低載波比牽引系統的感應電機特征根離散化模型研究

張欽培 李 健 盧 陽 吳凌豪 楊 凱 孫佳偉

低載波比牽引系統的感應電機特征根離散化模型研究

張欽培1李 健1盧 陽1吳凌豪2楊 凱1孫佳偉3

（1. 強電磁工程與新技術國家重點實驗室（華中科技大學電氣與電子工程學院） 武漢 430074 2. 華中科技大學電氣與電子工程學院新型電機與特種電磁裝備教育部工程研究中心 武漢 430074 3. 中車大連電力牽引研發中心有限公司 大連 116052）

在大功率和高速電機驅動領域，電機控制系統將運行于低載波比工況。傳統的一階歐拉、二階雙線性等降階離散化模型在低載波比下由于離散化誤差過大，對應的狀態觀測將出現幅值和相位的穩態誤差，嚴重時甚至出現發散不收斂現象。針對上述問題，該文提出了感應電機特征根離散化模型。通過構建感應電機的復矢量模型狀態空間方程，將滿秩的狀態轉移矩陣進行對角化，得到狀態轉移矩陣的精確離散化結果，該模型在低載波比時仍具有較高的離散化精度。同時，提出了一種基于伯德圖的離散化誤差定量分析方法，通過定量對比不同離散化模型和連續域模型之間觀測變量的幅值和相位誤差，從理論上證明了提出方法的優越性。最后，通過仿真和實驗驗證了上述感應電機特征根離散化模型在低載波比下均具有良好的穩態精度與暫態跟隨性能。

感應電機 離散化模型 傳遞函數 伯德圖 低載波比

0 引言

在電機驅動系統中，電機離散模型的精度在狀態觀測器設計、無位置/無速度傳感器算法、電流控制器設計等方面均具有重要意義。離散模型的準確度依賴于電磁關系的建模、參數的準確度、離散化誤差的大小等幾個重要方面。其中，參數的離線測量和在線辨識已有國內外學者對其進行了大量的研究工作，且目前仍在繼續深入[1-5]。而在離散化方面，隨著高速電機、大功率牽引電機的研究持續深入，離散化誤差對控制系統的影響被越來越多學者所關注[6-8]。

在大功率牽引電機驅動系統中，當電機進入中高速區域時控制系統的開關頻率與電頻率的比值（“載波比”）將逐漸下降，隨著高性能同步調制策略的應用，載波比將低至3，最后甚至進入方波工況。在低載波比工況下，傳統降階的離散化模型由于離散化誤差過大，無法適用于低載波工況的控制系統[9]。文獻[10]從狀態矩陣的角度分析了一階歐拉、二階雙線性變換的離散化誤差，但未在低載波比工況下進行分析。文獻[11]提出變坐標系的離散化方法，將定子方程在靜止坐標系下離散化，轉子方程在轉子旋轉坐標系下離散化，大大降低了離散化誤差，然而在極低載波比下仍然無法滿足高性能要求。文獻[12]對比了一階歐拉、二階龍格庫塔法、雙線性變換離散化方法對無速度傳感器算法的影響，分析了弱磁區域的無速度觀測器穩態精度及動態性能。文獻[13]研究了一種基于電流源的永磁同步電機預測轉矩控制，但僅采用一階歐拉離散化方法，沒有在低載波比情況下研究其離散化誤差。文獻[14-15]提出在連續域下采用復數域模型進行電流控制器設計，該方法未考慮離散化誤差的影響，在載波比較低時性能較差。因此，文獻[16]提出直接在離散域下進行建模，提升了高速下的解耦性能，然而受限于模型精度的影響，極低載波比下的性能提升依舊困難。文獻[17-18]研究了低載波比下永磁同步電機離散模型的近似誤差，文獻[8, 19]在此基礎上研究了考慮轉子位置補償的離散模型，該模型對預測電流控制器性能有顯著改善。文獻[20]分析了感應電機混合型磁鏈觀測器在離散域內的實現問題，通過考慮轉子偏轉角，提出了改進的數字實現方案。文獻[21]提出了一種基于狀態空間拆分重組的離散化方法，將狀態矩陣拆分成動態系數矩陣和常量系數矩陣，僅對動態系數矩陣進行離散化，該方法在2 kHz的離散化頻率下具有較高的精度，但并沒有在更低的離散化頻率下驗證其離散化精度。文獻[22]以定子電流和轉子磁鏈作為狀態變量構建感應電機的狀態空間方程，實現了對狀態轉移矩陣的精確離散化，但是缺少在極低載波比工況下開展定量的離散化誤差分析。

