基于增材制造技術的自修復結構設計及修復性能研究

張鎮 郭策 胡財吉 鄭威

摘要：以輕質夾芯板類結構件為主要研究對象，根據結構的斷裂破壞形式，開展了結構自修復設計和實現方法的研究。通過增材制造技術完成結構樣件的制備，并進一步通過實驗測試對比分析了修復后結構力學性能的恢復效果。研究結果表明所設計的夾芯板自修復結構對裂紋具有較好的修復能力，修復后結構的抗壓力學性能恢復到原結構的85.6％。

關鍵詞：鞘翅；輕質結構；自修復；增材制造；裂紋

中圖分類號：TB17

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.01.014

Research on Self-repairing Structure Design and Repair Performance

Based on Additive Manufacturing Technology

ZHANG Zhen GUO Ce HU Caiji ZHENG Wei

College of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing University of Aeronautics and

Astronautics，Nanjing，210016

Abstract： Taking lightweight sandwich plate structures as the main research object， the self-repairing design and implementation method were studied according to the fracture failure forms of the structures. The structural samples were prepared by additive manufacturing technology， and the restoration effect of the repaired structural mechanics properties was compared and analyzed through experimental tests. The results show that the designed sandwich plate self-repairing structure has a good ability to repair cracks， and the stress resistance of the repaired structure is restoreds to 85.6% of the original structures.

Key words： elytra; lightweight structure; self-repairing; additive manufacturing; crack

0 引言

自然界生物為了適應競爭殘酷的生存環境，在時間長河中不斷進化，形成了獨特的生物結構以及優異的性能。如甲蟲的鞘翅就是經歷上億年進化后的產物，它覆蓋在膜質的后翅腹部上，主要用于保護飛行翅和維持飛行中的平衡等。它因具有高強高韌、各向異性和良好的力學性能等特點，已成為航空航天領域輕質高強結構設計的理想仿生對象［1-2］。楊志賢等［3］研究了甲蟲鞘翅的斷面結構，發現鞘翅由背、腹壁層和中空夾芯層構成，背、腹壁層之間由橋墩狀纖維組織空心柱體結構連接，這樣的結構形式使其具有優異的力學性能；周怡等［4］根據甲蟲鞘翅微觀結構設計出具有層狀纖維纏繞方式的仿生輕質結構，通過與無纖維纏繞的輕質結構分析對比，得出有纖維纏繞的仿生輕質結構的力學性能更加優異的結論。

隨著科技的發展進步，航空航天等眾多領域對材料結構［5］的要求也越來越高，即便是輕質高強韌材料在使用過程中也不可避免地會產生損傷和裂紋［6］，并由此引發宏觀裂縫進而導致結構斷裂。為了確保結構材料在力學性能、成本效益和安全可靠性方面達到最大效能，要求結構中的裂紋必須及時被發現并盡可能修復。而裂紋的修復工作是困難的，過程也比較復雜［7］。由此，自愈技術的概念便被提出來，以尋找可能的解決方案。DAVAMI等［8］設計了一種新型仿仙人掌科植物的自修復結構，該結構被設計為由垂直肋組成的單元格，將未固化的樹脂充當自修復結構內的愈合劑并封存于單元格中，當單元格破裂時釋放愈合劑，在固化光作用下完成自我修復； HONE等［9］從植物的莖中汲取靈感，設計了一種圓柱體結構，其中包含細胞結構和用于輸送治愈劑的縱向血管通道，通過細胞壁的變形和斷裂，將愈合劑引入血管通道，使破裂的細胞壁得到修復；GUADAGNO等［10］研究了自愈合聚合物復合材料，該材料包含微囊化愈合劑和嵌入催化劑，在微膠囊中引入微裂紋后，通過毛細管作用釋放愈合劑填充裂紋面，當愈合劑與催化劑接觸聚合時，將裂縫面黏結在一起，從而實現愈合；LI 等［11］利用默里定律設計了基于膠凝材料的自愈合三維血管結構，在血管系統的空心通道或相互連接的網管中包含治療劑，并通過3D打印完成結構的制備；沈令斌［12］研究了基于智能結構仿生自修復的多功能液芯光纖關鍵技術，設計了一種以光固化材料為纖芯、石英材料為包層、聚合物光纖作為光窗的特殊結構液芯光纖，將其埋入復合材料板中，當復合材料板彎曲出現裂紋時，液芯光纖能夠及時釋放修復劑，在修復光源的輻射下完成自修復；LI等［13］研究了基于管網載體的樹脂基復合材料的光自愈現象，設計了基于外部損傷的自愈機制的管網結構，并應用NSGA-Ⅱ算法對管網載體拓撲結構進行了優化，最終通過光修復實驗證實了該結構存在一定的修復能力。

