基于干擾觀測器的多航天器固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同跟蹤控制

陳傳志,張?jiān)茋[,張 俞,張迎雪,余虹志,張 杰,鄧小康

(1.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院, 南京 210016; 2.深空星表探測機(jī)構(gòu)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 210016; 3.上海宇航系統(tǒng)工程研究所, 上海 201109)

0 引言

隨著航天科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展,單體航天器因其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)與高維護(hù)成本已難以適應(yīng)多樣化的航天任務(wù)。而多個(gè)結(jié)構(gòu)簡單、成本較低的小型航天器相互協(xié)調(diào)完成復(fù)雜航天任務(wù),可以有效彌補(bǔ)單體航天器的缺陷。此外,多航天器系統(tǒng)還擁有擴(kuò)展性強(qiáng)與可靠性高等優(yōu)點(diǎn)[1]。多航天器姿態(tài)協(xié)同控制技術(shù)是航天器編隊(duì)成功完成任務(wù)的重要保障,其在多個(gè)領(lǐng)域如重力場測量和合成孔徑雷達(dá)中有著廣泛應(yīng)用[2],因此近年來吸引了越來越多學(xué)者的關(guān)注。

目前,航天器姿態(tài)協(xié)同控制方法主要包括領(lǐng)導(dǎo)跟隨方法、虛擬結(jié)構(gòu)方法和基于行為的方法。在使用領(lǐng)導(dǎo)跟隨法對多航天器進(jìn)行姿態(tài)控制時(shí),各跟隨航天器在保持姿態(tài)一致的條件下需協(xié)同跟蹤領(lǐng)航航天器姿態(tài)。Mehrabian等[3]針對特定航天任務(wù)對編隊(duì)航天器姿態(tài)的高精度要求,考慮重力梯度與執(zhí)行器力矩受限的影響,基于領(lǐng)導(dǎo)跟隨法設(shè)計(jì)了一種多航天器姿態(tài)協(xié)同控制器。在虛擬結(jié)構(gòu)法中,多航天器系統(tǒng)將被視為一個(gè)虛擬的剛體進(jìn)行機(jī)動(dòng)控制,通過建立結(jié)構(gòu)狀態(tài)和航天器自身狀態(tài)之間的函數(shù)關(guān)系,設(shè)計(jì)控制策略,實(shí)現(xiàn)多航天器姿態(tài)協(xié)同控制目標(biāo)。在文獻(xiàn)[4-6]中,研究人員通過虛擬結(jié)構(gòu)法提出了多種多航天器姿態(tài)協(xié)同控制方法。編隊(duì)航天器往往需要同時(shí)完成多個(gè)任務(wù)目標(biāo),基于行為法是一種對每一個(gè)控制任務(wù)目標(biāo)對應(yīng)的控制行為進(jìn)行加權(quán)平均處理的控制策略。Hu等[7]基于行為控制方法設(shè)計(jì)了一種事件觸發(fā)通信方法,使信息傳輸受限情況下的航天器編隊(duì)相對位置協(xié)調(diào)控制問題得以解決。在以上提到的方法中,虛擬結(jié)構(gòu)法缺乏靈活性和適應(yīng)性,基于行為法中穩(wěn)定性分析復(fù)雜,而領(lǐng)導(dǎo)跟隨法結(jié)構(gòu)簡單,易于實(shí)施,被廣泛應(yīng)用于多航天器姿態(tài)控制中。因此,本文中將基于領(lǐng)導(dǎo)跟隨法設(shè)計(jì)姿態(tài)協(xié)同控制策略。

