對(duì)一道磁場(chǎng)綜合題的深入分析與點(diǎn)評(píng)

摘" 要：本文通過(guò)對(duì)一道浙江模擬考試磁場(chǎng)綜合題的深入分析，總結(jié)了磁場(chǎng)問(wèn)題的一些常見(jiàn)考法和解題技巧，以求提升學(xué)生對(duì)磁場(chǎng)問(wèn)題的理解能力、模型建構(gòu)能力、應(yīng)用物理方法技巧能力和綜合分析能力。

關(guān)鍵詞：磁場(chǎng)綜合題；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；正則動(dòng)量法；擺線(xiàn)；周期運(yùn)動(dòng)

浙江高考物理卷中，磁場(chǎng)綜合題是必考題。磁場(chǎng)綜合類(lèi)問(wèn)題可以很好地考查學(xué)生對(duì)物理問(wèn)題的分析能力與對(duì)物理方法、技巧、思想的綜合應(yīng)用能力。下面是一道浙江模擬考試磁場(chǎng)綜合題，該題突出綜合性、技巧性、創(chuàng)新性，是一道考查學(xué)生思維與能力的好題。

1" 原題與解析

例題" 如圖（a）所示，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy，在－l＜x＜l的Ⅰ區(qū)內(nèi)存在垂直紙面的磁場(chǎng)B1＝αx（α＞0），垂直紙面向外為正，在l≤x＜2l的Ⅱ區(qū)內(nèi)存在方向垂直紙面向外、大小為B2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。有一長(zhǎng)為3l的水平桿MN放在x軸上，桿上套有質(zhì)量均為m的光滑滑塊1和粗糙滑塊2，滑塊1帶電荷量為＋q，靜止在坐標(biāo)原點(diǎn)O，滑塊2帶電荷量為－q，靜止在x＝l處。現(xiàn)使桿沿y軸負(fù)方向以速率v0做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)給滑塊1一沿x軸正方向的瞬時(shí)沖量I，滑塊2恰好不沿桿運(yùn)動(dòng)。滑塊1、2會(huì)發(fā)生彈性碰撞，不計(jì)庫(kù)侖力且碰撞前后滑塊的電荷量不變。

圖（a）

（1）求滑塊2與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；（2）為保證滑塊1、2相碰，求瞬時(shí)沖量所需滿(mǎn)足的條件；（3）求碰后瞬間滑塊2沿桿速度v2及碰后滑塊1的運(yùn)動(dòng)情況；（4）已知桿對(duì)滑塊2的支持力始終沿y軸正方向，為了能使滑塊2在x＞2l的Ⅲ區(qū)做周期性運(yùn)動(dòng)，可在Ⅲ區(qū)加一垂直紙面向外、大小為B3B3＞mgq·

q2B22v0lm2g

＋v2且邊界與x軸平行的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，求該勻強(qiáng)磁場(chǎng)沿y軸方向的最小寬度h。

解析：（1）滑塊2恰好不沿桿運(yùn)動(dòng)，則水平方向受力平衡，可得

qv0B2＝μmg［1］，μ＝qv0B2mg。

（2）設(shè)滑塊1恰好與滑塊2相碰時(shí)，水平方向上滑塊1獲得的初速度為v1，在Ⅰ區(qū)受力為F＝－qv0αx＝－kx，滑塊1沿桿做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)［2］，與滑塊2相碰時(shí)，由動(dòng)能定理可知其滿(mǎn)足

∫l0－qv0αxdx＝0－12mv21，qv0α·12l2＝12mv21，由題意可知I≥mv1，解得

I≥mqv0αl2。

（3）設(shè)水平方向上滑塊1與滑塊2碰前速度為v10、碰后速度為v11，由能量守恒定律可得

12·I2m＝12qv0αl2＋12mv210，滑塊1、2發(fā)生彈性碰撞，則有

12mv210＋0＝12mv211＋12mv22，mv10＝mv11＋mv2，解得

v2＝I2m2－qv0αl2m，v11＝0，碰后滑塊1在桿上做沿桿的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)并隨桿一起向下做垂直于桿的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