本文在課題組前期研究基礎上，以仿甲蟲鞘翅承壓板為研究對象，分析其受壓時的破壞斷裂位置和形態，并根據裂紋形態特征估算裂紋的特征尺寸和最大裂紋體積，在此基礎上設計出用于存放修補液的空腔結構并通過紫外光照射實現結構的自修復，通過實驗測試對比分析了修復后結構的力學性能，對修復效果進行了評價。

1 仿生輕量化結構設計

根據實驗室前期研究可得出結論：甲蟲鞘翅內部的微觀結構及生物材料的拓撲分布規律與其力學性能密切相關［14］。圖1a所示為鞘翅斷面微觀結構，鞘翅在橫向和縱向橫截面上具有相似的形態結構，都由內外表皮層構成，內表皮之下存在著由纖維層環繞的圓形或橢圓形的空腔，圓形和橢圓形空腔的平均直徑分別約為30～40 μm和80～95 μm。該結構形態有效地減少了鞘翅的質量，并與周圍螺旋編織纏繞的幾丁質纖維層相互配合，能夠很好地抵抗外界沖擊帶來的損傷。以此微觀形態設計的輕質高強夾芯結構（圖1b）為連續圓形空腔結構，由面板和空腔芯板組成，芯管空腔形狀由四段對稱圓弧面和兩段粘接平面構成，芯管外側是將各芯管組合在一起的波紋板。

以圖1b結構中的單層連續圓形空腔結構為模板，經適當簡化，設計了圖2所示的仿鞘翅輕質夾芯板結構，該結構外形尺寸為70 mm×40 mm×28 mm，夾芯板中壁厚均為4 mm。

2 自修復結構設計

2.1 自修復原理

材料結構的自我修復主要通過物質補給和能量補給，同時模仿生物體內損傷愈合的原理，再利用材料的特性使材料內部或者外部損傷能夠進行自我修復。按照修復機理，自修復技術可分為兩大類：第一類是通過結構設計在材料內部分散地存儲一些功能性物質來實現，當存儲空間破裂時，這些物質相互之間產生化學反應，完成自身能量和物質的補充［17］，以實現結構的修復；第二類是通過加熱、光照等方式向材料提供能量，使其發生結晶、成膜或交聯等作用來實現自我修復。本文所選取的修復方式為光敏樹脂吸收光能實現自我修復，如圖3所示。將設計的空腔結構提前放置在結構受壓斷裂處，并通過SLA（stereo lithography apparatus）光固化成形技術，將液態光敏樹脂封存在內置空腔結構中，當結構出現裂紋并且經過空腔時，液態樹脂流出，同時為其提供波長為405 nm的紫外光，直至光敏樹脂固化，實現結構的自我修復。

2.2 夾芯板斷裂失效位置和形態分析

2.2.1 有限元模型的建立

分別以尺寸為2.0，1.6，1.4，1.2，1.1，1.0，0.9，0.8，0.7，0.6，0.5，0.4 mm的六面體網格建立該輕質夾芯結構的有限元模型，模型的網格數量分別為7080、14 525、20 387、32 742、42 846、52 200、76 005、99 500、154 686、237 984、398 320、797 800。利用有限元軟件Workbench的顯式動力學模塊對不同網格數量的結構進行壓縮仿真的數值模擬。材料選用form系列中的標準樹脂，該材料的密度為1.16 g/cm3，彈性模量為1600 MPa，泊松比為0.4。結構的失效形式為應力應變失效，材料的最大主切應力分別為65 MPa和52 MPa，最大主切應變分別為0.04和0.06。邊界條件為模型底面固定支撐，上表面中間施加向下的1 mm的位移載荷，有限元計算結果如圖4所示。網格單元尺寸大于0.8 mm，數量少于10萬時仿真數值有明顯的波動，網格數量逐漸大于10萬時，計算結果趨于穩定，約為74 MPa。因此選取穩定后的第二個點作為結構的仿真結果，如圖5所示，即六面體網格尺寸為0.7 mm，網格數量為154 686，節點數量為692 465。當模型網格中應力與應變超過失效值時，形成裂紋。