本文中將滑模控制應(yīng)用在基于領(lǐng)導(dǎo)跟隨法的姿態(tài)協(xié)同控制策略中。滑?？刂埔蚱浣Y(jié)構(gòu)簡單,響應(yīng)速度快,對于外部干擾與參數(shù)不確定性不敏感的特性,也被廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星編隊(duì)控制算法的設(shè)計(jì)之中。但傳統(tǒng)滑?？刂频奶攸c(diǎn)是在其平衡點(diǎn)附近漸近收斂,無法在有限時(shí)間內(nèi)快速響應(yīng)。相比之下,有限時(shí)間方法在平衡點(diǎn)附近收斂速度快,并且具備較強(qiáng)的抗擾能力[8],其中非線性終端滑模面是設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器的有效工具。終端滑模面相較于線性滑模面具有有限時(shí)間收斂的優(yōu)點(diǎn),因而基于終端滑模設(shè)計(jì)的控制器將使系統(tǒng)狀態(tài)更快收斂至平衡點(diǎn),并且具備更強(qiáng)魯棒性。為克服傳統(tǒng)終端滑模的奇異問題,文獻(xiàn)[9]在考慮時(shí)變擾動(dòng)與執(zhí)行器故障的影響下,將非奇異快速終端滑模面(NFTSM)與自適應(yīng)方法結(jié)合,設(shè)計(jì)了一種高精度分布式姿態(tài)協(xié)同控制器。但是其并未在控制器的設(shè)計(jì)上考慮代數(shù)環(huán)問題。文獻(xiàn)[10]提出的基于反步法的快速終端滑模方法,不僅提高了傳統(tǒng)終端滑模的收斂速度,避免了奇異問題,而且通過選擇合適的滑模面避免了代數(shù)環(huán)問題。在有限時(shí)間方法中,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在初始時(shí)刻遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí),收斂速度會(huì)有明顯下降,導(dǎo)致收斂時(shí)間增加。因此,亟需設(shè)計(jì)一種收斂時(shí)間獨(dú)立于初始狀態(tài)的姿態(tài)協(xié)同控制方法。有學(xué)者提出了固定時(shí)間控制,能保證系統(tǒng)狀態(tài)在固定時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)。相比于有限時(shí)間控制,固定時(shí)間控制的時(shí)間上界取決于系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的正常數(shù),而與初始狀態(tài)無關(guān)[11]。因此,無論系統(tǒng)狀態(tài)在最初時(shí)刻與期望平衡點(diǎn)相差多大,其也將在固定時(shí)間內(nèi)收斂,從而加快系統(tǒng)收斂速度。此外,有限時(shí)間方法的高穩(wěn)態(tài)特性、強(qiáng)魯棒性和強(qiáng)抗擾能力依然被固定時(shí)間方法保留。

在復(fù)雜空間環(huán)境中,多航天器姿態(tài)協(xié)同會(huì)受到太陽光壓、重力梯度和地磁力等不確定的干擾力矩影響,這將導(dǎo)致未考慮外部擾動(dòng)基礎(chǔ)上所設(shè)計(jì)的控制律的魯棒性受到挑戰(zhàn)。為了克服航天器外部擾動(dòng)對控制系統(tǒng)帶來的負(fù)面影響,文獻(xiàn)[12]結(jié)合有限時(shí)間概念設(shè)計(jì)了一種新型自適應(yīng)律以估計(jì)并補(bǔ)償未知環(huán)境干擾;文獻(xiàn)[13]提出了一種自適應(yīng)律解決了外部擾動(dòng)上界未知情況下的多航天器姿態(tài)控制問題。但上述文獻(xiàn)使用自適應(yīng)方法估計(jì)干擾值導(dǎo)致收斂時(shí)間較長,且未考慮實(shí)際應(yīng)用中由于安裝偏差、燃料消耗與帆板展開等造成的系統(tǒng)慣量不確定性。文獻(xiàn)[14]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)慣量不確定性與外部干擾,結(jié)合反步法設(shè)計(jì)控制律實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)跟蹤,但利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測干擾的計(jì)算成本太大、快速性差,無法保證系統(tǒng)固定時(shí)間收斂穩(wěn)定。

基于以上研究,針對受擾動(dòng)下的多航天器一致性姿態(tài)跟蹤問題,將系統(tǒng)慣量不確定性分離出來,與外部干擾共同作為復(fù)合干擾項(xiàng),采用二階積分滑模法(SOSMC)設(shè)計(jì)復(fù)合干擾觀測器對其實(shí)時(shí)估測。利用干擾觀測值,基于固定時(shí)間滑模理論設(shè)計(jì)姿態(tài)跟蹤控制器,并利用Lyapunov理論證明控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及在固定時(shí)間內(nèi)的收斂性。最后通過仿真結(jié)果表明,提出的控制器可使多航天器固定時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確完成姿態(tài)跟蹤任務(wù),驗(yàn)證了方法的有效性與優(yōu)越性。

1 基礎(chǔ)知識與問題描述

1.1 多航天器姿態(tài)協(xié)同控制模型

本文中通過修正羅德里格參數(shù)(modified rodrigues parameters,MRPs)建立航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,該方法具有對旋轉(zhuǎn)描述無冗余和可克服奇異性的優(yōu)點(diǎn)。假設(shè)以N個(gè)航天器組成的姿態(tài)協(xié)同跟蹤系統(tǒng)為研究對象,第i個(gè)成員的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

