壓電集成石墨烯增強功能梯度多孔板的等幾何建模與分析

劉慶運, 劉康仁, 張紅一, 劉 濤,2

(1. 安徽工業大學 機械工程學院,安徽 馬鞍山 243002; 2. 上海大學 機電工程與自動化學院,上海 200072)

將壓電材料與梁、板、殼等基體結構相結合所形成的壓電智能結構常被應用于航空航天等領域[1]。目前,常見壓電智能結構的基體材料大多以金屬材料[2]、聚合物材料[3]、功能梯度材料[4]和正交鋪設的層合材料[5]為主。近年來,科學技術,尤其是新一代航空航天技術的飛速發展也對航空航天裝備在高性能、輕量化、長壽命等方面提出了更高的要求。在壓電智能結構中,壓電材料的尺寸和重量相對于基體材料可以忽略不計。因此,基體結構的材料選擇和幾何設計成為了壓電智能結構輕量化設計的主要方向。多孔材料[6-7](例如金屬泡沫材料),因具有質量輕、強度高等優點,為壓電結構基體材料的選擇提供了一種新的可能。另外,多孔材料中的孔隙常被設計為沿某一或多個方向上呈梯度分布,所形成的功能梯度多孔材料的力學性能在特定方向上也呈連續梯度分布,具有良好的抗沖擊性能[8]。因此,以功能梯度多孔材料作為壓電智能結構的基體材料,可以保證結構在具有較高剛度的同時有效地降低結構的質量。但研究表明,基體材料內部孔隙的不斷增大會導致結構的剛度不斷減小[9]。

碳納米材料,如一維碳納米管(carbon nanotubes, CNTs)[10-11]和二維石墨烯納米片(graphene platelets, GPLs)[12-13],具有低密度、高強度及優異的抗疲勞特性等優點,使其成為復合材料理想的增強體。試驗表明相比于CNTs,GPLs具有更大的比表面積,可以更有效地與基體材料結合,大幅度增強復合材料的機械性能[14-15]。目前,已有部分學者對石墨烯增強功能梯度多孔梁、板、殼結構的建模方法進行了研究。為書寫方便,本文將石墨烯增強功能梯度多孔材料簡寫為GPLs-FGP,壓電集成石墨烯增強功能梯度多孔材料簡寫為P-GPLs-FGP。Kitipornchai等[16-17]利用Timoshenko梁理論建立了GPLs-FGP梁的線性和非線性理論模型,并研究了梁的振動和屈曲行為。基于經典理論(classical theory, CT)。Li等[18]構建了GPLs-FGP殼結構的熱彈性屈曲模型。針對GPLs-FGP板結構,Gao等[19-20]分析了Winkler-Pasternak彈性基礎上GPLs-FGP板的非線性振動響應。采用伽遼金法,Teng等[21]基于CT探索了GPLs-FGP薄板的非線性強迫振動響應,Xu等[22]則基于一階剪切變形理論(first-order shear deformation theory, FSDT)提出了一種熱屈曲解析解模型。Arshid等[23-24]采用廣義微分求積法建立了GPLs-FGP板的熱屈曲數值分析模型。Yang等[25-26]利用無網格法和Chebyshev-Ritz法分析了GPLs-FGP板的屈曲和自由振動問題。相對而言,有限單元法仍是GPLs-FGP結構數值法建模的主要手段之一,利用有限單元法,Li等[27]分析了GPLs-FGP圓柱殼在徑向載荷作用下的靜力學響應;Genao等[28]基于高階剪切變形理論(higher-order shear deformation theory, HSDT)建立了機-熱載荷下GPLs-FGP微尺度板的非線性有限元模型;Nguyen等[29]則基于HSDT和一種多邊形有限單元法對GPLs-FGP板的自由振動進行了分析。此外,Li等[30]和Nguyen等[31]先后利用等幾何分析(Isogeometric analysis, IGA)方法建立了GPLs-FGP板的數值分析模型,并研究了板的固有頻率、靜態彎曲和屈曲響應。在他們的研究中,Li等采用的是FSDT和Reddy’HSDT,而Nguyen等采用的是一種僅包含3自由度的HSDT,但該理論要求基函數至少C3連續。