2.2.2 計算結果

根據仿真結果，如圖6所示，隨著壓縮位移的增大，夾芯結構逐漸出現應力集中，應力集中主要出現在內腔壁的四個邊角以及筋板狀連接結構中，當最大主應力與應變到達極限時，裂紋出現并且貫穿整個內腔壁，如圖6d中局部放大圖所示。記錄仿真結果中各處的裂紋位置，作為后續設計封存修補液空腔結構的依據。

2.3 修補液容積估算

2.3.1 裂尖塑性區與張開位移

在結構失穩斷裂前，裂紋尖端存在一個塑性區，由于裂紋的存在，材料在該區域內的應力將會出現集中，這種應力集中作用導致材料在裂紋尖端周圍發生塑性變形［18］。塑性區的出現使裂尖的應力集中情況得到緩和，塑性區的大小與材料本身的特性有關。通常情況下，材料的塑性變形能力越大同時所受應力越大時裂尖塑性區也越大［19］，即便無塑性變形能力的脆性材料，其裂紋尖端也存在一定大小的塑性區。

裂尖張開位移是指一個理想裂紋受載時，其裂紋表面間的距離，而斷裂過程主要是由裂尖的塑性變形量控制的，裂尖張開位移可以作為塑性變形量的尺度［20］。當裂尖張開位移達到臨界值時，對于像光敏樹脂這樣的脆性材料，裂紋將迅速向前擴展直至貫穿，結構發生完全斷裂，如圖7所示。

2.3.2 估算原理及計算方法

由上述分析可知，結構出現裂紋后，在失穩斷裂前，裂端有相當大的塑性區，當裂紋頂端張開位移達到其臨界值時，裂紋將開啟裂擴展。如圖8所示，裂紋張開位移公式為

式中，δ為裂紋張開位移；u為y方向上的位移分量；KⅠ為裂尖的應力強度因子；G為剪切模量；ν為泊松比。

應力強度因子是斷裂力學中表征裂紋尖端應力應變場的重要參數，其應力強度因子越大，裂紋就越容易擴展［22］。

裂紋擴展時，裂紋尖端發生鈍化和張開，形成一個張開區，Irwin裂端塑性區間的尺寸r可按下式估計［23］：

式中，σs為材料屈服應力。

根據IRWIN［23］對裂端塑性區間的修正，真正裂紋長度被有效裂紋長度取代，此時原點移到有效裂紋的端點。將式（3）代入式（1），可得Irwin小范圍屈服修正下的裂紋張開位移：

式中，E為彈性模量。

根據上文對夾芯結構的壓縮斷裂失效分析，可確定結構各處裂紋的位置及方向。以結構中的裂紋p為例，從側面將二維裂紋看作三角形，則三維空間的裂紋可看作三棱柱，如圖9所示。當裂紋張開位移達到臨界值時，裂紋迅速貫穿，結構完全斷裂，此時的有效裂紋寬度可看作三角形的底邊長度x，內腔壁的厚度為三角形的高（4 mm），內腔壁長度作為三棱柱的高（40 mm），以此計算三棱柱的體積，并將其作為在結構完全斷裂時三維裂紋的最大體積，即所需填充的修補液容積。

以裂紋p為例，建立該裂紋的幾何模型如圖10a所示，該裂紋起點至終點連線的傾斜角度為135°。裂紋張開位移達到塑性區的臨界值時，此時的有效裂紋寬度為x。提取圖9中的兩個三角形進行公式推導，圖10b所示為三角形1和三角形2，三角形1的高為r，底為δ。三角形2的高由三段組成為r+a+b，底為x。其中

兩個三角形相似可得

將式（6）代入式（7）并進行變換可得

由此可知三角形底邊x與高度為4 mm，三棱柱高度為模型內腔壁長度，為40 mm，則該處三維裂紋的最大體積估算公式為

V=80x（9）

2.3.3 結構應力強度因子計算

針對所提出的夾芯結構板，利用有限元法計算結構的應力強度因子。根據2.2節分析得到的各個裂紋位置，依次在原結構對應位置處預制微裂紋。以圖9中裂紋p為例，該處微裂紋參數如圖11a所示，此時裂紋最大張開寬度為0.2 mm。在Workbench中建立該結構的有限元模型，并在裂紋處建立局部坐標系，然后對整體模型進行網格劃分，特別對裂紋處進行網格細化，分區數量設置為30，如圖11b所示。利用斷裂工具將裂紋設置為預網格裂紋，并且設置與2.2節中相同的邊界條件進行有限元分析計算。