其中:qi∈R3表示第i個(gè)航天器的姿態(tài),qi(t)=ρitan(φi(t)/4);ωi=[ωi1,ωi2,ωi3]T∈R3為航天器的姿態(tài)角速度;J0i∈R3×3為航天器標(biāo)稱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣; ΔJi∈R3×3為慣量不確定矩陣;ui∈R3為作用于航天器的控制力矩;di∈R3為航天器所受到的外部干擾力矩。式(1)中的雅可比矩陣Ti(qi)∈R3×3定義為

(3)

In∈Rn×n為n×n單位矩陣。對于向量x=[x1,x2,x3]T,x×∈R3×3定義為

(4)

定義主航天器的姿態(tài)軌跡為qd且滿足以下假設(shè):

1.2 代數(shù)圖論

1.3 相關(guān)定義及引理

定義1[15]:考慮如下非線性系統(tǒng):

(5)

系統(tǒng)初始狀態(tài)為x(0)=x0。

如果在有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)式(5)的任意解x(t,x0)能收斂至平衡點(diǎn),且平衡點(diǎn)為全局漸進(jìn)穩(wěn)定,即x(t,x0)=0,?t≥T(x0),其中T:Rn→R+∪{0}為收斂時(shí)間函數(shù),則系統(tǒng)平衡點(diǎn)可以在有限時(shí)間內(nèi)趨于全局穩(wěn)定。

定義2[16]:考慮系統(tǒng)式(5),如果在有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)任意解x(t,x0)能收斂至平衡點(diǎn),且收斂時(shí)間的上界T(x0)有界,即存在正常數(shù)Tmax可使T(x0)≤Tmax,?x0∈Rn,則系統(tǒng)平衡點(diǎn)是全局固定時(shí)間穩(wěn)定的。

引理1[17]:如果ξ1,ξ2,…,ξN≥0,那么下列結(jié)論成立:

(6)

(7)

引理2[18]:考慮系統(tǒng)式(5),如果存在連續(xù)正定Lyapunov函數(shù)V滿足以下條件:

(8)

其中,λ1>0,0<γ<1,那么系統(tǒng)式(5)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,且收斂時(shí)間上界Ts滿足:

(9)

引理3[19]:考慮系統(tǒng)式(5),如果存在一個(gè)連續(xù)的徑向無界函數(shù)V:Rn→R+∪{0}滿足:

1)V(x(t))=0?x(t)=0;

則系統(tǒng)狀態(tài)能在固定時(shí)間Tr內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)并穩(wěn)定,且時(shí)間上界Tr其滿足:

(10)

1.4 問題描述

本文中以N個(gè)跟隨航天器與一個(gè)主航天器組成的多航天器系統(tǒng)為研究對象,定義姿態(tài)跟蹤誤差e1i、e2i和e1ij為

e1i=qi-qd

(11)

(12)

e1ij=qi-qj

(13)

2 系統(tǒng)模型構(gòu)建與設(shè)計(jì)

2.1 復(fù)合干擾觀測器設(shè)計(jì)

在實(shí)際航天器編隊(duì)中,外部干擾與慣量不確定性難以精確測量,本節(jié)采用觀測器對兩者組成的復(fù)合干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),提高編隊(duì)系統(tǒng)控制魯棒性?；Ｓ^測器常用于對于擾動(dòng)的估計(jì)中,二階積分滑模作為傳統(tǒng)一階滑模的推廣,在保留傳統(tǒng)滑模良好性能的前提下,能夠有效抑制抖振,因此本文設(shè)計(jì)基于二階積分滑模控制(SOSMC)的復(fù)合干擾觀測器,以實(shí)現(xiàn)對復(fù)合干擾的精確估計(jì)。

通過對姿態(tài)方程式(2)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q,可構(gòu)建由外部干擾與內(nèi)部慣量不確定性干擾組成的復(fù)合干擾項(xiàng):

(14)

則可將式(2)表示為

(15)

(16)

(17)

(18)

證明：對式(16)求導(dǎo)并將式(15)代入可得

(19)

將式(17)代入式(19)可得二階積分滑模面

(20)

令

(21)

那么

(22)

由式(20)—式(22)可得

(23)

取Lyapunov函數(shù)如下

(24)

對式(24)求導(dǎo)有

(25)

其中

(26)

由式(20)—式(21)可得

(27)

(28)

設(shè)

因此

(29)

根據(jù)式(24)有

(30)

(31)

由引理2可知V(σim)可在有限時(shí)間Tf內(nèi)收斂至0,Tf滿足

(32)