上述研究工作表明將少量的GPLs填充到多孔材料中,所形成的石墨烯增強的功能梯度多孔材料可以在保留多孔材料輕質性的同時,有效地解決因孔隙增加所引起的結構剛度減小問題。因此,GPLs-FGP材料成為了壓電智能結構基體材料的重要選擇之一。Al-Furjan等[32]建立了微尺度P-GPLs-FGP圓柱殼結構的解析解模型。Moradi-Dastjerdi等[33]結合HSDT和無網格方法分析了彈性基礎上P-GPLs-FGP板的屈曲響應。Nguyen等[34-35]則基于HSDT和IGA方法建立了P-GPLs-FGP板的線性和非線性模型,并對板的靜力學、動力學和主動振動控制問題進行了研究。

由上述文獻可知,目前板、殼結構的數值建模方法大多采用CT,FSDT和HSDT。其中,CT僅包含3個未知變量,計算效率相對較高,但其忽略了橫向剪切變形,只適用于分析尺寸較薄的結構。FSDT包含5個未知變量,其考慮了橫向剪切變形,但在結構較薄時會因無法滿足Kirchhoff假設而出現剪切自鎖的現象,因此僅適用于中等厚度板、殼結構的分析。HSDT相對較為準確,但其未知變量一般大于等于5個,且離散化過程較為復雜。此外,在壓電智能結構中,壓電材料的機電耦合特性使得結構的建模和分析變得更為復雜。因此,建立數值分析模型時所選擇的板、殼理論直接影響著結構分析的準確性和高效性。

值得注意的是,Thai等[36-37]提出了一種簡化一階剪切變形理論(simple first-order shear deformation theory, S-FSDT),該理論由一階剪切變形理論推導而來,在分析薄板時,S-FSDT自動退化為經典理論,從而滿足Kirchhoff假設。在分析中等厚度板時,該理論既考慮了剪切變形且僅含有4個未知變量,具有較高的計算精度和計算效率,但其要求位移場插值函數滿足C1連續性。作為一種新興的數值方法,IGA方法的基本思想是將計算機輔助設計(computer aided design,CAD)的NURBS基函數直接作為有限元分析的形函數,利用樣條的控制節點作為計算網格節點,從而在表達上使CAD與CAE獲得統一。因此,IGA方法具有幾何精確、精度高、魯棒性好、無需傳統的網格劃分過程等優點。此外,NURBS的高階連續性恰好可以滿足S-FSDT的C1連續性這一要求。

根據上述分析,本文首先結合IGA方法和S-FSDT建立了集成電層的石墨烯增強功能梯度多孔板的數值分析模型,在結構基體材料中孔隙與石墨烯的都具有非均勻對稱分布、非均勻非對稱分布和均勻分布3種分布形式;其次,通過與已有文獻進行對比驗證了本文模型的準確性和有效性;最后,利用該模型詳細分析了孔隙分布形式、孔隙系數、石墨烯分布模式、石墨烯質量分數以及板的寬厚比和邊界條件對結構自由振動和靜態彎曲響應的影響。

1 P-GPLs-FGP板的等幾何分析模型

如圖1所示,P-GPLs-FGP板的長度為a,寬度為b,中間層是厚度為hc的GPLs-FGP板,上、下層是厚度為hp的壓電層,結構的總厚度h=hc+2hp。

圖1 壓電集成石墨烯增強功能梯度多孔板Fig.1 Piezoelectric integrated graphene platelets reinforced functionally graded porous plate

1.1 GPLs-FGP材料的有效屬性

圖2 孔隙分布方式Fig.2 Types of porosity distribution

中間層GPLs-FGP板的彈性模量、剪切模量和密度可表示為

(1)