本文以感應電機為例，研究了連續域下感應電機的傳遞函數和極點分布軌跡，推導了零階保持離散化數學模型，分析了傳統包括二階雙線性變換在內的降階離散化模型在低載波比工況下的局限性，提出了特征根離散化模型，該模型在低載波比下仍具有良好的穩態精度和暫態跟隨性能。同時，提出了基于伯德圖的離散化誤差定量分析方法，通過推導不同離散模型的磁鏈觀測域傳遞函數，繪制其伯德圖，以連續模型的伯德圖為評判標準，對比了傳統的離散化模型和提出的特征根離散化模型在磁鏈觀測幅值和相位上的誤差大小。最后，仿真和實驗驗證了所提出方法的有效性。

1 感應電機模型分析

其中

式（1）和式（2）分別為描述定子電流和轉子磁鏈變化模態的復數微分方程，可將該系統看作一個單輸入、雙輸出，定轉子間具有強耦合特性的二階系統。

其中

繪制由式（3）和式（4）化簡后的系統頻率響應在空載和滿載時的伯德圖，能更直觀地分析輸入輸出變量的穩態特性。感應電機連續域傳遞函數的伯德圖如圖1所示，電機系統是一個幅值衰減劇烈，相位滯后嚴重的系統。以連續系統的伯德圖為基準能精確地定量對比不同離散化模型對系統描述精度的影響，后文將以此為手段進行離散化誤差的相關分析。

（a）s/s伯德圖

（b）r/s伯德圖

圖1 感應電機連續域傳遞函數的伯德圖

Fig.1 The Bode plot of induction machine in continous domain

2 傳統離散化模型與局限性分析

傳統的離散化方法可以分為基于數值積分的降階離散化方法（也叫近似法）和輸入響應不變的離散化方法兩類?；跀抵捣e分的降階離散化是將與的無理關系近似地化為有理關系，即

式中，s為離散化頻率。常用的近似法包括一階前向歐拉、后向歐拉、雙線性變換法、二階龍格庫塔法等。其中，一階前向歐拉模型具有實現簡單、計算量小的優點，而雙線性變換在以上降階的離散化方法中具有最小的離散化誤差，本文以此兩種典型離散化模型為參考，在后文分析其在低載波比下的局限性。基于數值積分的離散化方法等效于對狀態量在一拍范圍內的變化進行線性近似，變化的斜率示意圖如圖2所示。狀態變量在t-1～t之間的變化斜率在一階前向歐拉模型中為1，該斜率只與t-1時刻的狀態量和輸入電壓有關。對后向歐拉和雙線性變化，斜率則分別為2和(1+2)/2。具體而言，一階前向歐拉離散模型fir()和雙線性變換離散模型secd()分別為

式中，()為連續域下定子電壓到轉子磁鏈的傳遞函數r/s，如式（4）所示。當控制系統處于低載波比工況時，由于忽略了高階項的影響，基于數值積分的降階離散化方法會出現明顯的離散化誤差，對應的狀態觀測將出現幅值和相位的穩態誤差。

