雙數(shù)態(tài)輸入型M-Z干涉儀中量子相位的最大似然估計(jì)和貝葉斯分析

李 巖, 師昳婧, 任志紅

(1．太原師范學(xué)院 物理系, 晉中030619; 2. 太原師范學(xué)院 計(jì)算物理與應(yīng)用物理研究所,晉中 030619; 3. 山西師范大學(xué) 物理與信息工程學(xué)院,太原 030031)

1 引 言

基于量子力學(xué)基本原理所開展的高精度相位估計(jì)是當(dāng)前國(guó)內(nèi)外精密測(cè)量領(lǐng)域研究的重點(diǎn)課題[1，2]，如引力波探測(cè)[3]，重力常數(shù)測(cè)量[4]，等效性原理驗(yàn)證[5]等，其不僅有利于我們對(duì)自然界物理常數(shù)的準(zhǔn)確測(cè)定，也有助于當(dāng)前量子科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展[6]. 在物理學(xué)中，相位可以被估計(jì)，但不能被測(cè)量，就像時(shí)間一樣，無法找到一個(gè)可觀測(cè)物理量與其相對(duì)應(yīng)，所以相位估計(jì)的原理是通過對(duì)可選擇物理量的測(cè)量，結(jié)合其與相位的函數(shù)關(guān)系，獲得待測(cè)相位的相關(guān)信息，如相位平均值及方差[7].

作為相位估計(jì)的理想載體，干涉儀在科學(xué)研究的發(fā)展中起到了非常重要的作用，比如早期的邁克爾遜-莫雷干涉儀，就是通過對(duì)光在不同干涉儀臂上傳播的時(shí)間差所導(dǎo)致的相位差來探測(cè)以太是否存在[8]. 馬赫-曾德爾(Mach-Zehnder，M-Z)干涉儀 是另外一種常見的光學(xué)干涉儀，廣泛地應(yīng)用在量子力學(xué)的基礎(chǔ)研究中，包括量子糾纏、量子芝諾效應(yīng)等[9]. 1981年，美國(guó)科學(xué)家Calton M.Caves教授指出，將M-Z干涉儀的閑置端口輸入壓縮真空態(tài)可以有效地提高待估參數(shù)的精度，甚至超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限[10]. 由此揭開了以量子糾纏或量子壓縮為資源的量子計(jì)量序幕[11，12]，對(duì)量子相位進(jìn)行精確估計(jì)成為了精密測(cè)量研究的核心內(nèi)容[13].

雙數(shù)態(tài)(twin-Fock state，tFs)是Dicke態(tài)不同分類中的一種，在精密測(cè)量方面有著不錯(cuò)的表現(xiàn)[14]. 與最大糾纏態(tài)GHZ態(tài)相比，其具有較強(qiáng)的抗噪性，與其他類型的Dicke態(tài)(如W態(tài))相比，其在高精度測(cè)量方面表現(xiàn)最優(yōu)，故在實(shí)驗(yàn)和理論上雙數(shù)態(tài)被廣泛地進(jìn)行研究[15-20]. 但大部分研究是從頻率論角度出發(fā)，利用最大似然估計(jì)方法對(duì)其相位精度進(jìn)行研究，較少采用貝葉斯分析開展研究.

本文將基于雙數(shù)態(tài)輸入的M-Z干涉儀，探究最大似然估計(jì)和貝葉斯分析對(duì)量子相位估計(jì)精度的影響. 通過對(duì)干涉儀輸出端粒子數(shù)差和宇稱測(cè)量的理論計(jì)算和數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)采用貝葉斯分析結(jié)合粒子數(shù)差測(cè)量，可實(shí)現(xiàn)全相位空間的最優(yōu)測(cè)量，即達(dá)到量子Fisher信息給出的測(cè)量精度極限，與此同時(shí)，采用貝葉斯分析所需的測(cè)量樣本數(shù)更少. 另外，我們還對(duì)宇稱測(cè)量方案進(jìn)行了分析研究，通過最大似然估計(jì)方法驗(yàn)證了量子相位估計(jì)精度會(huì)隨待估相位θ0的變化發(fā)生改變，與粒子數(shù)差測(cè)量結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了前者的優(yōu)越性.

2 模型及相關(guān)概念

2.1 M-Z干涉儀及其施溫格表示

一般地，在粒子數(shù)表象中，雙數(shù)態(tài)可以表示為[20]

(1)

(2)

屬于Bell態(tài)中的一種，或稱兩比特W態(tài). 2017年，清華大學(xué)尤力教授領(lǐng)導(dǎo)的實(shí)驗(yàn)小組就利用量子相變產(chǎn)生了近1000個(gè)原子的雙數(shù)態(tài)糾纏，促進(jìn)了量子計(jì)量學(xué)的發(fā)展[16].

圖 1 馬赫曾德爾干涉儀工作示意圖. Fig. 1 Schematic plot of Mach-Zehnder interferometer

雙數(shù)態(tài)輸入型馬赫曾德干涉儀可由上圖1表示，其中a，b端口進(jìn)行雙數(shù)態(tài)(如光子)的輸入，經(jīng)過分束器(紅色部分)，反射鏡，待測(cè)參數(shù)M以相位差θ0的形式編碼到量子態(tài)上，再經(jīng)分束器合并，最后在輸出端c，d進(jìn)行粒子數(shù)差或宇稱測(cè)量，進(jìn)而獲取待測(cè)參數(shù)的相關(guān)信息.

