李曉麗等[12]依據鄧肯-張模型建立了砒砂巖重塑土的本構模型，應用該模型對重塑土的應力-應變關系進行預測；孫谷雨等[13]以溫度、圍壓為影響因素建立了凍結粉質黏土的鄧肯-張本構模型，得出了模型的參數，驗證了模型的適用性；楊愛武等[14]通過對鄧肯-張模型參數進行雙重修正，建立了能夠描述城市污泥固化土的應力-應變關系模型，并對修正模型的準確性進行了驗證。綜上，對于含瓦斯煤的力學性質探討主要集中在瓦斯壓力和圍壓，而有關圍壓和含水率協同作用下的力學特性研究相對較少。因此，以黑龍江新安煤礦8#上煤層煤樣為研究對象，基于已開展的室內三軸壓縮試驗，建立含瓦斯煤的改進鄧肯-張模型，對修正后的模型進行驗證并做出評價；該修正模型有助于工程中對含瓦斯煤的安全穩定性做出判斷，為搭設煤柱提供理論依據，保障井下安全生產，也可為其他同類型礦山的開采支護提供參考。

1 試驗概況

試驗使用煤樣均取自龍煤集團新安煤礦8#上煤層，試驗用水是經過賽默飛二級純水系統處理后的II 級純水。具體設備參數見文獻[15]。試驗進行不同圍壓（12、16、20 MPa）和含水率（1%、3%、5%）下含瓦斯煤常規三軸加載試驗，試驗中瓦斯壓力為6 MPa，維持瓦斯壓力恒定，軸向應力通過負荷控制，以0.02 kN/s 的速率增加，直到試樣破壞，試驗結束。

不同含水率偏應力-應變曲線如圖1。

圖1 不同含水率偏應力-應變曲線Fig.1 Deviatoric stress-strain curves under different water content

從圖1 能夠看出曲線初始段彈性模量較大，可以將曲線劃分為3 個階段：彈性階段、塑性階段和強化階段，由彈性階段向塑性階段之間的轉化較為明顯。煤樣偏應力-軸向應變曲線均呈現應變硬化的趨勢，且含瓦斯煤樣的力學特征隨圍壓和含水率的變化規律相同。在相同含水率不同圍壓條件下，以含水率1% 為例，圍壓12 MPa 時，其應變硬化幅值（起始屈服強度至破壞應力）變化為5.5 MPa；圍壓16 MPa 時為10.9 MPa；圍壓20 MPa 時為18.8 MPa，圍壓對裂紋裂縫發生、發展起阻礙作用，圍壓大阻礙就大，圍壓小阻礙就小，即含瓦斯煤體硬化程度隨圍壓的增加而逐漸增加。

2 鄧肯-張模型

根據常規三軸試驗結果（圖1）可知，含瓦斯煤的偏應力應變曲線與KONDNER[11]提出的雙曲線相似，同時該雙曲線模型物理意義明確，使用常規三軸壓縮試驗便可以確定其試驗參數。

2.1 鄧肯-張模型參數

應力應變關系曲線表達式如下：

式中：σ1為第一主應力（軸壓），MPa；σ3為第三主應力（圍壓），MPa；σ1-σ3為偏應力，MPa；ε1為軸向應變；a為試驗固有參數，偏應力-應變曲線的弧度影響a的大小；b為試驗固有參數，偏應力-應變曲線的峰值影響b的大小。

在常規三軸壓縮試驗中，第二主應力σ2與第三主應力σ3相等，即dσ2=dσ3=0，因此切線模量Et為：

式中：Et為切線模量，表示偏應力-應變曲線上任意點的斜率，MPa。

對于式（2），當ε1→0 時：

式中：Ei為初始彈性模量，表示應變趨于零時的模量值，MPa。

對于式（1），當ε1→∞時：

式中：（σ1-σ3）ult為極限破壞應力，表示應變趨于無窮大時的破壞應力，MPa。

定義Rf為破壞比，則：

式中：Rf為破壞比，是衡量破壞應力占比極限破壞應力的指標；（σ1-σ3）f為破壞應力，MPa。

則試驗參數b與破壞比的關系為：

切線模量Et與初始彈性模量Ei的關系為：

根據JANBU 提出的經驗公式[16]，初始彈性模量與圍壓之間的關系可表示為：

式中：pa為大氣壓，其值為101.4 kPa；k為無因次基數，是材料常數；n為無因次指數，是材料常數。

綜上，所涉及的原始鄧肯-張模型參數有試驗參數a、試驗參數b、無因次基數k、無因次指數n、黏聚力c；內摩擦角φ、破壞比Rf共7 個參數，其中a、b為試驗固有參數，其余5 個可通過試驗進行標定。