圖2 降階離散模型狀態變量變化斜率示意圖

輸入響應不變的離散化方法具有離散化前后連續系統和離散系統對輸入信號的響應不變這一特性，通?？煞譃樽儞Q（沖擊響應不變離散化）、零階保持離散化（階躍響應不變離散化）和一階保持離散化（脈沖響應不變離散化）三種。考慮到實際的電壓指令由電壓型逆變器基于一個開關周期內的伏秒平衡等效作用于電機系統；而零階保持離散化方法假定輸入量在一拍內維持恒定，和實際電壓的作用方式一致，能保證在采樣處連續系統和離散系統的狀態變量盡可能一致。因此，本文也將零階保持離散化方法作為參考，感應電機的零階保持離散化模型zoh()為

式中，[ ]為變換。

3 感應電機的特征根離散化模型

感應電機通過氣隙磁場切割轉子，在轉子內感應出電流，從而產生電磁轉矩。轉差頻率在暫態時為時變量，因此嚴格意義上傳遞函數無法準確描述這一時變系統。

為更準確地描述系統的暫態特性，采取狀態空間描述的方式對系統進行建模[11]，有

其中

假定電氣時間常數遠小于機械時間常數，r為定值，則狀態方程式（9）為線性定常系統。在靜止坐標系下，由線性控制理論，狀態變量()的精確解為

其中，在兩相靜止ab參考坐標系下有

其中

圖3 感應電機在靜止坐標系和轉子旋轉參考系下的極點分布軌跡

其中

為了獲得完全離散化的感應電機數學模型，需對離散狀態方程中的系統矩陣和輸入矩陣精確求解，有

該方程本質是對系統矩陣的精確求解。系統矩陣的定義如式（11）所示，是關于轉子速度的非線性矩陣函數，傳統降階近似計算不可避免引入近似誤差，且隨著轉速升高而不斷增加，而通過定義式完全求解該系統矩陣十分困難。

其中

將上述中間參數代入式（21），可得狀態矩陣指數和輸入矩陣的精確解分別為

其中

因此，結合式（15）～式（18）、式（22）和式（23）最終獲得感應電機特征根離散化數學模型為

4 基于伯德圖的離散化精度分析方法

以Frobenius范數來表征矩陣數字特征，通過狀態矩陣指數的近似程度進行定量分析[21]，傳統的離散化誤差分析方法為

以圖1為參考標準，通過傳統離散模型的域傳遞函數式（6）和式（7），零階保持離散模型的傳遞函數式（8）和特征根離散模型的域傳遞函數式（25）。在滿載和空載時，分別繪出離散化頻率為1 kHz時的伯德圖，如圖4和圖5所示。

圖4 1 kHz離散化頻率下滿載時不同離散化模型的伯德圖對比

在圖4和圖5中，隨著電頻率的上升，不同離散化模型的誤差在滿載與空載的情況下，表現出相同的變化規律。隨著轉速的上升，傳統一階離散化模型與二階離散化模型在幅值和相位曲線和連續系統相比均出現較大的偏差，且隨著頻率增加逐漸惡化，同樣無法適用于低載波比的場合，而提出的特征根離散化模型仍然和連續系統模型高度吻合，離散化誤差較小。

5 仿真結果

基于Matlab/Simulink對本文的研究內容進行了仿真驗證，仿真和實驗所用感應電機參數見表1，逆變器允許的最大開關頻率為500 Hz，采用非對稱采樣模式，故采樣頻率為1 kHz，所有觀測器及控制算法均在PWM中斷中進行。

圖5 1 kHz離散化頻率下空載時不同離散化模型的伯德圖對比

表1 2.2 kW感應電機參數

Tab.1 The parameters of 2.2 kW induction machine

圖6為電機升速過程中一階歐拉離散化模型的觀測波形。圖中，a為a相電流，Dqe為轉子磁場角度誤差，e為電頻率，在所有仿真結果中均表示此含義。在中高速時電流觀測出現發散不收斂趨勢。隨著轉速的上升，觀測的轉子磁場角度和真實角度的偏差越來越大。