式中:E*,ν*和ρ*分別為無孔隙時復合材料的有效彈性模量、泊松比和密度;e0為孔隙系數;em為密度系數,分別表示為

(2)

(3)

φ(z)為孔隙分布函數,對應圖2所示的3種孔隙分布形式,表示為

(4)

根據高斯隨機場(Gaussian random field, GRF)理論,多孔材料的彈性模量與密度之間存在如下關系

(5)

將式(1)代入式(5),得到

(6)

同樣根據閉胞體GRF理論[38],GPLs-FGP材料的泊松比ν(z)可表示為

ν(z)=0.221p′+ν*(0.342p′2-1.121p′+1)

(7)

式中,ν*為不含孔隙時石墨烯增強基體材料的泊松比。

(8)

根據改進Halpin-Tsai微觀力學模型,無孔隙時石墨烯增強功能梯度材料的彈性模量E*為

其中,

(10)

式中:wGPL,lGPL和tGPL分別為石墨烯納米片的平均寬度、長度和厚度;EGPL和Em分別為石墨烯和基體的彈性模量。

與孔隙分布類似,石墨烯同樣具有三種分布模式,非均勻對稱分布GPL-S、非均勻非對稱分布GPL-A和均勻分布GPL-U,如圖3所示。不同分布模式下,石墨烯沿厚度方向的體積分數為

圖3 石墨烯分布模式Fig.3 Dispersion patterns of GPLs

(11)

式中,Si1,Si2和Si3為石墨烯體積分數的最大值,i=1,2,3分別為PD-S,PD-A和PD-U 3種孔隙分布形式。每一種孔隙分布都可以與3種不同的石墨烯分布模式相結合,因此,本文共有9種不同的組合形式。Si1,Si2和Si3可以根據石墨烯的體積分數VGPL和質量分數WGPL的關系(見式(12))計算得到。

(12)

假設不同孔隙分布和石墨烯分布模式下,GPLs-FGP板的質量M相等,則M可定義為

(13)

根據式(5),可以得到孔隙均勻分布時(PD-U)的孔隙系數

(14)

最后,根據復合材料混合定律,石墨烯增強復合材料的密度和泊松比可表示為

ρ*=ρGPLVGPL+ρmVm

(15)

ν*=νGPLVGPL+νmVm

(16)

式中:ρGPL,νGPL和VGPL分別為石墨烯的密度、泊松比和體積分數;ρm,νm和Vm= 1-VGPL分別為基體的密度、泊松比和體積分數。

1.2 簡化一階剪切變形理論

根據一階剪切變形理論,可得到板的位移場為

(17)

式中:u0,v0,w0分別為x,y,z方向上的中面位移;βx和βy分別為中面法線繞y軸和x軸的轉角。

在分析薄板時,一階剪切變形理論會因無法滿足Kirchhoff假設出現剪切自鎖現象。本文采用的簡化一階剪切變形理論是由一階剪切變形理論推導而來。首先將式(17)中的撓度w0分解為彎曲撓度wb和剪切撓度ws兩項,即w0=wb+ws;其次,將轉角變量分別由彎曲撓度對坐標的導數表示,即βx=-?wb/?x,βy=-?wb/?y。因此,簡化一階剪切變形理論的位移模式可表示為

(18)

在分析薄板時,剪切撓度ws可以忽略,從而滿足Kirchhoff假設,有效消除剪切自鎖現象。在分析中等厚度板時,簡化一階剪切變形理論既考慮了剪切變形,又僅包含4個未知變量(u0,v0,wb,ws),可以在保證精確性的同時提高計算效率。

式(18)可改寫為

(19)

其中,

(20)

根據幾何方程,應變-位移關系可表示為

(21)

式中,

(22)

廣義應變S為

(23)

式中,

(24)

1.3 本構方程

對于上、下層的壓電材料,其本構方程為

(25)

式中:σ和ε為應力和應變向量;Q為彈性系數矩陣;E為電場強度向量;D為電位移向量;e和g分別為壓電應力常數矩陣和介電常數矩陣。

彈性系數矩陣Q的定義為

(26)

