求解量子控制問題的一種直接離散方法

梅自艷,王漢權

(1.云南財經大學 統計與數學學院,云南 昆明 650221;2.云南大學滇池學院,云南 昆明 650504)

量子力學中的薛定諤方程描述了量子系統的運動.隨著量子信息技術和量子計算的不斷發展,為滿足對復雜量子系統進行操縱和控制的要求,這就需要從控制論的角度對微觀量子系統的行為進行建模、分析和主動控制,于是量子控制論應運而生.量子控制的研究始于20世紀70年代末,是量子力學和控制理論交叉的結果,目標是建立對量子系統進行控制的普遍理論和方法.隨著量子力學的發展,量子控制模型也相應發生改變[1].

Bennett 等先提出一種新的通信和計算量子理論,其中傳輸或處理的不是經典信息,而是量子態的任意疊加[2].隨后,Doherty等指出魯棒控制理論中的分析和綜合技術的應用將發揮重要作用,且在量子計算等新興量子技術的發展中發揮著重要作用[3].針對量子通信和量子計算等量子信息學的發展趨勢,陳宗海等對量子控制系統全面地介紹了量子控制實驗研究現狀并進行了相關研究展望,并闡述了一些新的研究思路[4-5].對于在開環量子控制領域,Dong等綜述了量子系統可控性的概念,提出了幾種控制設計策略,包括最優控制、基于 Lyapunov方法、變結構控制和量子非相干控制;在閉環量子控制領域,該文回顧了閉環學習控制以及與量子反饋控制相關的幾個重要問題,包括量子濾波、反饋穩定、線性二次高斯控制和魯棒量子控制[6].本文主要考慮量子控制問題中的一種特殊但又相對重要的情況：如何最優地把激發態解操控至基態解.針對此問題,文中提出一種直接方法：通過離散方法,把量子控制泛函極小值約束問題轉化為普通的優化問題進行求解.

前期,對量子最優控制的問題已經開展了較多的研究.Rabitz 等對量子系統最優控制問題解的存在性、數學近似處理方法和最優控制的應用等進行了詳細的論述[7].近年來,D’Alessandro等在量子最優控制方面做了大量工作,并通過李群分解的分析方法給出了一些控制場能量最優的量子控制結果[8].Wu等總結了時間最優時量子控制的一般特征,并給出了一些特殊情況下的最優極值的結構[9].Petersson等研究了在封閉量子系統中實現邏輯門的最優控制問題[10].Boscain等綜述了各種量子控制問題,并描述了適合于最優控制的數學公式,詳細介紹了不同低維量子系統的最優解,說明了數學工具是在實際中如何應用的[11].薛拾貝等對量子系統時間最優控制問題進行了描述,并提出一類同倫算法[12].Dong 概述了量子系統最優控制的基于梯度的學習、量子系統學習控制的進化計算、基于學習的量子魯棒控制和量子控制的強化學習等方面[13].近年來提出許多求解約束條件為Gross-Pitaevskii 方程(GPE)的數值方法,如有限元法[14]、有限差分法[15]、無網格法[16]和時間分裂偽譜法[17]等.對于GPE方程的離散方法,相關學者也介紹了一些相應的方法,比如Chebyshev譜方法[18],有限差分法[19].通過這些方法把方程進行離散,能更好的進行數值求解.對于求解控制問題所需的優化方法,常見的有最速下降法、牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法等等[20].

針對如何最優地把激發態解操控至基態解這一特殊量子控制問題,本文提出一種直接離散方法：先把連續性泛函及約束條件離散,使原控制問題變為普通的優化問題,然后采用普通的優化方法求解.重點討論如何對量子控制問題進行直接離散,如何把量子最優控制問題轉化為普通的優化問題,探討該數值方法的特點.本文的結構安排如下：第2節中將對量子控制方程的模型及解滿足的Euler-Lagrange(EL) 方程進行介紹及求解.第3節主要對連續性泛函及約束條件的直接離散方法進行詳細的推導.第4節將根據推導的結果進行數值試驗,并對結果進行分析,驗證這一直接方法在求解量子控制問題上的高效性.第5節將對本文內容進行小結及展望.

1 一種量子控制問題模型及EL方程

本節主要介紹把激發態解操控至基態解的一種量子控制問題模型,并運用相關變分法理論找出對該模型解滿足的EL方程.

