高階剪切變形理論下Pasternak地基上FG-CNTRC梁自由振動及屈曲分析

楊立軍, 彭林欣, 陳 衛

(1. 湖南文理學院 芙蓉學院,湖南 常德 415000; 2. 廣西大學 土木建筑工程學院,南寧 530004; 3. 南華大學 土木工程學院,湖南 衡陽 421001)

自從1991年碳納米管(carbon nanotubes, CNTs)被日本電鏡學家Iijima[1]發現以來,因其高模量、高比表面積等特性而迅速成為材料科學與工程科學領域的研究熱點。Shen[2]受到功能梯度材料的啟發,將碳納米管纖維以特定的形式排布而提出了功能梯度碳米管增強復合材料(functionally graded carbon nanotube-reinforced composite, FG-CNTRC)概念。梁、板、殼作為工程結構中最基本的元件,將這些元件設計成該新型的復合材料自然成為研究者們關注的焦點[3-6]。

對于FG-CNTRC梁的研究有:Ke等[7]基于一階剪切變形理論(first order shear deformation theory, FSDT),采用微分求積法(differential quadrature method, DQM)研究了UD型和FG-Λ型梁的自由振動及屈曲問題;Lin等[8]基于三階剪切變形理論(third-order shear deformation theoy, TSDT)和瑞茲法,分析了UD型、FG-V型、FG-O型和FG-X型梁的自由振動問題,得到簡支邊界條件下,FSDT梁與TSDT梁所獲得數值結果基本一致,而固支結果差異較大;Voduy等[9]利用FSDT及有限元法,研究了碳納米管增強層合梁的自由振動問題;Yas等[10]采用FSDT及廣義微分求積法(generalized differential quadrature method, GDQM)討論了不同地基系數、碳納米管分布及效能參數對FG-CNTRC梁自由振動及臨界屈曲荷載的影響;Shen等[11]利用GDQM研究了熱環境下Pasternak地基上單壁碳納米管(single-walled carbon nanotubes, SWCNT)增強納米復合材料梁的非線性彎曲、振動和后屈曲行為;Wattanasakulpong等[12]基于不同剪切變形理論下,利用Navier解答給出了簡支邊界條件下Pasternak地基上FG-CNTRC梁線性彎曲、自由振動及屈曲的解析解;余陽等[13]根據流體滑移邊界理論,建立了考慮流體和固體小尺度效應的充流SWCNT流固耦合動力學模型,再考慮了非局部應力效應、應變梯度效應和流體滑移邊界效應模擬微觀小尺度效應對系統的影響,推導了充流SWCNT的Euler-Bernoulli梁波動控制方程;Bensaid等[14]基于歐拉梁理論(Euler-Bernoulli theory, EBT),研究了熱環境下Pasternak地基上FG-CNTRC梁的熱屈曲問題;范健宇[15]基于FSDT結合Haar小波離散和直接迭代法,求解了非線性Pasternak地基上FG-CNTRC梁的非線性自由振動問題。

無網格法克服了網格類數值算法對網格的依賴,在涉及網格畸變、大變形等問題時具有明顯的優勢,但大部分無網格法的形函數構造不滿克羅內克條件,存在邊界施加困難問題[16]。移動克里金法是基于變異函數理論結構分析,通過對局部區域變量進行最優無偏估計而實現數據插值的算法,具備插值特性可以直接施加邊界條件。該方法最早起源1951年,南非工程師Krige[17]為了實現威特沃特斯蘭德的礦藏空間預測提出的回歸方法。法國統計學家Matheron[18]定義了普通克里金(ordinary Kriging, OK)法,并給出嚴格的數學證明,為克里金法的發展奠定了的理論基礎。Sacks等[19]成功將克里金法應用于計算機試驗中,進一步推進克里金法在數值領域的應用。在此基礎之上,Gu[20]使用克里金法構造無單元伽遼金法中的近似場函數,提出了一種新的插值型無網格方法。常用的多項式基函數在移動克里金無網格離散節點間距較小時,會使得插值變得不穩定。為了消除節點間距的影響,Tu等[21]采用歸一化的多項式基函數而提出了穩定移動克里金插值(stabilized moving Kriging interpolation, SMKI)。

綜上可知,目前對于FG-CNTRC梁的研究在國內較為罕見,且采用無網格法研究FG-CNTRC梁自由振動及屈曲未見相關報道。本文旨在采用穩定移動克里金插值研究不同高階剪切變形理論下Pasternak地基上FG-CNTRC梁的自由振動及屈曲問題。首先給出不同高階剪切變形理論的Pasternak地基上FG-CNTRC梁的無網格離散模型。隨后通過基準算例,檢驗本文方法的收斂性及有效性。最后數值分析和討論了不同高階剪切理論、CNT分布、體積分數、地基系數等對FG-CNTRC梁的自由振動及臨界屈曲荷載的影響。