其中,

(27)

壓電應力常數矩陣和介電常數矩陣分別為

(28)

(29)

本文僅考慮外部電場沿z軸方向的作用,并假設壓電層的每一個單元只有一個電自由度,因此,電場可表示為

E=-?φ=Bφφ

(30)

其中,

(31)

1.4 等幾何分析

二維NUBRS樣條基函數是由兩個一維B樣條基函數的張量積組成,可表示為

(32)

式中:wi,j為權因子;Bi,p(ξ)和Bj,q(η)分別為ξ方向上的p階和η方向上的q階B樣條基函數。

利用NURBS基函數,板的機械位移場可表示為

(33)

(34)

將式(34)代入式(24),廣義應變S可改寫為

(35)

其中,

(36)

(37)

(38)

1.5 控制方程

利用哈密頓變分原理(見式(39)),可推導出板結構的弱形式。

(39)

式中:t1和t2為起始和結束時間;L為總能量,包括動能T、勢能U和外力所做的功Wext。式(39)可展開為

(40)

將式(19)、式(25)和式(33)代入式(40),并對單元進行組裝,得到P-GPLs-FGP板的運動控制方程為

(41)

式中:Muu為質量矩陣;Kuu為機械剛度矩陣;Kφφ為壓電材料自適應剛度矩陣;Kuφ和Kφu為機電耦合剛度矩陣;f為機械載荷;fφ為壓電層表面的電荷面密度等效控制電量。其具體表達式為

(42)

其中,

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

2 算例分析

本章,首先通過分析GPLs-FGP板的固有頻率和P-GPLs-FGP板在機-電載荷作用下的靜態彎曲響應,對本文等幾何分析模型的有效性和準確性進行驗證。在此基礎上,分析了孔隙系數、孔隙分布形式、石墨烯質量分數、石墨烯分布方式、寬厚比和邊界條件對P-GPLs-FGP板的固有頻率和靜態彎曲響應的影響。本文所有數值算例的NURBS基函數階次均為p=q=3,網格密度均采用17×17。為方便起見,機械邊界條件簡寫為:簡支(S),固支(C),自由(F)。如未特殊說明,板的材料參數如表1所示。

表1 材料參數Tab.1 Material parameters

2.1 驗證性分析

2.1.1 GPLs-FGP板的固有頻率分析

一個四邊簡支板(SSSS)的尺寸為a=b=1 m,h=0.005a,hp=0.1h,hc=0.8h。上、下層為鋁,中心層為鋁基GPLs-FGP材料,孔隙和石墨烯都為均勻分布(PD-U, GPL-U)。石墨烯與孔隙的參數為lGPL=2.5×10-6m,wGPL=1.5×10-6m,tGPL=1.5×10-9m,WGPL=1.0%,e0=0.5。表2為板的第1、第5、第11和第21階固有頻率。可以看出,本文結果與Li等的解析解結果和Nguyen等基于HSDT的等幾何分析結果較為接近,這驗證了本文方法對于石墨烯增強功能梯度多孔板固有頻率分析的有效性和準確性。

表2 GPLs-FGP板的固有頻率Tab.2 Natural frequency of the GPLs-FGP plate

2.1.2 P-GPLs-FGP板的靜態彎曲分析

一個懸臂P-GPLs-FGP板的尺寸為a×b×h=400 mm×400 mm×5 mm,中間層的基體材料為黃銅,上、下壓電層為PZT-G1195N,厚度hp=0.1 mm。石墨烯納米片的尺寸和質量參數與2.1.1節相同,且e0=0.2。表3給出了不同孔隙和石墨烯分布形式下,板在q0=-100 N/m2均布機械載荷和電載荷作用下的中心線末端撓度。對比可知,同樣是基于IGA框架,本文采用簡化一階剪切變形理論的結果與Nguyen等采用高階剪切變形理論的結果較為吻合。

