n 比特隨機量子系統實時狀態估計及其反饋控制

張驕陽 叢 爽 匡 森

自Huang 等[1]于20 世紀80 年代研究雙線性量子系統能控性問題以來,量子控制這一交叉學科取得了快速發展,并受到了空前的關注,越來越多的專家學者開始從系統控制的角度審視量子系統控制,如早期廣泛研究的量子門的制備與操作、退相干抑制等都可以歸結為典型的開環控制問題[2-6].自21 世紀以來,宏觀系統控制理論更深入地滲透到量子系統的操縱之中,兩個突出特點是[7-12]: 1) 從建模的角度上,研究的模型從簡單的低維雙線性封閉量子系統,逐漸轉變為更符合實際物理系統的開放量子系統,如馬爾科夫(Markovian)開放量子系統、非馬爾科夫(Non-Markovian)開放量子系統以及隨機量子系統;2) 從控制任務的角度上,研究的問題從分析量子系統的能控性、能觀性和可逆性以及針對某一特定的控制目標設計開環控制律,逐漸深化為借助宏觀控制理論設計具有普適性的反饋控制律,以實現量子系統狀態的轉移、保持或跟蹤等復雜的控制目標.與Markovian 和Non-Markovian 開放量子系統不同的是,隨機量子系統在建模時還考慮了由連續弱測量(Continuous weak measurement,CWM) 引起的不可忽略的反向效應(Back-action),這給實時量子狀態估計帶來了挑戰.作為未來量子科技中不可或缺的基礎理論與關鍵技術,隨機量子系統的實時狀態估計和高精度反饋控制逐漸成為了量子系統控制領域新的熱點問題.

量子狀態估計(Quantum state estimation,QSE)在量子物理領域又稱為量子狀態層析(Quantum state tomography,QST),分為測量和狀態重構兩個主要步驟.傳統意義上的n比特量子系統的狀態層析指的是對d×d(d=2n) 密度矩陣ρ的大量全同副本進行至少d2-1 次投影測量和多次算法迭代計算出滿足單位跡和半正定量子狀態約束的厄米(Hermitian) 矩陣基于大量全同副本的量子狀態估計只能離線完成,然而高精度量子反饋控制則要求實時估計隨時間變化的量子狀態,這是實現基于測量的量子反饋控制必須解決的一個難點問題.Silberfarb 等[13-14]和Ralph 等[15]提出的CWM為實時量子狀態估計的物理實現提供了可能.2020 年,唐雅茹等[16]和Harraz 等[17]以CWM 為基礎,基于MATLAB CVX 工具箱中的最小二乘法針對單比特隨機量子系統提出了一種密度矩陣實時重構的方案,并研究了噪聲幅值等系統參數對于實時量子狀態估計算法性能的影響.Zhang 等[18]通過在凸優化問題中引入布雷格曼(Bregman)散度使得不存在解析解的密度矩陣恢復子問題可以被求解,并提出了一種基于在線交替方向乘子法(Online alternating direction multiplier method,OADM) 的實時量子狀態層析算法QST-OADM.此外,Zhang 等[19]將實時量子狀態估計描述為一個稀疏促進半定規劃問題,并結合在線鄰近梯度法(Online proximal gradient,OPG)和交替方向乘子法(Alternating direction method of multipliers,ADMM)設計出OPG-ADMM 算法求解該問題.

在量子系統控制領域,李雅普諾夫控制方法是一種常用的控制律設計方法,該方法的一大優勢是能夠得到解析形式的控制律.Kuang 等[20]于2008年總結了非退化的封閉量子系統三種本征態制備方法.Sayrin等[21]于2011 年實現了超導腔中微波場中Fock 態的全局鎮定,進而逆轉了退相干引發的量子躍遷效應.Qi 等[22-23]全面地比較了多種形式的量子主方程本征態反饋鎮定控制方案的性能,并指出CWM 過程造成的量子狀態隨機塌縮不僅在一定意義上有利于反饋控制的實現,還能夠完成開環控制理論上無法實現的控制任務.2019 年,Qamar等[24]針對具有馬爾科夫退相干的二能級隨機量子系統提出了一種基于非線性最優觀測器的本征態反饋控制方案,但該方案難以推廣到高維量子系統中.同年,Harraz 等[25]在其提出的實時量子狀態估計方案的基礎上,針對一類特殊的n比特隨機量子系統設計出一種連續形式的本征態反饋控制律,不過沒有嚴格地給出關于控制律收斂性的數學證明.目前,狀態的實時獲取仍然是基于李雅普諾夫控制方法的隨機量子系統反饋控制中的瓶頸問題.對于一個d維的隨機量子系統,在線求解其隨機主方程就相當于在線求解d2-1 個隨機微分方程,如此龐大的計算量易導致反饋環路中存在延遲從而導致較差的控制效果.如能通過快速高效的算法進行實時量子狀態估計,則高性能的量子反饋控制就有可能實現.

