Boubaker多項式配置法求解混合線性積分方程

楊謹僮

(西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充 637002)

積分方程根據核函數的不同分為兩大類:Volterra型和Fredholm型。在本文中討論的是一類混合型積分,即在積分方程中包含Volterra型和Fredholm型?；旌戏e分方程的出現來源于數學模型的建立。Kermack和McKendrick等為傳染病在封閉人群中傳播的時間演變提出了數學模型[1]。Thieme[2]為流行病的空間傳播建立了由非線性積分方程組成的數學模型。

隨著時代發展,積分方程在生物學、力學[3-10]等領域中也得到了廣泛的應用。種群預測模型、生物種群生態學模型和神經脈沖傳播模型也可以用積分方程表示。本文考慮了一維的線性混合積分方程,其形式如下[11]:

(1)

(2)

其中:u(x),u(h(x))是未知函數;f(x),g(x),h(x),k1(x,t),k2(x,t),k2(x,h(t))是已知函數;a,b,λ1,λ2都是常數。f:[a,b]→R,h:[a,b]→[a,∞],ki:[a,b]×[a,b]→R(i=1,2)。

很多研究者用配置法求解Volterra型積分方程和Fredholm型積分方程以及奇異積分方程的近似解。由于配置法應用范圍廣泛,因此也可以用于求解混合型積分方程的近似解。近年來,許多不同的函數[12-15]被用來估計積分方程的解,如2005年Yousefi等[12]人提出的勒讓德小波。2011年Ezzati等[13]人提出了切比雪夫函數。2014年Mustafa等[14]人提出的拉格朗日多項式、重心的拉格朗日多項式以及修正的拉格朗日多項式三種不同的函數形式;同年,Mashayekhi等[15]人提出了伯努利多項式。根據結構的不同,形成了不同的配置法。除此之外,還有迭代法[16-17]、逼近法[18-19]、分解法[1,20-21]等多種方法求解混合型積分方程。本文提出了基于Boubaker多項式的配置方法來求解形如公式(1)和公式(2)的Volterra-Fredholme積分方程,并進行了收斂性分析。Boubaker多項式配置法的主要特點是借助Boubaker多項式將積分方程轉化為代數方程組求解。

1 Boubacker多項式

給出標準的布貝克多項式的三項遞歸關系[2]:

B0(x)=1
B1(x)=x
B2(x)=x2+2
Bn(x)=xBn-1(x)-Bn-2(x)n≥3

(3)

其中,n是非負整數。

2 Boubaker多項式配置法

通過Boubaker多項式配置法求解混合線性積分方程的近似解,對

(4)

(5)

其中,Bi(x)和Bi(h(x))是由公式(3)定義的Boubaker多項式,bi(i=0,…,k)是未知的系數。

將公式(4)和公式(5)代入積分公式(1)和公式(2)中得:

(6)

(7)

(8)

(9)

令

將公式(8)和公式(9)用矩陣的形式表示:

AB=F

(10)

CB=G

(11)

其中,矩陣A,B,C,G,F的定義如下:

A=(aij)k×k,B=(b1,b2,…,bk)T,C=(cij)k×k,G=(g(x1),g(x2),…,g(xk))T,F=(f(x1),f(x2),…,f(xk))T

求解線性代數方程,得到系數b1,b2,…,bk從而得到公式(1)和公式(2)的近似解。

3 算例

3.1 算例1

求解形如公式(1)的混合線性積分方程[7]

的近似解,f(x)=h2(x)-4ex+ex+1+ex-h2(h2(x)+2h(x)+2),k1(x,t)=ex-t,k2(x,t)=ex+t,λ1=1,λ2=-1,h(x)=x2,a=0,b=1。算例1中Boubaker多項式配置法與其他方法誤差對比如表1所示。通過表1的結果可以看出,本文提出的Boubaker多項式配置法中,隨著n增大,所得到的近似解與精確解之間的誤差逐漸縮小,但是當n取2時,與其他方法相比,該效果較差;隨著n增大,其他的兩種方法求得的誤差幾乎沒有變化,甚至當n取4時,拉格朗日多項式配置法得到近似解與精確解之間的誤差反而增大了。

表1 算例1中Boubaker多項式配置法與其他方法誤差對比

3.2 算例2

求解形如公式(2)的混合線性積分方程

的近似解,其中g(x)=e-x-ex(h(x)-1)跟,k1(x,t)=ex+t,k2(x,t)=ex+h(t),λ1=1,λ2=-1,a=0,b=1。算例2中Boubaker多項式配置法與其他方法誤差對比如表2所示。通過表2的結果可以看出,隨著n增大,三種方法所得到的近似解與精確解之間的誤差都在逐漸縮小。當n取2時,與其他方法相比,Boubaker多項式配置法效果一般,當n取8時,其效果也比其他兩種方法好。

表2 算例2中Boubaker多項式配置法與其他方法誤差對比

4 結論

本文提出了求解一維混合線性積分方程的Boubaker多項式配置方法。通過算例誤差分析驗證了該方法的可行性和有效性。結合算例1和算例2的誤差分析,表明該方法效果較好。