1.1 一種量子控制問題模型

近年來,不少學者對量子控制問題進行了研究,其中Ulrich Hohenester等在量子控制理論中尋找控制參數λ(t)的時間變化,討論了如何最優地把激發態解操控至基態解這一特殊量子控制問題,并提出如下量子控制問題的模型[21]：

(1)

1.2 量子控制問題(1)滿足的EL方程

(2)

因ψ和p是復數,所以將之改寫

(3)

這里,

(4)

為求出泛函(3)的變分導數(或微分),先引入一般線性空間中的泛函導數的定義[24]：

設X是線性空間,Y是賦范空間,給定T：X→Y,?x∈X,T(x)∈Y,定義在定義域D?X,值域R?Y.

定義：設x∈D?X,且在X中取一個h,若極限

(5)

存在,則其被稱為T在X處增量為h的Gateaux微分.如果?h∈X極限(5)都存在,那么變換T在x處是Gateaux可微的.

推論：若泛函T(x)∈,x∈X,T的Gateaux微分存在,則

(6)

對泛函(3),利用變分原理[19]及上面的泛函導數的定義(6),有

其中,

(7)

故

(8)

(9)

其中,

(10)

故

(11)

同理,

(12)

對方程(12),假設p是一個連續的函數,考慮在很短的時間Δτ對其兩邊關于T進行積分

(13)

取Δτ趨近于0的極限,通過p的連續性,方程(13)的左邊會趨近于0,右邊的前3項也會趨近于0.但是,t中的δ函數在這個極限下產生了最終的時間條件：

(14)

(15)

故

(16)

對任意的h(t),有

(17)

(18)

(19)

(20)

前人在設計數值方法時,通常基于EL方程(18)-(20)來找量子控制原問題(1)的解.本文不采用此方法,下一節介紹了一種直接離散方法.

2 量子控制問題的直接離散

2.1 離散方法

(21)

(22)

在點(xj,tn)上進行直接離散,時間t方向采用最簡顯格式(或向前Euler法),空間x方向采用二階中心差分,即

(23)

(24)

(25)

2.2 求解過程

基于上節內容,得到求一維量子控制問題(1)的具體過程為：

(3)計算xj=a+jh(j=0,1,2,…,M),以及tn=nΔt(n=0,1,2,…,N).

(4) 初始條件和邊界條件的離散形式為(25).

(5) 方程(22)的離散形式為(24),泛函J(ψ,λ)的離散形式為(21).

(7)利用fminunc得到函數ψ(x,t)在節點(xj,tn)處的近似值及λ(t)在點和tn處的近似值,輸出結果.

3 數值結果分析

首先考慮κ=10,x0=1時,對γ取不同的值,對不同的v(x,λ(t))進行結果分析：

從圖1-3可知,無論勢函數v(x,λ(t))為哪一種形式,隨著γ的減小T時刻得到的ψ(x,T)的值均與期望的ψd越來越接近,說明此方法在求解量子控制問題上具有一定的高效性.

再考慮γ=0.01,x0=1時,考察κ取不同的值的影響,并針對不同的v(x,λ(t))進行結果分析：

(a)λ(t)的結果 (b)ψ(x,T)的結果圖1 當時,取不同γ時得到的數值結果

(a)λ(t)的結果 (b)ψ(x,T)的結果圖2 當時,取不同γ時得到的數值結果

(a)λ(t)的結果 (b)ψ(x,T)的結果圖3 當時,取不同γ時得到的數值結果

(a)λ(t)的結果 (b)ψ(x,T)的結果圖4 當時,取不同κ時得到的數值結果

(a)λ(t)的結果 (b)ψ(x,T)的結果圖5 當時,取不同κ時得到的數值結果

(a)λ(t)的結果 (b)ψ(x,T)的結果圖6 當時,取不同κ時得到的數值結果

4 小結與展望

在本文中,理論上我們用相關變分法理論推出量子控制問題滿足的Euler-Lagrange方程.數值上主要考慮了一維量子控制問題中一種特殊而又相對重要的情況：如何最優地把激發態解操控至基態解.針對此問題,提出一種直接離散方法：先把連續性泛函及約束條件離散,使量子控制泛函極小值約束問題轉化為普通的優化問題,然后采用普通的優化方法求解.重點討論對一維量子控制問題進行直接離散,把量子最優控制問題轉化為普通的優化問題,在求解過程中,大大簡化了計算量.基于γ和κ的值的變化,運用MATLAB 編寫程序將其所得的數值結果與期望結果進行比較,驗證了這一直接離散方法在求解此類問題模型具有一定的高效性.

針對本文所考慮的問題模型,仍有很多方面值得我們做進一步研究：還可以考慮高維問題的直接離散,泛函及約束條件的直接離散還可以考慮高階高效的數值方法時間分裂譜方法等.相信未來,這一直接離散方法可以在更一般的控制模型問題中得到更加廣泛的應用.