圖7為不同離散模型觀測的轉子磁場角度和真實轉子磁場角度的誤差對比波形，在載波比為5時，二階雙線性離散化模型轉子磁場角度和真實值偏差高達20°，而零階保持離散化和特征根離散化模型觀測得到的轉子磁場角度穩態誤差較小，磁場角度誤差均在1°左右。

圖8為在高速3 000 r/min，載波比低至5時的穩態觀測電流對比。傳統的二階雙線性離散化模型觀測電流幅值和相位均出現了較大的穩態誤差，而零階保持離散化模型和特征根離散化模型的觀測電流和真實電流基本一致。

圖6 一階歐拉離散化模型在升速時的觀測波形

圖7 不同離散化模型觀測磁鏈角度的誤差大小對比

圖8 不同離散模型穩態電流波形對比（3 000 r/min）

圖9 不同離散化模型在轉矩階躍時的電流波形對比（2 160 r/min）

圖10 零階保持和特征根離散模型在降速時的電流波形對比

6 實驗結果

為進一步驗證本文的分析結果，采用dSPACE公司MicroLabBox控制器對文中的離散化數學模型進行了實驗驗證，小功率異步電機實驗平臺如圖11所示，包括被試電機及其驅動器和控制器、陪試電機、高壓電源、低壓電源、調試計算機、示波器、變頻器等。電機運行在基于特征根離散化模型設計的無差拍預測控制策略下，開關頻率為500 Hz，采用非對稱采樣方式，計算和采樣頻率為1 kHz。離散化模型計算均由PWM中斷同步觸發運行，觀測器輸出的電流、轉子磁鏈、磁場角度、電頻率等變量通過D-A轉換輸出，實際電流通過錄波儀實時記錄。

圖11 小功率異步電機實驗平臺

圖12為升速實驗中一階歐拉離散化模型在中高速下的觀測波形。在頻率為20 Hz左右，一階離散化模型觀測的電流fir出現明顯觀測誤差，且隨著轉速的上升，觀測的電流開始出現發散趨勢，和仿真（見圖6）基本一致，而特征根離散化模型的觀測電流eigen觀測誤差較小。

圖12 一階歐拉離散化模型在中高速下的觀測波形

圖13為高速下，載波比為7時，不同觀測器的觀測電流穩態對比波形。圖中，a為電流探頭采樣的電流信號，同步采樣電流a_syn為A-D在PWM中斷中采樣的真實A相電流信號，再通過D-A從3個通道輸出作為其他觀測器的參考波形。其中，二階雙線性模型觀測電流secd在低載波比下能維持穩定，但觀測的電流幅值和相位出現了較大誤差，提出的零階保持觀測電流zoh和特征根離散化模型觀測電流eigen均能很好地跟蹤實際同步采樣電流。

圖13 不同離散化模型的穩態電流波形（2 160 r/min）

圖14為2 160 r/min時，轉矩從1 N·m升至3 N·m再降至1 N·m時的暫態電流波形對比，轉矩階躍時，二階雙線性離散化模型的觀測電流出現了明顯的相位誤差，而零階保持模型和特征根離散化模型的觀測電流也出現了一定的觀測誤差，與仿真結果圖9一致，但相比于二階雙線性離散化模型具有更好的動態跟隨性能。

（a）轉矩突增 （b）轉矩突減

圖14 轉矩階躍時的觀測波形對比（2 160 r/min）

Fig.14 Comparison of observed waveforms during torque step at 2 160 r/min

圖15為三種離散模型的轉子磁場角度在穩態下的對比波形，由于真實的磁場角度未知，各個模型的磁場角度通過互相印證進行說明。在2 400 r/min時，特征根離散化模型和零階保持器模型所對應的磁場角度具有較好的一致性，而二階雙線性模型和其他模型相比存在較大的偏差，約為10°，和仿真圖7在80 Hz時二階雙線性模型對應的角度誤差結果基本一致。