本文針對CWM 過程中存在高斯噪聲的n比特隨機量子系統,提出一種基于OADM 的實時量子狀態估計算法 (簡稱QSE-OADM 算法),然后基于QSE-OADM 算法設計了一種反饋控制 (Feedback control,FC)方案 (簡稱QSE-OADM-FC 方案),實現了基于實時狀態估計的量子反饋控制.本文的貢獻在于: 1) 在實時量子狀態估計算法的推導過程中,將時變的密度矩陣實時重構問題和最小化高斯測量噪聲問題分開求解,進行狀態在線更新時無需求解一階隨機梯度信息,得到比文獻[18]中的QST-OADM 算法和文獻[19]中的OPG-ADMM 算法更快的收斂速度和更短的耗時;2) 借鑒文獻[26]的思想,針對n比特隨機量子系統,運用李雅普諾夫控制方法設計出一種新穎的反饋控制律,并對控制律的漸近收斂性進行了嚴格的數學證明;3) 在2比特隨機量子系統本征態和疊加態的反饋控制數值實驗中,通過與基于QST-OADM 算法和OPGADMM 算法的量子反饋控制方案進行性能對比,展現所提量子反饋方案的優越性.

本文的結構安排如下: 第1 節為在CWM 作用下,本文所提出的測量值序列和采樣矩陣的構造方法;第2 節為用于實時量子狀態估計的QSE-OADM算法的推導及其性能分析;第3 節為基于實時狀態估計的n比特隨機量子系統反饋控制律的設計及其性能對比分析;第4 節為結束語.

1 CWM 作用下測量值序列和采樣矩陣的構造

在薛定諤(Schr?dinger)繪景下,一類典型的n比特隨機量子系統的主方程可以表示為[16-18,23]

其中,? 為約化普朗克常量(為方便,取 ?=1);ρt為t時刻的密度矩陣;H(t) 為系統哈密頓量;L為測量算符,上標“?”代表共軛轉置;η∈(0,1] 為測量效率;dW為標準實值維納過程并滿足E[dW]=0 和 E [(dW)2]=Δt;D(L,ρt)Δt刻畫了測量過程帶來的確定性的退相干作用,而H(L,ρt)dW則刻畫了測量過程引起的隨機的量子狀態塌縮.

根據CWM 過程及其推導,可以得到作用在單比特隨機量子系統狀態上的 2×2 的測量算符為[16]

其中,I為 2×2 的單位矩陣,H′(t)=H0+Hc(t)=H0+u1(t)H1,L′=ξσ,ξ為被測量子系統與探測系統之間的相互作用強度,σ可在Pauli 矩陣σx=[01;10],σ y=[0-i;i0] 和σz=[10;0-1]中選擇.綜合考慮測量效率及其反向效應的影響,可得 2×2 密度矩陣的演化算符為[16-18,23]

更一般地,對于n比特隨機量子系統,其2n×2n的測量算符、密度矩陣演化算符可以在單比特量子系統的基礎上借助Kronecker 積“?”構造為

令t=k·Δt,k=1,2,···,N,可以得到與式(1) 等價的離散型n比特隨機量子系統的密度矩陣和測量算符的演化方程為

本文將k時刻及其之前的測量值共同組成一個測量值序列b k=[y1,···,yi,···,yk]T.測量值序列的具體構造方法如表1 所示.

表1 測量值序列的構造方法Table 1 Construction approach of the measurement record sequence

容易看出,隨著k取值的增大會加重實時量子狀態估計算法的計算負擔,進而導致較長的迭代時間.因此,本文借鑒遞推限定記憶最小二乘法的思想引入滑窗以便保證在充分利用測量值的歷史信息的同時,不至于使得計算負擔過重.滑窗中的數據按照“先入先出”的策略進行更新,即數據量達到滑窗長度l之后,每增加一個新數據信息的同時,刪除一個老數據的信息,數據的長度維持不變.帶有滑窗的測量值序列為

與文獻[13-15]中在海森堡(Heisenberg)繪景下借助量子系統動態演化的模型獲取k時刻量子狀態的方法不同,本文提出的測量值序列構造方法能夠實時估計出k時刻的量子狀態.