注1：與傳統(tǒng)的干擾觀測器相比,本文中設(shè)計(jì)的觀測器不需要干擾相關(guān)先驗(yàn)信息,即可實(shí)現(xiàn)對干擾的高精度在線估計(jì),體現(xiàn)了較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

2.2 分布式固定時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

聯(lián)立式(1)和式(15),可得二階形式的姿態(tài)控制模型:

(33)

為了避免航天器實(shí)際編隊(duì)飛行任務(wù)中的代數(shù)環(huán)問題(航天器i,j的控制輸入ui、uj相互耦合,形成死循環(huán))并減輕通信負(fù)擔(dān),引入一固定時(shí)間滑模觀測器來估計(jì)主航天器期望姿態(tài),其形式如下:

(34)

假設(shè)3：由N個(gè)跟隨航天器組成的多航天器編隊(duì)系統(tǒng)間的通信拓?fù)錇闊o向連通圖,而虛擬主航天器與接收其信號的跟隨航天器之間的通信拓?fù)錇橛邢蜻B接。

上述滑模觀測器的固定時(shí)間收斂特性可由下面性質(zhì)給出。

(35)

其中

基于狀態(tài)觀測器(34),定義姿態(tài)誤差θ1i和θ2i為

θ1i=qi-p1i

(36)

(37)

選取終端滑模面為

(38)

其中1/2<η<1, 11,αi和βi是正常數(shù)。

為了實(shí)現(xiàn)航天器編隊(duì)在復(fù)合干擾下的強(qiáng)魯棒性,完成對于期望姿態(tài)的固定時(shí)間跟蹤,并且避免航天器間代數(shù)環(huán)通信問題,本文中基于復(fù)合干擾觀測器式(16)—式(17)、期望姿態(tài)觀測器式(34)和終端滑模面式(38),設(shè)計(jì)分布式控制律如下:

(39)

定理2：對于滿足假設(shè)1與假設(shè)3的多航天器編隊(duì)系統(tǒng)式(1)、式(2),采用控制律式(35),能夠使姿態(tài)跟蹤誤差e1i和e2i在固定時(shí)間Tab內(nèi)收斂到區(qū)域Ω內(nèi),收斂時(shí)間Tab=T0+T1+T2,其中T0、T1、T2和Ω分別如式(35)、式(45)、式(51)和式(55)所示。

首先對滑模面si的收斂性質(zhì)進(jìn)行分析。

對于第i個(gè)航天器,選取下述Lyapunov函數(shù)

(40)

對V1i兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)可得

(41)

將姿態(tài)誤差式(11)—式(12)代入式(41)有

(42)

代入式(33)與控制律式(39)有

(43)

(44)

由引理3可知,滑模面si可在固定時(shí)間T1內(nèi)收斂到區(qū)域Ω1內(nèi),且T1與Ω1分別滿足:

(45)

(46)

其中Δsi為一個(gè)靠近原點(diǎn)的正常數(shù)。

接下來考慮系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后的情況,對姿態(tài)跟蹤誤差e1i和e2i的收斂特性進(jìn)行分析。

首先,證明e1i和e2i固定時(shí)間收斂。

當(dāng)si=0時(shí),由式(38)可得

(47)

針對第i個(gè)航天器,選取下述Lyapunov函數(shù)

(48)

沿著式(47)對V2i求導(dǎo)可得

(49)

根據(jù)η、r1和g1的取值,由引理1可得

(50)

其中,

由引理3可知,e1i和e2i將在固定時(shí)間T2內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近,T2如下:

(51)

因?yàn)楫?dāng)si=0時(shí),狀態(tài)變量e1i可以在固定時(shí)間內(nèi)收斂至零附近,所以滑模面(38)為固定時(shí)間滑模面。

然后,分析e1i和e2i的收斂區(qū)域。

由|sim|≤Δsi可將式(38)改寫為

(52)

可將式(52)表示為如下2種形式

綜上所述,姿態(tài)誤差量e1i和e2i將在固定時(shí)間Tab內(nèi)收斂到區(qū)域Ω內(nèi),Ω如下所示:

(55)

注2：由式(51)可知,固定收斂時(shí)間與航天器編隊(duì)初始狀態(tài)無關(guān),只與控制參數(shù)有關(guān)。因此,對于任意初始狀態(tài),均可通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)提前預(yù)估收斂時(shí)間。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