圖15 2 400 r/min時的轉子磁場角度對比

7 結論

本文對低載波比下的感應電機離散模型和離散化誤差分析方法展開了研究，主要取得了以下成果：

1）提出了感應電機特征根離散化模型，該模型在全速度范圍內均能實現高精度的轉子磁鏈和定子電流觀測，在載波比低至5時，磁鏈角度觀測誤差小于1°，相比于傳統二階雙線性模型高達20°的角度偏差，大大提升了模型的穩態精度，同時仿真和實驗也驗證了該模型具有良好的穩態精度和暫態跟隨性能。

2）推導了不同離散模型的域傳遞函數，提出了基于伯德圖的離散誤差定量分析方法。該方法克服了傳統基于矩陣誤差的方法無法分析離散誤差對狀態量的幅值和相位影響的缺點，通過對比不同離散模型和連續模型的伯德圖，從理論上驗證了傳統方法的局限性和提出方法的優越性。

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Research on Discretization Model of Induction Motor for Low Switching-to-Fundamental Frequency Ratio Traction System

111213

（1. State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology School of Electrical and Electronic Engineering Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 2. Engineering Research Center of Novel Electrical Machines and Special Electromagnetic Equipment Ministry of Education School of Electrical and Electronic Engineering Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 3. CRRC Dalian R&D Co. Ltd Dalian 116052 China）

In high-power and high-speed motor drives, the control system will operate in low switching- to-fundamental frequency ratio conditions. Due to the large discretization error, the traditional reduced-order discrete model cannot be applied to the control system. Therefore, this paper proposes an eigenvalue-based discrete induction motor model, which still has good steady-state accuracy and transient tracking performance under a low switching-to-fundamental frequency ratio. At the same time, a quantitative analysis method of discretization error based on the Bode diagram is proposed.

Firstly, the mathematical model of the induction motor is modeled in the continuous domain using state space description. The full-rank state matrix is diagonalized through the transformation matrix. The elements on the diagonal of the diagonal matrix are the characteristic roots of the corresponding stator and rotor voltage equations of the induction motor. Then, the exact solution of the system matrix can be obtained through the transformation matrix and the diagonal matrix, and the eigenvalue-based discrete model of the induction motor is derived. Moreover, by deducing the z-domain transfer function of flux linkage observation of different discrete models, the Bode diagram is drawn. Taking the Bode diagram of the continuous model as the evaluation standard, the traditional and the proposed discrete models’ errors in the magnitude and phase of flux linkage observation is compared.

The simulation and experimental results show that in terms of the steady-state observation accuracy, at the electric frequency of about 20 Hz, the observed current of the first-order discretization model has an obvious observation error. In contrast, the observed current of the eigenvalue-based discrete model has a small observation error. When the switching-to-fundamental frequency ratio is seven, the observed current of the second-order bilinear model can maintain stability. However, the observed current amplitude and phase have large errors, while the observed current of the characteristic root discretization model can track the actual synchronous sampling current. Regarding dynamic observation accuracy, in speed reduction, the zero-order holder discrete model has a specific amplitude and phase deviation in current observation. The maximum amplitude deviation is up to 30%, and the deviation disappears after the speed enters the steady state. The eigenvalue-based discrete model has good performance in both transient and steady speeds.

The following conclusions can be drawn: (1) The proposed discrete model of the characteristic root of the induction motor can achieve high-precision rotor flux and stator current observation in the full-speed range. When the switching-to-fundamental frequency ratio is as low as five, the observation error of the flux angle is less than 1°. (2) Compared with the zero-order holder discretization model, the proposed eigenvalue-based discrete model has higher current observation accuracy in speed reduction.

Induction machine, discretization method, transfer function, Bode plot, low switching-to- fundamental frequency ratio

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222046

TM301.2

2022-10-28

2023-01-19

張欽培 男，1998年生，碩士研究生，主要研究方向為感應電機數學模型與控制策略。E-mail: zqp@hust.edu.cn

李 健 男，1982年生，研究員，博士生導師，主要研究方向為大功率牽引變流器控制方面的理論和技術開發。E-mail: jianli@hust.edu.cn（通信作者）

（編輯 崔文靜）