1 數學模型

1.1 Pasternak地基上FG-CNTRC梁

為了在復合材料物理模型參數中能夠計入尺寸、界面及應變梯度效應等影響,Shen于2009年考慮了碳納米管的尺寸及溫度依賴性,引入碳納米管的效能參數而提出廣泛應用的廣義混合律模型

(1)

式中:ηj(j=1,2,3)為碳納米管的效能參數,可通過匹配廣義混合律模型預測得到的彈性模量、剪切模量及分析動力學計算得到的彈性模量、剪切模量得到;E11,CNT,E22,CNT,G12,CNT分別為碳納米管的彈性模量和剪切模量, 下標11、下標22分別為沿著及垂直碳納米管的方向;Em,Gm分別為基體的彈性模量和剪切模量;VCNT,Vm分別為碳納米管和基體的體積分數。 FG-CNTRC梁泊松比和質量密度定義為

(2)

ρ=VCNTρCNT+Vmρm

(3)

式中:v12為FG-CNTRC的等效泊松比;v12,CNT,vm分別為碳納米管和基體的泊松比;ρ為FG-CNTRC的等效密度;ρCNT,ρm分別為碳納米管和基體的質量密度。

對于金屬-陶瓷功能梯度材料,通常可假設金屬/陶瓷材料滿足冪律變化[22],但是FG-CNTRC在工程制備中只能做到線性梯度排布[23]。如圖1所示,Pasternak地基上FG-CNTRC梁的長、高分別為L,h。以梁中面建立x-y-z坐標系,z為沿著厚度方向的坐標。本文考慮碳納米管在基體的4種分布模式,即UD型、FG-Λ型、FG-O型和FG-X型,如圖2所示。相應的體積分數可表示為

圖1 Pasternak上功能碳納米管增強梁Fig.1 A FG-CNTRC beam resting on Pasternak foundation

圖2 碳納米管4種分布類型Fig.2 Four types of CNT distribution

(4)

其中,

(5)

式中,wCNT為碳納米管的質量分數。

Pasternak地基模型[24]為

qe(x,y)=Kww(x,y)-Ks(?2w/?x2)

(6)

式中:Kw為地基彈性模量;Ks為地基剪切模量。

1.2 應變及能量泛函

根據高階剪切變形理論,假定變形前垂直于中面的法線在變形后為曲線,且不再垂直于中面。即高階剪切變形理論考慮了橫向剪切應變沿板厚的拋物線分布,梁的位移場可以表示為

(7)

式中:u0和w0分別為中性軸上任意一點沿著x軸和z軸的平動位移;v0為中性軸上任意一點的橫向剪切應變,表達式如下

(8)

式中:φy為撓y軸的轉動;t為時間;ψ(z)為沿梁厚度方向的橫向剪切應變和應力的分布函數。通過選擇不同的函數可以得到不同的剪切變形理論,表達式分別為

(1) 一階剪切變形理論[25]

ψ(z)=z

(9)

(2) 三階剪切變形理論(third-order shear deformation theory, TSDT)[26]

(10)

(3) 三角剪切變形理論(trigonometric shear deformation theory, TrSDT)[27]

(11)

(4) 雙曲剪切變形理論(hyperbolic shear deformation theory, HSDT)[28]

(12)

(5) 指數剪切變形理論(exponential shear deformation theory, ESDT)[29]

(13)

根據幾何方程,有應變-位移關系如下

(14)

(15)

根據胡克定律,有應力-應變關系如下

(16)

其中,

(17)

FG-CNTRC梁的應變能可寫為

(18)

其中,

(19)

由式(6),Pasternak地基勢能的一階變分為

(20)

自由振動時,FG-CNTRC梁的動能為

(21)

屈曲時,FG-CNTRC梁勢能為

(22)

將式(18)和式(20)～式(21)進行疊加,可得Pasternak地基上FG-CNTRC梁自由振動的總能量泛函為

Πv=Ub+Ue-Θ

(23)

將式(18)和式(20)、式(22)進行疊加,可得Pasternak地基上FG-CNTRC梁屈曲的總能量泛函為

Πb=Ub+Ue-Wg

(24)

1.3 穩定移動克里金插值

假設點x的子域Ωx中的移動克里金(moving Kriging, MK)插值uh(x)是線性回歸模型和偏差的組合,可定義為

(25)