表3 機電載荷作用下懸臂P-GPLs-FGP板的末端撓度Tab.3 Tip deflection of the cantilevered P-GPLs-FGP plate subjected to the electro-mechanical loads 單位:10-4m

2.2 自由振動分析

一個P-GPLs-FGP板的尺寸為:a=b=400 mm,中心層是厚度為hc的鋁基GPLs-FGP板,上、下層是厚度為0.1 mm的PZT-G1195N。表4為WGPL=1.0 %,e0=0.2時,孔隙分布形式、石墨烯分布方式、基體的寬厚比和電學條件對四邊簡支板的固有頻率的影響。電學邊界條件分為短路和開路兩種,當電場強度為零而電位移不為零時,電學邊界條件為短路;當電位移為零而電場強度不為零時,電學邊界條件為開路。結果表明:①對于每一種孔隙分布,石墨烯為非均勻對稱分布(GPL-S)時板的固有頻率的最大,因此GPL-S型石墨烯分布方式對板的增強效果最好;②對于每一種石墨烯分布,板在孔隙非均勻對稱分布(PD-S)時的固有頻率最高;③開路邊界狀態下板的頻率略高于短路狀態;④隨著寬厚比的增大,板的固有頻率逐漸減小。表5給出了hc=20 mm、PD-S和GPL-S分布時孔隙系數和石墨烯質量分數對四邊簡支和四邊固支板前六階固有頻率的影響。可以看出,石墨烯質量分數的增大會引起板固有頻率的增大,而孔隙系數的增大使得板的固有頻率先減小后增大,且CCCC板的固有頻率高于SSSS板的固有頻率。圖4為四邊簡支板的前六階固有振型。為進一步驗證石墨烯質量分數WGPL與孔隙數e0對板固有頻率的影響,圖5為e0=0和e0=0.2時,石墨烯質量分數對不同孔隙和石墨烯分布形式下板固有頻率的影響。由圖5可知:①板內部不含孔隙(e0=0)和含孔隙(e0=0.2)時,固有頻率與石墨烯質量分數都近似呈線性關系,且固有頻率隨石墨烯質量分數增大而增大;②對于每一種孔隙分布,GPL-S型石墨烯分布方式對固有頻率的增強效果最好。圖6為WGPL=0 %和WGPL=1.0 %時,孔隙系數對不同孔隙和石墨烯分布形式下板的固有頻率的影響。可以看出:①PD-A和PD-U型孔隙分布時板的固有頻率隨孔隙系數增大而減小;②PD-S孔隙分布時固有頻率先隨孔隙系數的增大小幅度地減小,但當孔隙系數增大至一定程度時,固有頻率隨孔隙系數增大而增大。造成這種現象的原因是,孔隙系數的增大會同時減小基體的剛度和質量,當孔隙系數增大到一定程度時,質量的減小速率大于剛度的減小速率,使得固有頻率呈現增大的趨勢,該結論也與Gao等的結論一致。

表4 e0=0.2,WGPL=1.0%時P-GPLs-FGP板的固有頻率Tab.4 Natural frequency of the P-GPLs-FGP plate with e0= 0.2,WGPL=1.0% 單位:Hz

表5 石墨烯質量分數和孔隙系數對P-GPLs-FGP板固有頻率的影響Tab.5 Effects of GPLs weight fraction and porosity coefficients on natural frequencies of the P-GPLs-FGP plate 單位:Hz

圖4 四邊簡支板的前六階固有振型Fig.4 First six mode shapes of the SSSS plate

圖5 石墨烯質量分數對固有頻率的影響Fig.5 Effect of GPLs weight fraction on the natural frequency

圖6 孔隙系數對固有頻率的影響Fig.6 Effect of porosity coefficient on the natural frequency

綜合圖5和圖6可知,孔隙和石墨烯均為非均勻對稱分布(PD-S,GPL-S)時板的固有頻率最大。這是因為對稱分布時基體的上下面石墨烯密度大,孔隙體積小,使得石墨烯和基體充分結合,發揮其高剛度特性,增強板的承載能力。