由有限元計算結果可知，該處裂紋尖端在給定邊界條件下的應力強度因子KⅠ為29.4 MPa·mm12，將數值代入式（3）與式（4），計算得到裂尖張開位移δ與r，將δ與r再代入式（8）以及式（9），即可得到三維空間裂紋體積約為32.1 mm3。同理計算出各處的應力強度因子，并代入上述公式，估算出各處裂紋的三維空間體積，從而得到各處裂紋所需修補液容積。

2.4 修補液空腔結構設計

從對結構影響最小的角度出發，同時考慮到form打印機對無支撐結構的打印精度，本文將存儲修補液的內腔結構設計為能夠完成打印的最小尺寸，即直徑為2 mm的空心球體，球體體積為4.2 mm3。對于圖9中所示的結構裂紋p，已計算得出該裂紋的體積為32.1 mm3，因此，可確定該處放置球體的數量為8，將其均勻排布在整個內腔壁中，并沿結構寬度方向連續排列。為保證結構強度以及確保液態樹脂因重力作用自上而下流進裂紋，最終設計的空腔球體位置如圖12a所示，其位置經過裂紋且處于內腔壁正中間。

同理，計算出各處空心球體的數量，并設計對應空心球體的幾何位置，將其均勻分布在結構的內腔壁中，如圖12b、圖12c所示。

2.5 修補液空腔結構對夾芯結構板力學性能的影響

為分析設計的空腔結構對夾芯結構板力學性能的影響，分別對開設修補液空腔結構的夾芯板和原結構進行有限元力學性能的分析與對比，利用Workbench靜力學模塊建立兩結構的有限元模型。圖13a所示為原結構，六面體網格尺寸為0.7 mm，網格數量為154 686，節點數量為692 465。圖13b所示為開設修補液空腔結構，模型為四面體網格，尺寸為0.7 mm。其中包含了1 176 846個單元，1 669 224個節點。邊界條件為模型底面固定支撐，上表面中間施加向下的線位移載荷，采用增加子步數逐步施加載荷，自動載荷步長的加載方法。

計算結果如圖14a與圖14b所示，原結構與開設空腔的結構內腔壁的四個邊角處等效應力最大，分別為77.509 MPa和73.131MPa。由圖14c可知，設計的空心球體在結構中無明顯應力集中現象。同時由圖14d兩結構的載荷位移曲線可見，兩結構在初始的線彈性階段以及后續的塑性變形階段變化趨勢一致，差異性很小。由此可見開設的修補液空腔結構對原結構力學性能影響很小。

3 夾芯板結構自修復性的實現及修復性能檢驗

3.1 樣件制備

仿生夾芯板結構采用光固化成形技術制備而成，該技術是基于液態光敏樹脂的光聚合原理工作的。在液槽中盛滿液態光固化樹脂，這種液態材料在一定波長和強度的紫外光的照射下能迅速發生光聚合反應，分子量急劇增大，材料也從液態轉變成固態。利用form打印機制備所設計的自修復結構，制備時該打印機自上而下進行打印，成形面置于液態樹脂液面下方，而樹脂下方有激光通過偏振鏡掃描液態樹脂，掃描處的樹脂會進行固化，升降臺逐步上升，樣件逐步完成打印并從液態樹脂中出現，緩慢上升。打印過程中，控制成形面一直位于液面下2 mm處，確保在虹吸作用下將液態樹脂封存在空腔結構中。通過這種方法，制備出具有自修復性能的夾芯板結構如圖15所示，由局部放大圖可見，結構內布滿了球型修補液腔。

3.2 修復后力學性能測試

實驗采用微機控制電子萬能試驗機。實驗時，將無修補液空腔的結構試樣1放于試驗臺中間，壓頭以2 mm/min的速度向下壓縮，如圖16a所示。當結構兩側內腔壁完全斷裂失去承重能力時結束實驗，如圖16b所示，導出并保存載荷與位移數據，作為原結構的力學性能數據。