根據測量值與密度矩陣之間的關系式(6),可以得到與bk對應的采樣矩陣Ak為

當采樣次數大于等于l時,Ak保持不變.考慮到CWM 過程額外引入的高斯噪聲,式(6)應修正為

其中,e i∈R為高斯白噪聲.此時,n比特隨機量子系統在CWM 作用下,bk與Ak的關系為

2 QSE-OADM 算法的推導及其性能分析

本節將推導一種基于OADM 的n比特隨機量子系統狀態實時估計的算法QSE-OADM,并以2比特量子系統為例進行數值仿真實驗,研究相互作用強度ξ、測量算符的初始值M1及其與系統哈密頓量H′形成的夾角對所提算法性能的影響.

2.1 QSE-OADM 算法的推導

本文采用OADM 算法進行實時量子狀態估計.對于式(10)所示的可分離的雙目標在線約束凸優化問題,OADM 算法的基本思想是將其分解為兩個子問題并交替求解,其框架是依次最小化兩個原始變量對應的增廣拉格朗日(Lagrangian)函數,最后通過對偶梯度上升來更新拉格朗日乘子.此外,在每個采樣時刻k過后,該算法只需進行一次更新即可計算原始變量和拉格朗日乘子.式(10)對應的增廣拉格朗日函數為

其中,λ為拉格朗日乘子,α＞0 是懲罰參數.

2.1.1 求解相關子問題

根據矩陣求逆引理[28],得到

因此,式(14)可以重寫為

式(21)對應的拉格朗日函數為

2.1.2 求解相關子問題

所提出的QSE-OADM 算法的具體步驟如算法1 所示.

算法1.QSE-OADM 算法

下面討論QSE-OADM 算法的計算復雜度.對于QSE-OADM算法而言,其密度矩陣依據式(17)更新時,的計算復雜度為由于采樣矩陣Ak在采樣次數達到l之后保持不變,因此這一部分總的計算復雜度為l×O(l2d2).另外,奇異值分解的計算復雜度為 O (d3),由于計算過程中待估計的密度矩陣始終嚴格滿足量子狀態約束,因此采樣次數為N時這一部分總的計算復雜度為N×O(d3).綜上可知,QSE-OADM 算法總的計算復雜度為l×O(l2d2)+N×O(d3).

2.2 QSE-OADM 算法的性能分析

采用保真度 (Fidelity) 來衡量量子狀態估計的精度,其定義為

2.2.1 不同外部控制場的作用對實時量子狀態估計性能的影響

外部控制量和控制哈密頓量的乘積u1H1分別選取為0,σx,σy和 10σx,固定H0=σz,M1=σz?σz,L′=0.7σz.不同方向的外部控制場對QSEOADM 算法實時狀態估計的實驗結果如圖1 所示,從中可以看出: 當初始測量算符M1與H0平行時,QSE-OADM 算法無法有效獲取到隨機量子系統狀態演化的信息,此時該算法失效.解決該問題的一種可行的方案是通過施加外部控制場來使M1與系統哈密頓量H′=H0+u1H1之間存在一定的夾角.

圖1 不同外部控制場的作用下的實時狀態估計性能Fig.1 Real-time state estimation performance under various external control fields

需要注意的是,外部控制場并非越強越好,過大的控制量(如圖1 中帶圓圈的曲線所示的情況)可能導致M1與H′之間的夾角接近 90°而呈現出二者近似正交的情況,此時CWM 同樣難以獲取到系統演化的信息而導致QSE-OADM 算法估計精度下降.

2.2.2 不同初始測量算符 M1 對實時量子狀態估計性能的影響

初始測量算符M1分別選取為σ x ?σx、σy ?σy和σ z ?σz三種情況,固定H′=H0+1·σx,L′=0.7σz.不同初始測量算符對QSE-OADM 算法估計狀態的實驗結果如圖2 所示.從圖2 中可以看出只要M1與系統哈密頓量H′不平行且不正交,三種情況均能實現有效的實時量子狀態估計,不過每一種情況下QSE-OADM 算法的收斂速率不同.實驗結果表明: 當M1=σz ?σz時QSE-OADM 算法的實時狀態估計性能最好.