仿真針對4個(gè)跟隨航天器協(xié)同跟蹤一個(gè)虛擬領(lǐng)航者的編隊(duì),它們之間的通信拓?fù)潢P(guān)系如圖1所示。

圖1 通信拓?fù)潢P(guān)系

編隊(duì)的鄰接矩陣A和B定義如下:

B=diag(1,1,0,0)

編隊(duì)中各航天器的標(biāo)稱轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩陣分別取為:

各航天器慣性不確定性矩陣分別取為:

編隊(duì)中各航天器的初始姿態(tài)分別選擇為:

q1(0)=[2.2,2,-2.2]T,q2(0)=[-2,2,3]T

q3(0)=[-2,-2.3,2.5]T,q4(0)=[-1.5,2.7,-1.3]T

編隊(duì)中主航天器的期望參考姿態(tài)軌跡取為qd=[0.2cos(0.5t),0.2sin(0.5t),0.3]T,外部擾動(dòng)力矩取為di=0.012 5[sin(0.2t),cos(0.2t),sin(0.4t)]TN·m,編隊(duì)中各航天器的初始角速度設(shè)為[0,0,0]Trad/s。

復(fù)合干擾觀測器(17)中參數(shù)選取為η1=2,η2=0.5。

分布式固定時(shí)間控制器(39)參數(shù)選取如下:

αi=βi=0.1,η=0.6,r1=1.3,μ1=2.3,r2=0.9,μ2=1.3,δ1=δ2=1。

圖2 干擾觀測器估計(jì)誤差edi響應(yīng)曲線

圖3 復(fù)合干擾Dfi與觀測值

圖4 姿態(tài)跟蹤誤差e1i響應(yīng)曲線

圖5描述了控制力矩的響應(yīng)曲線。可以看出,控制力矩ui在固定時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)定,且變化光滑平穩(wěn),沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。并且由圖5可以看出,在航天器逐漸穩(wěn)定后,控制力矩ui保持較小值周期變化,證明只需很小的控制力矩就能保證航天器在穩(wěn)態(tài)階段持續(xù)跟蹤主航天器姿態(tài)。

圖5 控制力矩ui響應(yīng)曲線

此外,本文中將通過與自適應(yīng)有限時(shí)間控制策略的對比分析,來驗(yàn)證所提出控制策略的有效性與優(yōu)越性。選取了自適應(yīng)有限時(shí)間控制策略進(jìn)行對比分析,2種控制策略下的仿真結(jié)果如圖6所示。其中,各對比量的定義如下:

由圖6可以看出,與自適應(yīng)有限時(shí)間控制策略相比,本文中控制方法中姿態(tài)跟蹤誤差的值始終更小,且能更快收斂至原點(diǎn),說明該控制方法精度更高,收斂時(shí)間更短。雖然本文中的控制力矩在初始時(shí)更大,但在0.5 s后小于自適應(yīng)有限時(shí)間控制策略,并且之后變化更加平穩(wěn),可以看出該控制方法對于執(zhí)行器要求更低,燃油消耗更少。

由仿真結(jié)果可知,該控制方法對于航天器編隊(duì)姿態(tài)協(xié)同跟蹤控制具有不錯(cuò)的控制效果,且對擾動(dòng)具備一定的魯棒性。

圖6 對比結(jié)果

4 結(jié)論

本文中研究了受外部干擾與慣量不確定性條件下的多航天器系統(tǒng)姿態(tài)協(xié)同跟蹤問題。設(shè)計(jì)了一致性姿態(tài)協(xié)同控制器,使得受復(fù)合干擾情況下的航天器編隊(duì)能夠?qū)崿F(xiàn)對期望姿態(tài)的精確跟蹤。歸納得到以下結(jié)論:

1) 設(shè)計(jì)的二階積分滑模觀測器能在較快時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對復(fù)合干擾的快速準(zhǔn)確跟蹤。并且該觀測器無需獲得復(fù)合干擾的先驗(yàn)信息,涉及控制參數(shù)少,具備較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

3) 通過對比驗(yàn)證,與自適應(yīng)有限時(shí)間方法相比,本文中提出的姿態(tài)控制策略精度更高,收斂速度更快與燃油消耗更少。

未來可以考慮航天器中實(shí)際執(zhí)行器的物理限制,后續(xù)研究中進(jìn)一步針對航天器控制輸入飽和問題設(shè)計(jì)固定時(shí)間姿態(tài)協(xié)同控制律,提升收斂時(shí)間預(yù)估準(zhǔn)確性,并改善執(zhí)行器飽和情況給系統(tǒng)帶來的性能下降與失穩(wěn)現(xiàn)象。