將具有自修復性能的結構試樣2置于試驗臺中間，實驗步驟同上。當壓頭不斷向下加載時，結構內腔壁出現裂紋，如圖17a所示，由局部放大圖可見，內腔壁外側有少量液態樹脂較為均勻地溢出，最邊緣的球形空腔到內腔壁外側的距離與球形空腔之間的距離相等，則相鄰球型空腔中的樹脂向左右兩側滲透時能夠完成交匯，而內腔壁內側的修補液在重力作用下流出，但并不均勻，球形空腔正下方的樹脂量較兩邊會多一些，最兩端邊角還會存在小部分樹脂觸及不到的區域。為避免裂紋進一步擴展，對試樣2進行卸載，利用波長為405 nm、功率為20 W的紫外光照射出現裂紋的結構試樣，如圖17b所示，等待30 min后，液態樹脂完全固化，修復完成。圖17c所示為自修復后的結構，由局部放大圖可見，裂紋被修復的外觀效果較為理想。

對修復后的試樣進行加載實驗，實驗過程如圖17d～圖17f所示，當兩側內腔壁完全斷裂、失去承壓能力時，實驗結束。同時，對實驗結束的樣件進行觀測，如圖18所示，從內腔壁斷裂處可見多個半球形的微型凹坑，以及沒有完全溢出而被固化的液態樹脂，證明了該工藝與結構設計的可行性。

制備具有自修復性能的結構試樣3和4，重復試樣2的實驗過程。實驗得到的載荷位移曲線如圖19所示，由圖可見，原結構的極限載荷為16 kN，當兩側內腔壁完全斷裂時，承載能力下降到12 kN。而修復后的結構試樣2、3和4在同樣的加載方式下，極限載荷分別可達到14.1 kN、13.2 kN和13.8 kN，取三次實驗結果均值為13.7 kN，約為原結構極限載荷的85.6％，當到達極限載荷后，兩側內腔壁完全斷裂，其承載能力分別降低到11.6 kN、11.2 kN和11.6 kN。由此可見，該結構的自我修復性能較為理想。

4 結論

（1）以仿甲蟲鞘翅夾芯板結構為研究對象，根據其斷裂位置和裂紋形態，提出一種新的裂紋三維空間體積估算方法，通過對裂紋尖端塑性區張開位移的計算公式進行變換，以及裂紋強度因子的計算，估算出結構中裂紋貫穿時的最大三維體積。

（2）設計了一種用于存儲修補液的空腔結構，通過光敏樹脂3D打印技術和光固化技術，實現了結構的自修復性能，并通過實驗證明，該結構在修復后抗壓性能恢復到原結構的85.6％，達到理想的修復效果。

參考文獻：

［1］ SUN J， LIU C， DU H， et al. Design of a Bionic Aviation Material Based on the Microstructure of Beetles Elytra［J］. International Journal of Heat and Mass Transfer， 2017， 114：62-72.

［2］ CAI Z， LI Z， DING Y， et al. Preparation and Impact Resistance Performance of Bionic Sandwich Structure Inspired from Beetle Forewing［J］. Composites Part B：Engineering， 2019， 161：490-501.

［3］ 楊志賢，戴振東，郭策.東方龍虱鞘翅：形態學及力學性能研究［J］.科學通報，2009，54（12）：1767-1772.

YANG Zhixian， DAI Zhendong，GUO Ce. Morphology and Mechanical Properties of Cybister Elytra［J］. Chinese Science Bulletin，2009，54（12）：1767-1772.

［4］ 周怡，郭策，朱春生，等.具有層狀纖維纏繞的仿甲蟲鞘翅輕質結構的設計及其力學性能分析［J］.中國機械工程，2011，22（16）：1969-1973.

ZHUO Yi， GUO Ce， ZHU Chunshen，et al. Study on Design and Mechanics Properties of Beetles Elytra-inspired Lightweight Structures with Filament Winding［J］. China Mechanical Engineering，2011，22（16）：1969-1973.

［5］ 楊雪勤，張驍驊.航空航天用復合材料的無損檢測和自修復研究進展［J］.紡織導報，2018（增刊1）：92-98.

YANG Xueqin， ZHANG Xiaohua. Progress in Non-destructive Testing and Self-healing of Composite Materials in the Aerospace Field［J］. China Textile Leader，2018（S1）：92-98.

［6］ AYELERU O O， OLUBAMBI P A. Concept of Self-healing in Polymeric Materials［J］. Materials Today：Proceedings， 2022， 62：S158-S162.

［7］ 張仲，呂曉仁，于鶴龍，等.智能自修復材料研究進展［J］.材料導報，2022，36（7）：241-248.

ZHANG Zhong， LYU Xiaoren， YU Helong，et al. Research Progress of Intelligent Self-healing Materials［J］.Materials Reports，2022，36（7）：241-248.