圖2 不同初始測量算符作用下的實時狀態估計性能Fig.2 Real-time state estimation performance under various initial measurement operators

2.2.3 不同相互作用強度 ξ 對實時量子狀態估計性能的影響

相互作用強度ξ分別取0.3,0.5,0.7,0.9,固定H′=H0+1·σx,M1=σz ?σz,測量算符選取σz.被測量子系統與探測系統之間不同的相互作用強度對于QSE-OADM 算法性能影響的實驗結果如圖3所示,從中可以看出:ξ與保真度成正相關,即ξ越大QSE-OADM 算法的收斂性越好.

圖3 不同的相互作用強度作用下的實時狀態估計性能Fig.3 Real-time state estimation performance under various interaction strengths

當ξ ≥0.7 時,QSE-OADM 算法已經具有良好的實時量子狀態估計性能,第7 次采樣過后保真度高于95%,第30 次采樣時保真度高于99.95%.第30 次采樣時的估計狀態和真實狀態如圖4 所示,其中,x軸和y軸分別代表密度矩陣的行和列,z軸代表密度矩陣元素的實部數值.

圖4 第30 次采樣時2 比特量子系統估計狀態與真實狀態比較 (H′=H0+1·σx,M1=σz ?σz,L′=0.7σz)Fig.4 Comparison between the estimated state and the real state of a 2-qubit system at the 30th sampling time(H′=H0+1·σx,M1=σz ?σz,L′=0.7σz)

3 基于實時狀態估計的量子反饋控制律的設計及其性能對比分析

本節將采用基于李雅普諾夫穩定性定理的控制方法設計反饋控制律,結合所提出的實時量子狀態估計算法實現n比特隨機量子系統的反饋控制,并以2 比特隨機量子系統為例針對目標態為本征態和疊加態的情況分別進行數值仿真實驗及其性能對比分析.

3.1 反饋控制律的設計及其收斂性的證明

第2 節基于QSE-OADM 算法實現了n比特隨機量子系統的實時狀態估計,因此可將式(1)改寫為包含估計狀態的隨機主方程,即

其中,系統哈密頓量為H(t)=H0+Hc(t),內部哈密頓量為H0,相互作用哈密頓量為Hc(t)=其中控制哈密頓量的個數r≥2,ui(t)表示控制場的第i個分量.

基于實時狀態估計的n比特隨機量子系統反饋控制系統的框圖如圖5 所示,其中,S,P,S ?P分別代表被測量子系統、探測系統和聯合系統,|ψ(Δt)〉代表聯合系統的狀態矢量,|o〉 代表系統P在投影測量后隨機塌縮到的某個本征態,M代表測量算符,它們一起組成CWM 過程.聯合系統y的輸出中包含測量過程引入的高斯噪聲,分別為在k時刻的密度矩陣ρ k和測量噪聲ek的估計值,u(k)為k時刻的控制場,q-1為單位延遲算子,ρf為目標態.

圖5 基于實時狀態估計的n 比特隨機量子系統反饋控制方案的框圖Fig.5 Real-time state estimation-based feedback control scheme for n-qubit stochastic quantum systems

定理 1.對于n比特隨機量子系統(28),當滿足能控性條件L=L?和[H0,L]=0[29]時,在式(29)和式(30)所示的反饋控制律的作用下,量子系統的狀態可以從任意初態ρ0以概率1 收斂到任意期望的目標態ρf.控制律的表達式為

1) 當采樣時刻k=1 時

2)當采樣時刻k ≥2 時

1) 系統(28)存在多個平衡點,如ρs1=diag{1,0}?n和ρ s2=diag{0,1}?n.當初始估計狀態與目標態ρf選取為同一個平衡點時,有意味著式(30) 所示的控制律無法施加到該量子系統中.因此在k=1 時,首先施加微擾形式的控制律驅動系統離開平衡點;即便是系統初始狀態不是平衡點,該微擾形式的控制律也不會對系統動力學產生較大的影響.

將式(33)和式(35) 代入式(31),可得

將式(30)所示控制律代入式(36),可得

基于QSE-OADM 算法進行實時量子狀態估計的反饋控制方案QSE-OADM-FC 的具體步驟如算法2 所示.

算法2.QSE-OADM-FC 方案

3.2 量子反饋控制的數值仿真實驗及其性能對比分析

本節仍以2 比特隨機量子系統為例進行數值仿真實驗.仿真實驗中,H0=σz ?I+I ?σz,4 個控制哈密頓量分別為H1=σx ?I+I ?σx;H2=σy ?I+I ?σy;H3=(σy+σz)?I+I ?(σy+σz);H4=(σx+σz)?I+I ?(σx+σz).除滑窗長度改為l=30 外,其他系統參數以及QSE-OADM 算法的參數均與第2 節相同.