式中:pi(x)為單項基函數;ai(x)為相應的系數;num為基函數個數。

為了防止節點間距影響MK近似的穩定性,采用歸一化的基函數p(x)如下

(26)

式中:xe為Ωx中任意點xe的坐標;dnum為子域Ωx的影響半徑

dnum=αdave

(27)

式中:dave為平均節點間距;α為比例因子。

式(25)中z(x)表示點x的隨機偏差、均值為0,方差σ2,z(xi)和z(xj)之間的協方差表示為

Cov{z(xi),z(xj)}=σ2R[R(xi,xj)]

(28)

式中:R[R(xi,xj)]為相關矩陣;R(xi,xj)為位于Ωx的任意兩個節點(xi,xj)之間的相關函數。本文采用常用高斯函數為

(29)

式中,a0為支持域Ωx中一對節點之間的最大距離。

基于最佳線性無偏預測(best linear unbiased prediction, BLUP),式(25)可改寫為

uh(x)=N(x)u=[PT(x)A+RT(x)B]u

(30)

式中:N=[N(x,x1),N(x,x2), …,N(x,xn)]為形函數矩陣;uT=[u1,u2, …,un]為節點xi處的節點值;A和B分別為

(31)

其中,

穩定移動克里金形函數具有Kronecker delta特性,可以直接施加本質邊界條件,表達式如下

(32)

1.4 控制方程

對FG-CNTRC梁采用一系列節點xI,I=1,2,…,n進行離散,利用式(30)可得到近似位移為

(33)

將式(33)代入式(23),根據Hamilton原理可得Pasternak上FG-CNTRC梁自由振動控制方程為

(34)

相應的特征方程為

(K-ω2M)δ=0

(35)

其中,

將式(33)代入式(24),根據最小勢能原理,由δΠb=0可得Pasternak地基上FG-CNTRC梁屈曲控制方程為

(K-NcrG)δ=0

(36)

1.5 邊界條件

考慮固支(C)、鉸結(H)和自由(F)三種邊界條件,以x=±L/2為例有:C,u0=w0=φy=0; H,u0=w0=0; F,沒有限制。

2 數值結果與討論

本章首先通過FSDT及不同剪切變形理論下Pasternak地基上兩端鉸結FG-CNTRC梁4個算例,驗證本文方法的收斂性及有效性;接著給出不同高階剪切理論、地基系數、碳納米管分布下FG-CNTRC梁自由振動及屈曲相關算例,并對其參數分析。

表1 CNTs的材料參數Tab.1 Material parameters of CNTs

表2 CNTs的效能參數Tab.2 Efficiency parameters of CNTs

2.1 收斂性及有效性分析

以Pasternak地基上兩端鉸結FG-CNTRC梁為例,驗證本文方法計算自由振動的收斂性。表3給出了一階剪切變形理論下Pasternak地基上兩端鉸結FG-CNTRC梁(L/h=15)的無量綱基礎頻率收斂情況,Yas等研究中基于FSDT的廣義微分求積法的數值結果,如表3所示。由表3可知,隨著無網格節點數的增多,采用本文方法計算得到的結果能夠迅速逼近文獻解。當采用11個節點數進行離散時,本文解與文獻解基本一致,證明本文方法求解Pasternak地基上FG-CNTRC梁的自由振動具有良好的收斂性。

表3 一階剪切變形理論下兩端鉸結Pasternak地基上FG-CNTRC梁的無量綱基礎頻率收斂性分析 Tab.3 Convergence analysis of dimensionless fundamental frequency of FG-CNTRC beam on Pasternak foundation with hinged-hinged boundary condition

采用3,7,11,15,17無網格節點數計算一階剪切變形理論下Pasternak地基上兩端固支FG-CNTRC梁的無量綱臨界屈曲荷載,并與Yas等研究中基于FSDT的GDQM得到的結果進行對比,如表4所示。由表4可知,隨著無網格節點數的增多,數值結果趨近于文獻解。證明了本文方法中一階剪切變形理論框架下求解Pasternak地基上FG-CNTRC梁臨界屈曲荷載具有較好的收斂性。與文獻解對比,4種CNT分布型誤差分別為UD型——1.428%,FG-Λ型——1.242%,FG-O型——0.748%和FG-X型——2.159%,證明了本文方法求解Pasternak地基上FG-CNTRC梁屈曲問題的有效性。

表4 一階剪切變形理論下Pasternak地基上兩端固支FG-CNTRC梁的無量綱臨界屈曲荷載收斂性分析 Tab.4 Convergence analysis of dimensionless critical buckling load of FG-CNTRC beam on Pasternak foundation with clamped-clamped boundary condition under the FSDT