（4）設(shè)滑塊2經(jīng)過(guò)N端時(shí)的水平速度為v3?；瑝K2在桿上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)其受力分析可得

qv0B2－μ（mg－qvxB2）＝mΔvxΔt，μqB2vxΔt＝mΔvx，等式兩側(cè)同時(shí)積分，得

μqB2l＝mΔv，q2B22v0lmg＝m

（v3－v2），

解得v3＝q2B22v0lm2g＋v2，滑塊2會(huì)在Ⅲ區(qū)做“擺線(xiàn)＋斜拋”運(yùn)動(dòng)，如圖（b）所示。

圖（b）" 周期運(yùn)動(dòng)

如圖（c）所示，用配速法可知，勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度為

vxc＝mgqB3＜v3，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為

R＝mqB3v20＋v3－mqqB32［3］，圖（c）" 圓周運(yùn)動(dòng)

故可得

h＝R－Rv3－mgqB3v20＋v3－mgqB32，其中v2、v3已求出。

本題第（1）問(wèn)考查了洛倫茲力與摩擦力的相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生基礎(chǔ)能力；第（2）問(wèn)考查了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，要求學(xué)生會(huì)判別簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，會(huì)用動(dòng)能定理求解變力做功、用動(dòng)量定理求初速度，本問(wèn)具有創(chuàng)新性和綜合性；第（3）問(wèn)考查了碰撞問(wèn)題，對(duì)滑塊1運(yùn)動(dòng)的討論具有迷惑性，綜合考查了學(xué)生應(yīng)用物理知識(shí)的能力；第（4）問(wèn)綜合考查學(xué)生運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用正則動(dòng)量的技巧，要求學(xué)生打破常規(guī)，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用物理知識(shí)的能力。下面對(duì)本題進(jìn)行更深入地分析。

2" 拓展分析

2.1" 判別簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及計(jì)算簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、速度

首先，根據(jù)定義，質(zhì)點(diǎn)的位置—時(shí)間圖像為正弦函數(shù)形式，即x＝Asin（ωt＋φ）形式，可判別質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其次，若質(zhì)點(diǎn)所受力的形式為F＝－kx，也可判別質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。本題中，滑塊1在Ⅰ區(qū)受力為F＝－qv0αx＝－kx，其中k＝qv0α，稱(chēng)為等效“勁度系數(shù)”，故滑塊1相對(duì)桿做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。最后，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)能量若可以寫(xiě)成E＝12mv2＋12kx2形式且為守恒量，也可以判別質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)以角速度ω做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為A（A即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅）。圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為Fn＝－mω2A。y軸方向分力為Fny＝－mω2Asinωt，y軸方向的分運(yùn)動(dòng)為y＝Asinωt，可得Fny＝－mω2y＝－ky。其中等效“勁度系數(shù)”k＝mω2?？汕蟪龊?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為

T＝2πω＝2πmk，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圓頻率ω（即勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度）為

ω＝km，現(xiàn)在計(jì)算滑塊1與滑塊2碰前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t?；瑝K1受到的力為F＝－qv0αx＝－kx，其中k＝qv0α，可得滑塊1做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圓頻率ω＝qv0αm。由于滑塊1相對(duì)桿做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，能量守恒，可得滑塊1的振幅A滿(mǎn)足12mIm2＝12kA2＝12qv0αA2。解得A＝I2mqv0α?；瑝K1做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的距離l，等效圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ＝arcsinlA，如圖2所示。故滑塊1與滑塊2碰前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t＝θω＝arcsinlAkm＝arcsinlI2mqv0αqv0αm。

計(jì)算簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在任意位置的速度，有三種方法。

方法 1" 由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量守恒（原題中滑塊 1 水平初速度為v1） 可得 12mv21＝12kx2＋12mv21x，可知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在任意位置的速度為 v1x＝v21－kmx2，本題中 v1＝Im，k＝qv0α，x＝l。代入

速度表達(dá)式可得v1l＝I2m2－qv0αml2。要使滑塊1、2能相碰， 則v1l＞0， 即I≥mqv0αl2。

方法2" 如圖2所示，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)在y軸方向的分運(yùn)動(dòng)，故任意時(shí)刻簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度v諧＝ωAcosωt，代入上文求得的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A和圓頻率ω，即可求出任意時(shí)刻簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度。

方法3" 滑塊1做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)， 可得運(yùn)動(dòng)方程為x＝Asinωt，速度方程為v＝Aωcosωt。代入上文求得的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A和圓頻率ω，即可求出任意時(shí)刻簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度。