為了驗證本文所提方案性能的優越性,將所提出的QSE-OADM-FC 方案與QST-OADM-FC 方案以及OPG-ADMM-FC 方案進行比較,其中QSTOADM 算法和OPG-ADMM 算法的參數已分別依據文獻[18]和文獻[19]調整至最佳.除李雅普諾夫函數數值之外,本文還借助控制場能量這一指標來衡量反饋控制方案的優越性,其定義為

3.2.1 本征態的反饋控制

2 比特量子系統的初態為本征態ρ0=ρ00?ρ00,其中ρ00=[1 0;0 0];目標態為本征態ρ f=ρf0?ρf0,其中ρ f0=[0 0;0 1],設計參數為g2=6,g3=1,g4=1.本征態反饋控制的仿真結果如圖6 所示,其中,圖6(a)和圖6(b)中的實線、虛線和點線分別代表QSE-OADM-FC、QST-OADM-FC 和OPGADMM-FC 方案中保真度和李雅普諾夫函數的變化曲線,圖6(c)中的實線、虛線、點劃線和帶“+”的曲線分別代表3 種方案中控制場分量u1,u2,u3和u4的變化曲線,圖6(d)中的實線、虛線、點劃線和帶“+”的曲線分別代表3 種方案中密度矩陣對角線元素ρ11,ρ22,ρ33和ρ44的變化曲線.

圖6 本征態反饋控制的仿真結果Fig.6 Simulation results on feedback control of an eigenstate

在QSE-OADM-FC 方案中,第14 次采樣過后即可保證實時量子狀態估計的保真度高于95%;第15 次采樣過后即可保證李雅普諾夫函數數值小于0.01;第30 次采樣時保真度為99.84%,李雅普諾夫函數數值為 5.399×10-4.如采用QST-OADM-FC方案,則第18 次采樣過后才能保證實時量子狀態估計的保真度高于95%,李雅普諾夫函數數值小于0.01;第30 次采樣時保真度為99.40%,李雅普諾夫函數數值為 1.484×10-3.如采用OPG-ADMM-FC方案,則第25 次采樣過后才能保證實時量子狀態估計的保真度高于95%;第28 次采樣過后才能保證李雅普諾夫函數數值小于0.01;第30 次采樣時保真度為98.29%,李雅普諾夫函數數值為 6.312×10-3.此外,采用QSE-OADM-FC 方案在達到更好的本征態反饋控制效果的同時所需要的控制場能量更小,僅為QST-OADM-FC 方案的60%左右,為OPGADMM-FC 方案的35%左右.

3 種方案下,本征態反饋控制性能指標的對比如表2 所示.其中,方案1 代表QSE-OADM-FC 方案;方案2 代表QST-OADM-FC 方案;方案3 代表OPG-ADMM-FC 方案.k s1代表使得保真度持續穩定在95%以上的首個采樣時刻;k s2代表使得李雅普諾夫函數數值持續低于0.01 的首個采樣時刻.

表2 本征態反饋控制性能指標的對比Table 2 Comparison of performance indicators of feedback control of an eigenstate

3.2.2 疊加態的反饋控制

圖7 疊加態反饋控制的仿真結果Fig.7 Simulation results on feedback control of a superposition state

3 種方案下,疊加態反饋控制性能指標的對比如表3 所示,其中k s1和k s2的含義與表2 相同.與本征態的反饋控制相比,疊加態的反饋控制實現起來難度更大,具體表現在其調節時間更長且所需的控制場能量更大上.

表3 疊加態反饋控制性能指標的對比Table 3 Comparison of performance indicators of feedback control of a superposition state

4 結束語

本文解決了n比特隨機量子系統的實時狀態估計及其反饋控制的問題.針對 CWM 過程中存在高斯噪聲的n比特隨機量子系統,通過測量序列和采樣矩陣的構造、基于在線交替方向乘子法的實時量子狀態估計算法的設計以及借助李雅普諾夫方法的反饋控制律的設計,提出了一種基于實時狀態估計的量子反饋控制方案.最后,與基于其他兩種不同的實時狀態估計算法的量子反饋控制方案進行性能對比,展現了本文所提方案的優越性.