采用N=11計算了體積分數為0.12,跨高比L/h=15,Pasternak地基上兩端鉸結FG-CNTRC梁在不同剪切變形理論下的無量綱基礎頻率及臨界屈曲荷載,并將Wattanasakulpong等只考慮簡支邊界條件下的解析解進行對比分析,FSDT*的數值結果來源于Yas等的研究,如表5和表6所示。由表5和表6可知,本文解與文獻解吻合良好,證明了基于不同剪切變形理論的穩定移動克里金插值求解Pasternak地基上兩端鉸結FG-CNTRC梁自由振動及屈曲的有效性及準確性。

表5 不同剪切變形理論Pasternak地基上兩端鉸結FG-CNTRC梁無量綱基礎頻率Tab.5 Dimensionless fundamental frequencies of FG-CNRC beams on Pasternak foundation with hinged-hinged boundary condition under different shear deformation theories

表6 不同剪切變形理論下Pasternak地基上兩端鉸結FG-CNTRC梁無量綱臨界屈曲荷載Tab.6 Dimensionless critical buckling load of FG-CNRC beams on Pasternak foundation with hinged-hinged boundary condition under different shear deformation theories

據以上分析,后續算例分別采用6個,11個,13個,16個,21個,26個,31個,36個和41個節點對跨高比L/h為5,10,12,15,20,25,30,35和40的FG-CNTRC梁進行離散。

2.2 自由振動參數分析

體積分數為0.17,跨高比L/h=10的FG-CNTRC梁無量綱基礎頻率,如表7所示。由表7可知,采用本文方法中的一階、三階剪切變形理論計算所獲得數值結果與Lin等基于一階、三階剪切理論的瑞茲法結果較為近似,說明了本文方法求解不同邊界條件下FG-CNTRC梁自由振動的準確性。另外還可知鉸結邊界條件時,不同高階剪切理論數值結果與一階剪切變形理論的結果相差甚少,而固支邊界條件時,二者相差極大。導致其形成較大差異的主要原因是二者理論下的固支和鉸結端名義剪應變差異較大。這也說明了基于高階剪切變形理論的數值算法必要性。

表7 不同剪切變形理論下FG-CNTRC梁無量綱基礎頻率Tab.7 Dimensionless fundamental frequencies of FG-CNRC beams under different shear deformation theories

體積分數為0.17,跨高比L/h=0.12的Pasternak地基上UD型、FG-Λ型及FG-X型梁在不同高階剪切變形理論下前4階無量綱自振頻率,如表8和表9所示。由表8和表9可知,3種CNT分布型梁的自振頻率均隨著地基系數增大而增大。同樣可以發現在固支邊界條件下,FSDT與不同高階剪切理論所得到的數值結果差異較大。體積分數為0.17,跨高比L/h=12, 地基系數(kw,ks)=(0.10,0.02)不同剪切理論下兩端固支Pasternak地基UD型梁前4階振動模態,如圖3所示。4種不同的高階剪切變形理論與FSDT的模態基本一致。

表8 不同高階剪切變形理論下兩端鉸結/固支UD型梁前4階無量綱自振頻率Tab.8 Dimensionless first-four natural frequencies of UD beams with H-H/C-C boundary condition under different shear deformation theories

表9 兩端鉸結FG-Λ型及FG-X型梁前四階無量綱自振頻率Tab.9 Dimensionless first-four natural frequencies of FG-Λ/FG-X beams with hinged-hinged boundary condition

圖3 不同剪切理論下Pasternak地基上兩端固支UD型梁前4階振動模態Fig.3 The first four vibration modes of UD beam on Pasternak foundation with clamped-clamped boundary condition under different shear theories (L/h=12, (kw, ks)=(0.10,0.02))

不同邊界條件、體積分數、CNT分布下Pasternak地基上FG-CNTRC梁無量綱基礎頻率隨跨高比的變化,相關計算參數如圖4～圖6所示。由圖3～圖5可知,Pasternak地基上FG-CNTRC板的基礎頻率存在以下規律:①隨著跨高比的增大而減少;②當體積分數為0.28所獲得基礎頻率最大,體積分數為0.17次之,體積分數為0.12最小;③4種CNT分布型的基礎頻率為FG-X型>UD型>FG-Λ型>FG-O型,其中UD型和FG-Λ型基礎頻率相差較少。導致出現上述規律的根本原因是參數的變化引起結構的剛度變化。除此之外,還可以發現FG-CNTRC板的基礎頻率隨著邊界約束的加強而增大,4種邊界條件下的基礎頻率大小依次為C-C>C-H>H-H>C-F。