2.2 模型參數求解

1）將含瓦斯煤三軸試驗結果按ε1/（σ1-σ3）～ε1的關系進行整理，二者近似線性關系。其中：a為直線的截距；b為直線的斜率。

2）當繪制出初始彈性模量Ei和圍壓σ3與大氣壓強pa的對數關系曲線時，即可得到1 條擬合直線。其中：k為直線的截距；n為直線的斜率。

3）根據已有的試驗數據可以得到不同含水率不同圍壓條件下的莫爾應力圓，由截距和斜率即可得到黏聚力和內摩擦角。

4）根據破壞比（式（5））以及b值與極限破壞應力（式（4）），即可求得破壞比。

鄧肯-張模型參數見表1。

表1 鄧肯-張模型參數Table 1 Duncan-Chang model parameters

分析表1 可知，隨著含水率的增加：①參數k呈現先減小后增大的規律，并且在含水率3%到5%這一段增速極快，增長率達到了288%；②參數n呈現的規律與k正好相反，表現出先增大后減小的規律，在后一段減小的速率較快，減小率達到了45%；③黏聚力c呈現出先減小后趨于平緩的規律，且在第1 段減小幅度較大，減小率達到了37%；④內摩擦角φ的變化并不明顯。

從整體來看，含水率是引起模型參數動態變化的重要原因。

3 考慮含水率與圍壓影響的改進鄧肯-張模型

3.1 改進模型

為使式（1）描述圍壓σ3和含水率w的影響，需要各參數描述出影響因素的變化，不同條件下鄧肯-張模型參數及初始彈性模量、破壞強度見表2。

表2 不同條件下鄧肯-張模型參數及初始彈性模量、破壞強度Table 2 Duncan-Chang model parameters,initial elastic modulus and failure strengths under different conditions

通過式（3）和式（6）提供初始彈性模量Ei、破壞強度（σ1-σ3）f與參數a和參數b的關系，將它們分別與圍壓σ3和含水率w進行擬合分析，擬合得到的相關系數分別為0.910 15 和0.904 37，擬合優度較高。

由此可見，參數a和參數b隨圍壓σ3、含水率w的變化滿足如下公式：

式中：M、N、P、Q為不同圍壓σ3和含水率w下a隨σ3、w變化的擬合參數。

式中：S、T、U、V為不同圍壓σ3和含水率w下b隨σ3、w變化的擬合參數。

聯立式（1）、式（9）、式（10）得改進模型：

將式（9）、式（10）代入式（7）即可得到模型的切線模量公式：

式 中：f（σ3，w）=135.6σ3-σ32-253.6w+32.6w2；g（σ3，w）=1.5σ3-5×10-5σ32-3.8w+0.6w2。

3.2 模型可靠性

為驗證修正鄧肯-張模型的可靠性，現將不同含水率（1%、3%、5%）和不同圍壓（12、16、20 MPa）下含瓦斯煤常規三軸試驗數值和修正模型預測數值進行對比。試驗與模型對比圖如圖2。

圖2 試驗與模型對比圖Fig.2 Comparison diagrams of tests and models

如圖2，從整體來看，模型的擬合結果與試驗結果具有很好的一致性，能夠很好地再現含瓦斯煤的主要力學特征，包括彈性階段向塑性階段的轉化，除應力-應變曲線的幅值存在較小出入外，本文模型基本能夠對由圍壓與含水率變化所引起的含瓦斯煤強度變化進行描述。

綜上所述，對于不同圍壓不同含水率條件下的含瓦斯煤，本文所建立的修正模型可以準確反映其真實受力狀態。

3.3 模型精度

運用統計學中的線性回歸模型對擬合結果進行分析，采用的主要指標有相關系數r和擬合優度R2，具體公式見文獻[17]。r值一般介于-1～1之間，r的絕對值越大表示理論偏應力與實際偏應力間的相關性越強；R2越接近于1 說明其對實測值的擬合程度越好。

不同工況下的擬合結果見表3。

表3 不同工況下的擬合結果Table 3 Fitting results under different working conditions

由表3 可以看出：任意工況下理論偏應力和實際偏應力的相關系數均在0.9 以上，這表明理論偏應力與實際偏應力的相關較強，從相關性這一角度體現了修正模型的適用性；曲線的擬合優度值較高，接近于1，表明曲線整體的擬合度較高，同時也從擬合優度這一角度體現出修正模型的適用性。

4 結語

1）隨含水率的變化，模型參數k先減小后增大，模型參數n先增大后減小，黏聚力c先減小后趨于平緩，模型參數隨含水率的變化呈現不同的規律特征，表明含水率是引起模型參數動態變化的重要原因。

2）所建立的改進鄧肯-張模型能夠對含瓦斯煤的應力-應變特性進行統一描述，可以有效反應含瓦斯煤的應變硬化這一主要力學特性。