［8］ DAVAMI K， MOHSENIZADEH M， MITCHAM M， et al. Additively Manufactured Self-healing Structures with Embedded Healing Agent Reservoirs［J］. Scientific Reports， 2019， 9（1）：1-8.

［9］ HONE T， MYLO M， SPECK O，et al. Failure Mechanisms and Bending Strength of Fuchsia Magellanica var Gracilis Stems［J］.Journal of the Royal Society Interface， 2021，18（175）：20201023.

［10］ GUADAGNO L， RAIMONDO M， IANNUZZO G， et al. Self-healing Structures in Aerospace Applications［J］. AIP Conference Proceedings， International Conference on Times of Polymers （top） and Composites， 2010， 1255（1）：267-269.

［11］ LI Z， DE Souza L R， LITINA C， et al. A Novel Biomimetic Design of a 3D Vascular Structure for Self-healing in Cementitious Materials Using Murrays Law［J］. Materials & Design， 2020， 190：108572.

［12］ 沈令斌. 基于智能結構仿生自修復的多功能液芯光纖關鍵技術研究［D］.南京：南京航空航天大學，2017.

SHENG Lingbin. Key Techniques Research on Multi-functional Liquid-core Optical Fiber Based on Bionic Self-repairing of Intelligent Structures［D］.Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2017.

［13］ LI P， DU Y， LIU G， et al. Light Self-healing of Resin Matrix Composites Based on Pipe Network Carrier［J］. Materials Letters， 2021， 288：129330.

［14］ 馬玉秋，郭策，陳光明，等.仿生輕質高強韌夾芯結構設計及其韌性性能分析［J］.機械科學與技術，2022，41（5）：801-807.

MA Yuqiu， GUO Ce， CHEN Guangming， et al. Design and Toughness Analysis of Bionic Lightweight Sandwich Structure with High Strength and Toughness［J］. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2022，41（5）：801-807.

［15］ GUO Ce， SONG W， DAI Zhengdong. Structural Design Inspired by Beetle Elytra and Its Mechanical Properties［J］. Chinese Science Bulletin，2012，57（8）：941-947.

［16］ 李冬. 基于碳纖維仿甲蟲鞘翅結構的設計、制備及力學性能研究［D］. 南京：南京航空航天大學， 2013.

LI Dong. Design， Manufacture of Epoxy/CERP Lightweight Structure Inspired by Beetle Elytra and Its Mechanical Properties［D］.Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2013.

［17］ 付吉燦.智能自修復材料［J］.印刷質量與標準化，2014（5）：10-13.

FU Jican. Intelligent Self-healing Materials［J］. Printing Quality & Standardization， 2014（5）：10-13.

［18］ 李亞. 理想彈塑性材料有限寬裂紋板Dugdale模型塑性區及裂尖張開位移分析［D］.重慶：重慶交通大學，2021.

LI Ya. Analysis on the Crack Tip Plastic Zone and Opening Displacement of Finite-width Plate Based on Dugdale Model in an Elastic-perfectly Plastic Material［D］. Chongqing：Chongqing Jiaotong University， 2021.

［19］ GAO W， XIAO T， WANG X， et al. Theoretical Study on Extension of Crack Tip Plastic Zone by Remote Simple Tensile Considering Crack Interaction［J］. European Journal of Mechanics—A/Solids， 2019， 77：103814.

［20］ 劉宗慶.裂紋張開位移和斷裂準則［J］.鄭州輕工業學院學報，1991，6（4）：44-48.

LIU Zongqin. Crack Opening Displacement and Fracture Criteria［J］. Journal of Light Industry，1991，6（4）：44-48.

［21］ 李群，歐卓成，陳宜亨.高等斷裂力學［M］.北京：科學出版社，2017：28-30.

LI Qun， OU Zhuochen， CHEN Yiheng. Advanced Fracture Mechanics［M］.Beijing：Science Press，2017：28-30.

［22］ 王永亮.基于Workbench的表面裂紋應力強度因子的對比分析［J］.化工裝備技術，2021，42（2）：28-31.

WANG Yongliang. Comparative Analysis of Stress Intensity Factors of Surface Cracks Based on Workbench［J］. Chemical Equipment Technology， 2021，42（2）：28-31.

［23］ IRWIN G R. Analysis of Stresses and Strains Near the End of a Crack Traversing a Plate［J］. Journal of Applied Mechanics，1957， 24（3）：361-364.