依據(jù)角動(dòng)量施溫格表象與粒子數(shù)表象的對(duì)應(yīng)關(guān)系[21]，

M-Z干涉儀三部分操作過程可以表示為

(3)

(4)

可將M-Z干涉儀輸出端的雙數(shù)態(tài)表示為

(5)

2.2 量子Fisher信息

在無偏差參數(shù)估計(jì)中，F(xiàn)isher信息扮演著非常重要的角色，用來給定測(cè)量精度的上限. 一般地，對(duì)于試驗(yàn)獲取的條件概率p(μ|θ)，即在給定相位θ條件下對(duì)物理量M進(jìn)行測(cè)量得到的概率分布，其Fisher信息可以表示為

(6)

依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower bound)

(7)

可借助系統(tǒng)Fisher信息的計(jì)算，得到測(cè)量精度的理論極限.

(8)

2.3 最大似然估計(jì)和貝葉斯分析

最大似然估計(jì)和貝葉斯分析是參數(shù)估計(jì)中常見的兩種方法，彼此有各自的特點(diǎn). 最大似然估計(jì)認(rèn)為待估參數(shù)是確定的，其值可通過似然函數(shù)取極大值進(jìn)行獲取. 而貝葉斯分析則認(rèn)為待估參數(shù)是不確定的、隨機(jī)的，可通過后驗(yàn)概率分布來進(jìn)行獲取.

一般地，對(duì)于單次測(cè)量得到的條件概率p(μ|θ0)(其中θ0為待估計(jì)參數(shù))，進(jìn)行m次重復(fù)測(cè)量(作為樣本)，可得似然函數(shù)，

(9)

對(duì)其求最大值，便可得到最大似然估計(jì)值，

θMLE=arg maxp(μ1，μ2，...，μm|θ0)

(10)

將m次樣本測(cè)量作為整體進(jìn)行重復(fù)n次，可得n個(gè)估計(jì)值，進(jìn)而獲取其平均值〈θest〉及標(biāo)準(zhǔn)差Δθ.

貝葉斯分析則基于貝葉斯定理，從后驗(yàn)概率分布的角度出發(fā)進(jìn)行研究，

(11)

其中，p(θ0)為先驗(yàn)概率. 通過后驗(yàn)概率分布p(θ|μ1，μ2，...，μm)，可獲得待估相位θ0的估計(jì)值θest及其標(biāo)準(zhǔn)差Δθest，即

(12)

(13)

與最大似然估計(jì)方法一樣，重復(fù)n次，可得n個(gè)估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)差，經(jīng)過平均可得最后結(jié)果〈θest〉和〈Δθ〉.

3 理論分析與數(shù)值模擬

針對(duì)粒子數(shù)差和宇稱測(cè)量?jī)煞N方案，將首先進(jìn)行進(jìn)行理論計(jì)算分析；其次，通過蒙特卡洛數(shù)值模擬條件概率，獲取兩種測(cè)量方案所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；最后，采用最大似然估計(jì)和貝葉斯分析方法，探究相位估計(jì)精度隨實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)m的變化關(guān)系.

3.1 粒子數(shù)差測(cè)量

p(μ|θ)=|〈N/2，μ|e-iθJy|N/2，0〉|2

(14)

(15)

(16)

容易發(fā)現(xiàn)二者是一致的. 從理論上講，這表明粒子數(shù)差測(cè)量是最優(yōu)的測(cè)量方案. 那么在實(shí)際測(cè)量中，表現(xiàn)如何呢？通過蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們分別采用最大似然估計(jì)和貝葉斯分析對(duì)其開展研究.

針對(duì)條件概率p(μ|θ)，進(jìn)行數(shù)值模擬，獲取粒子數(shù)差(隨機(jī)變量)μ的數(shù)據(jù)，開展待估相位θ0的最大似然估計(jì)和貝葉斯分析(具體流程如2.3小節(jié)所述)，探究相位估計(jì)值θest及其精度mΔ2θ隨樣本數(shù)目m的變化關(guān)系. 對(duì)于雙數(shù)態(tài)(1)來說，由于其條件概率分布p(μ|θ)=p(-μ|θ)具有對(duì)稱性，當(dāng)采用最大似然估計(jì)進(jìn)行研究時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)無法確定真實(shí)相位θ0. 因此，在本文的研究中，我們限定了待估計(jì)θ0的變化范圍，即θ0?[0，π/2]區(qū)間，這一點(diǎn)在文獻(xiàn)[18]中也有提到.