碰后瞬間，滑塊1相對(duì)桿靜止，桿以速度v0做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，滑塊1受到x方向的洛倫茲力仍為F＝－qv0αx，則滑塊1在－llt;xlt;l區(qū)間相對(duì)桿做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為l，周期為T(mén)＝2πmqv0α。

運(yùn)動(dòng)方程為x＝lcos

qv0αmt，速度方程為v＝－lqv0αmsinqv0αmt。

2.2" 求解與速度成正比的動(dòng)力作用下的運(yùn)動(dòng)

碰后滑塊2沿桿運(yùn)動(dòng)，受到的合外力為F2＝μqB2v，v為滑塊2沿桿方向上的速度?；瑝K2在與速度成正比的動(dòng)力作用下運(yùn)動(dòng)，使用微元法和動(dòng)量定理（正則動(dòng)量法），可以計(jì)算出滑塊2離開(kāi)桿時(shí)的水平速度v3。得到滑塊2 在桿上運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置—速度（水平方向） 關(guān)系為v＝q2B22v0m2g（x－l）＋v2。根據(jù)v＝dxdt可得dxdt＝q2B22v0m2g（x－l）＋v2，分離變量后兩邊積分可得

∫x

l dxq2B22v0（x－l）＋v2m2g＝∫t

0 1m2gdt，可得滑塊2在桿上運(yùn)動(dòng)的位置—時(shí)間關(guān)系為

x＝m2gq2B22v0v2

eq2B22v0tm2g

－m2gq2B22v0v2＋l。

還可以用另一種方法求解滑塊 2 的運(yùn)動(dòng)?；瑝K 2 在桿上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的合外力為 F＝μqvB2＝q2B22v0mgv＝γv，其為與速度成正比的動(dòng)力。其中 γ＝q2B22v0mg，v為滑塊2沿桿方向的速度。 由牛頓第二定律可得md2xdt2＝mdvdt＝γv， 分離變量并積分可得 ∫vv2 dvv＝∫t0 γmdt，解得滑塊2的速度—時(shí)間關(guān)系為

v＝v2eγmt，由v＝dxdt，再對(duì)上式積分，可得滑塊2的位置—時(shí)間關(guān)系為

x＝mγv2eγmt－mγv2＋l，

消去中間參數(shù)t可得位置—速度關(guān)系為

v＝γm（x－l）＋v2

所得結(jié)果與正則動(dòng)量法得到的結(jié)果一致。

2.3" 受與速度成正比的阻力作用下的運(yùn)動(dòng)情況

若質(zhì)點(diǎn)受到與速度成正比的阻力F＝－γv作用，其中γ為恒定的比例系數(shù)，其運(yùn)動(dòng)情況又如何？

方法一" 由正則動(dòng)量法可得 （－γvΔt）＝m（vt－v0），vt為質(zhì)點(diǎn)t時(shí)刻速度，v0為質(zhì)點(diǎn)初速度，故質(zhì)點(diǎn)速度—位移關(guān)系為 vt＝v0－γmx，質(zhì)點(diǎn)做減速運(yùn)動(dòng)。速度與位移成線(xiàn)性關(guān)系的運(yùn)動(dòng)，和受到與速度成正比的動(dòng)力F＝γv作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相似，不同之處為一個(gè)是減速運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是加速運(yùn)動(dòng)。由v＝dxdt，對(duì)上式積分可得質(zhì)點(diǎn)的位移—時(shí)間關(guān)系為 x＝mγv0－mγv0e－γmt，質(zhì)點(diǎn)的速度—時(shí)間關(guān)系為 v＝v0e－γmt，質(zhì)點(diǎn)的位移、速度隨時(shí)間按e指數(shù)規(guī)律變化。

方法二" 上面的結(jié)果可通過(guò)牛頓第二定律md2xdt2＝mdvdt＝－γv積分得到，這里不再重復(fù)。

方法三" 質(zhì)點(diǎn)只受F＝γv或F＝－γv形式的力的作用下，運(yùn)動(dòng)規(guī)律相似，只需將2.2中的“γ”替換為“－γ”即可。