圖7為不同邊界條件下,不含孔隙系數(e0=0)和石墨烯(WGPL=0)時(純鋁板)與含孔隙(e0=0.2)和石墨烯(WGPL=1.0 %)時在不同的分布形式下板固有頻率的變化趨勢。同樣可以看出,不同邊界條件下,孔隙和石墨烯為非均勻對稱分布形式時板的固有頻率最大。而且因為固支條件對結構的約束性更強,因此CCCC板的固有頻率>SCSC板的固有頻率>SSSS板的固有頻率>CFFF板的固有頻率。

圖7 不同機械邊界條件下P-GPLs-FGP板的固有頻率Fig.7 Natural Frequencies of P-GPLs-FGP plate with different mechanical boundary conditions

2.3 靜態彎曲分析

假設WGPL=1.0 %,e0=0.5,圖8所示為不同孔隙和石墨分布形式下懸臂板和四邊簡支板在機械載荷q0=-100 N/m2和電載荷UE=5 V下的撓度。可以看出:①不同載荷下PD-S和GPL-S型分布組合時板的撓度最小;②對于每一種孔隙分布,石墨烯GPL-S型分布對板的剛度增強效果最好,GPL-U型其次,GPL-A型最差;③對于每一種石墨烯分布,孔隙PD-S型分布時剛度最大,其次分別為PD-U和PD-A型分布。

圖8 不同載荷下孔隙和石墨分布形式對撓度的影響Fig.8 Effect of distribution types of porosity and GPLs on the deflection under different loads

為進一步研究孔隙系數和石墨烯質量分數對板靜態彎曲響應的影響,圖9和圖10分別為機-電載荷下板的撓度隨孔隙系數和石墨烯質量分數的變化趨勢。可以看出:①孔隙的增大導致板的剛度減小,因此撓度增大;②通過在基體中添加微量的石墨烯,能有效地增強板的剛度,石墨烯質量分數越大,板的剛度越大,撓度越小;③隨孔隙系數和石墨烯質量分數增大,PD-S型和GPL-S型分布形式組合時板的剛度仍然最大,撓度最小。

圖9 孔隙系數對P-GPL-FGP板撓度的影響Fig.9 Effect of porosity coefficient on the deflection of P-GPL-FGP plates

圖10 石墨烯質量分數對P-GPL-FGP板撓度的影響Fig.10 Effect of GPLs weight fraction on the deflection of P-GPL-FGP plates

圖11為板的寬厚比對P-GPLs-FGP板靜態彎曲響應的影響。由圖可知,寬厚比對板的撓度有明顯影響,隨寬厚比增大,板的整體剛度減小,撓度增大,寬厚比小于30時板的變形量較小且相對穩定。

圖11 寬厚比對P-GPL-FGP板撓度的影響Fig.11 Effect of width-to-thickness ratio on the deflection of P-GPL-FGP plates

3 結 論

本文基于簡化一階剪切變形理論和等幾何方法建立了P-GPLs-FGP板的等幾何數值分析模型,研究了孔隙分布形式、石墨烯分布方式、孔隙系數、石墨烯質量分數以及結構的寬厚比對板的自由振動和靜態彎曲響應的影響,得出下列結論:

(1) 與已有等幾何分析框架下的高階剪切變形理論結果相比,該模型能夠較準確地反映板的自由振動和靜態彎曲響應。

(2) PD-A和PD-U分布時固有頻率隨孔隙增大而減小,PD-S分布時板的固有頻率先隨孔隙系數的增大小幅度地減小,但當孔隙系數增大至一定程度時,固有頻率隨孔隙系數增大而增大;石墨烯質量分數增大,板的固有頻率增大。

(3) 孔隙系數增大,板的剛度減小,撓度增大;石墨烯質量分數增大,板的剛度增大,撓度減小。

(4) 石墨烯GPL-S型分布對板剛度的增強效果最好;孔隙PD-S型分布時板的剛度最大。因此,PD-S型和GPL-S型分布形式組合時板的剛度最大。