圖4 不同邊界條件下Pasternak地基上FG-X型梁無量綱基礎頻率隨跨高比的變化Fig.4 Variation of dimensionless fundamental frequency of FG-X beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different boundary conditions

圖5 不同體積分數下Pasternak地基上FG-X型梁無量綱基礎頻率隨跨高比的變化Fig.5 Variation of dimensionless fundamental frequency of FG-X beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different volume fractions

圖6 不同CNT分布下Pasternak地基上FG-CNTRC梁無量綱基礎頻率隨跨高比的變化Fig.6 Variation of dimensionless fundamental frequency of FG-CNTRC beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different CNT distributions

2.3 屈曲參數分析

運用本文方法對Pasternak地基上FG-CNTRC梁的臨界屈曲荷載進行分析和討論。不同剪切變形理論、地基系數、CNT分布形式及體積分數對兩端鉸結FG-CNTRC梁(L/h=15)臨界屈曲荷載的影響,如表10所示。由表10可知:臨界屈曲荷載隨著地基系數的增大而增大,隨著CNT體積分數的增大而增大;對于L/h=15的Pasternak地基上FG-CNTRC梁,不同橫向剪切變形理論下所獲得該算例的數值結果差異較小。不同剪切變形理論下Pasternak上兩端鉸結FG-X型梁臨界屈曲荷載隨跨高比的影響,如表11所示。研究結果可以發現:FG-CNTRC梁的臨界屈曲荷載隨著跨高比的增大而減少;當跨高比大于30時,高階剪切變形理論下所獲得數值結果與FSDT結果相差甚少。

表10 不同剪切變形理論下Pasternak地基上兩端鉸結FG-CNTRC梁臨界屈曲荷載(L/h=15)Tab.10 Dimensionless critical buckling load of FG-CNRC beams on Pasternak foundation with hinged-hinged boundary condition under different shear deformation theories (L/h=15)

表11 不同剪切變形理論下Pasternak地基上兩端鉸結FG-X型梁臨界屈曲荷載Tab.11 Dimensionless critical buckling load of FG-X beams with hinged-hinged boundary condition under different shear deformation theories (kw, ks)=(0.10,0.02))

不同邊界條件、體積分數、CNT分布下Pasternak地基上FG-CNTRC梁無量綱臨界屈曲荷載隨跨高比的變化,相關計算參數如圖7～圖9所示。由圖7～圖9可知,Pasternak地基上FG-CNTRC的臨界屈曲荷載存在以下規律:①隨著跨高比的增大而減少;②邊界條件下的臨界屈曲荷載大小依次為C-C>C-H>H-H>C-F;③3種體積分數下的臨界屈曲荷載大小依次為0.28>0.17>0.12;④4種CNT分布型的臨界屈曲荷載為FG-X型>UD型>FG-Λ型>FG-O型,其中UD型,FG-Λ型相差較少。

圖7 不同邊界條件下Pasternak地基上FG-X型梁無量綱臨界屈曲荷載隨跨高比的變化Fig.7 Variation of dimensionless critical buckling load of FG-X beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different boundary conditions

圖8 不同體積分數下Pasternak地基上FG-X型梁無量綱臨界屈曲荷載隨跨高比的變化Fig.8 Variation of dimensionless critical buckling load of FG-X beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different volume fractions

圖9 不同CNT分布下Pasternak地基上FG-CNTRC梁無量綱臨界屈曲荷載隨跨高比的變化Fig.9 Variation of dimensionless critical buckling load of FG-CNTRC beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different CNT distributions

3 結 論

本文基于不同高階剪切變形理論,采用穩定移動克里金插值求解了Pasternak地基上功能梯度碳納米管增強復合材料梁的自由振動及屈曲問題。通過基準算例驗證了本文方法的收斂性及有效性。分析和討論了不同高階剪切理論、地基系數、邊界條件、CNT體積分數及分布型對其自振頻率及臨界屈曲荷載的影響,數值結果發現:

(1) 基于不同高階剪切變形理論所獲得的自振頻率與基于一階剪切變形的數值結果存在一定差異,其中固支邊界得到的自振頻率相差極為明顯。

(2) 自振頻率及臨界屈曲荷載均隨著地基系數的增大而增大,隨著跨高比的增大而減小,隨著邊界條件約束的增強而增大。

(3) CNT分布及體積分數對結構剛度的影響較大,導致FG-CNTRC梁的自振頻率及臨界屈曲荷載影響差異較大,體積分數和CNT分布對FG-CNTRC梁的結構剛度大小分別依次為0.28>0.17>0.12,FG-X型>UD型>FG-Λ型>FG-O型。