2.4" 洛倫茲力對(duì)兩滑塊是否做功

滑塊1在洛倫茲力

F＝－qv0αx作用下相對(duì)桿做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力對(duì)其做功嗎？ 以碰后做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的滑塊1為例。滑塊的運(yùn)動(dòng)方程已經(jīng)在2.1中求出， 即x＝lcosqv0αm t，其在沿桿方向上的速度—時(shí)間關(guān)系為vx＝－lqv0αmsinqv0αmt?；瑝K在桿上做沿桿的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)并隨桿一起向下做垂直于桿的勻速運(yùn)動(dòng)。滑塊受到的洛倫茲力可以分解為兩個(gè)分力，其一為F1＝－qv0αx，方向水平；其二大小為F2＝q｜vx｜αx，方向豎直。滑塊在 T4時(shí)間內(nèi)從x＝l運(yùn)動(dòng)到x＝0，應(yīng)用微元法可計(jì)算出此過(guò)程中水平方向洛倫茲力分力做功為

W1＝0x＝lF1Δx＝xx＝l－qv0αxΔx＝12qv0αl2，豎直方向上洛倫茲力分力做功為

W2＝－v0ty＝0q｜vx｜αx·｜Δy｜

＝－T4t＝0qα·lqv0αmsinqv0αmt·lcosqv0αmt·v0Δt

＝－T4t＝0qαl2v0sinqv0αm t·Δsinqv0αm t

＝－12qαl2v0，T4時(shí)間內(nèi)滑塊從x＝l運(yùn)動(dòng)到x＝0，此過(guò)程中水平方向上的洛倫茲力分力提供滑塊沿桿方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力，對(duì)滑塊做正功，豎直方向上的洛倫茲力分力對(duì)滑塊做負(fù)功，但洛倫茲力做的總功 （W＝W1＋W2）為零。也就是說(shuō)，在滑塊1的實(shí)際運(yùn)動(dòng)中，洛倫茲力的一個(gè)分力做正功，則另一個(gè)分力做負(fù)功，洛倫茲力做的總功始終為零。同理，洛倫茲力的兩個(gè)分力分別對(duì)滑塊2做正功和負(fù)功，洛倫茲力做的總功也為零。

2.5" 若題中B3＞0，滑塊2在Ⅲ區(qū)將做怎樣的運(yùn)動(dòng)

由配速法可知，若滑塊2在豎直方向上的洛倫茲力剛好與重力抵消，則水平臨界速度為vxc＝mgqB3。下面分情況討論滑塊2的運(yùn)動(dòng)。

若vxc＝v3，則滑塊2在Ⅲ區(qū)的運(yùn)動(dòng)為速度為v3（vxc）的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和速率為v0的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，如圖3所示?；瑝K2在Ⅲ區(qū)運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為

x＝v3t＋mv0qB31－cosqB3mt，0＜t＜πmqB3，

y＝－mv0qB3sinqB3mt。

若vxcgt;v3，滑塊的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是速度為vxc的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是速率為v合＝v20＋（vxc－v3）2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)軌跡為擺線(xiàn)，如圖4所示。

若vxc＜v3，滑塊的一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是速度為vxc的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是速率為v合＝v20＋（v3－vxc）2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)軌跡為擺線(xiàn)，如圖5所示。

3" 總結(jié)

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是近年高考物理的熱點(diǎn)知識(shí)，筆者通過(guò)該題介紹簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的判別方法與分析技巧，用中學(xué)知識(shí)推導(dǎo)了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，展示了計(jì)算簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)間、速度的方法，使學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有一個(gè)全面的了解。同時(shí)，筆者對(duì)洛倫茲力做功的討論，可加深學(xué)生對(duì)洛倫茲力的理解，即洛倫茲力永不做功，但洛倫茲力的分力可以做功。筆者認(rèn)為該題通過(guò)直桿和滑塊在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情境，考查了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、碰撞、正則動(dòng)量法、洛倫茲力做功、擺線(xiàn)、斜拋、運(yùn)動(dòng)的合成與分解等知識(shí)，突出了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新型的特點(diǎn)，體現(xiàn)了物理核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的新高考命題方向，是一道涵蓋了知識(shí)、方法與技巧的磁場(chǎng)綜合題。

參考文獻(xiàn)

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［2］人民教育出版社 課程教材研究所 物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書(shū) 物理 選擇性必修 第一冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2024：44.