圖 2 對(duì)待估相位θ0=0.02π分別采用最大似然估計(jì)(黑點(diǎn))和貝葉斯推斷(紅點(diǎn))進(jìn)行分析的結(jié)果. (a)和(b)分別表示當(dāng)粒子數(shù)N=8時(shí)，相位估計(jì)精度mΔ2θ和相位估計(jì)差值〈θest〉-θ0隨樣本數(shù)m的變化. (c)和(d)表示粒子數(shù)N=12的結(jié)果. 其中，(a)和(c)中的藍(lán)色直線代表量子測(cè)量極限，1/FQ. Fig. 2 Maximum likelihood estimation (black point)and Bayesian inference (red dot)of the estimated phaseθ0=0.02π. (a)and (b)represent the phase estimation precision mΔ2θ and the difference value 〈θest〉-θ0 with respect to the number of sample m in N=8 tFs，respectively. (c)and (d)represent the results of N=12 tFs. The blue lines in (a)and (c)denote quantum measurement limit，1/FQ.

如圖2所示，在N=8和N=12雙數(shù)態(tài)輸入的M-Z干涉儀中，通過粒子數(shù)差測(cè)量，對(duì)待估相位θ0=0.02π進(jìn)行兩種方案下的估計(jì)研究. 針對(duì)樣本m=1，2，...，100，我們分別重復(fù)n=2000次試驗(yàn)進(jìn)行研究，貝葉斯分析所采用的先驗(yàn)概率分布函數(shù)為0到π/2的均勻分布函數(shù)p(θ)=2/π. 研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)雙數(shù)態(tài)粒子數(shù)N較小時(shí)，需要更多的樣本才能達(dá)到無偏差估計(jì)；當(dāng)粒子數(shù)N較大時(shí)，所需的樣本數(shù)m變少. 此外，采用貝葉斯分析進(jìn)行相位估計(jì)，達(dá)到測(cè)量精度極限所需的需樣本數(shù)m較最大似然估計(jì)更少一些. 圖3是對(duì)待估相位θ0=0.01π進(jìn)行了兩種方法研究結(jié)果的對(duì)比，表明當(dāng)待估相位值較大時(shí)，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確估計(jì)所需的樣本數(shù)m變小，兩種方法的表現(xiàn)近乎一致.

圖 3 對(duì)待估相位θ0=0.01π分別采用最大似然估計(jì)(黑點(diǎn))和貝葉斯推斷(紅點(diǎn))進(jìn)行分析的結(jié)果. (a)和(b)分別表示當(dāng)粒子數(shù)N=8時(shí)，相位估計(jì)精度mΔ2θ和相位估計(jì)差值〈θest〉-θ0隨樣本數(shù)m的變化. (c)和(d)表示粒子數(shù)N=12的結(jié)果. 其中，(a)和(c)中的藍(lán)色直線代表量子測(cè)量極限，1/FQ. Fig. 3 Maximum likelihood estimation (black point)and Bayesian inference (red dot)of the estimated phaseθ0=0.01π. (a)and (b)represent the phase estimation precision mΔ2θ and the difference value 〈θest〉-θ0 with respect to the number of sample m in N=8 tFs，respectively. (c)and (d)represent the results of N=12 tFs. The blue lines in (a)and (c)denote quantum measurement limit，1/FQ.

為了更為清晰地了解在整個(gè)相位空間[0，π/2]上的表現(xiàn)，我們對(duì)粒子數(shù)N=8，12，20的雙數(shù)態(tài)進(jìn)行了分析研究，如圖4所示，這里選取樣本數(shù)m=100，重復(fù)次數(shù)n=2000. 從圖4(a)，圖4(c)和圖4(e)的對(duì)比中可以看出，當(dāng)雙數(shù)態(tài)所含粒子數(shù)N較小時(shí)，貝葉斯分析(紅點(diǎn))和最大似然估計(jì)(黑點(diǎn))無法在整個(gè)相位區(qū)間實(shí)現(xiàn)最優(yōu)估計(jì)(Δθmin)，特別是當(dāng)待估相位θ0靠近中間區(qū)域時(shí)，兩種方法均出現(xiàn)了誤差. 當(dāng)粒子數(shù)N較大時(shí)，貝葉斯分析在整個(gè)相位空間實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)相位估計(jì)，最大似然估計(jì)原則上應(yīng)該也實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)相位估計(jì)，但由于此處樣本值m較大，最大似然函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜，導(dǎo)致相位估計(jì)值及其精度不準(zhǔn)確，這也從側(cè)面體現(xiàn)了貝葉斯分析的優(yōu)越性.

圖4 對(duì)待估相位θ0?[0，π/2]分別采用最大似然估計(jì)(黑點(diǎn))和貝葉斯估計(jì)(紅點(diǎn))進(jìn)行分析的結(jié)果. (a)和(b)分別表示當(dāng)粒子數(shù)N=8時(shí)，相位估計(jì)精度mΔ2θ和相位估計(jì)差值〈θest〉-θ0隨樣本數(shù)m的變化. (c)和(d)表示粒子數(shù)N=12的結(jié)果. (e)和(f)表示粒子數(shù)N=20的結(jié)果. 其中，黑色的直線代表散粒噪聲極限，即1/N，紅色的直線代表量子測(cè)量極限，1/FQ.Fig. 4 Maximum likelihood estimation (black point)and Bayesian inference (red dot)of the estimated phase θ0?[0，π/2]. (a)and (b)represent the phase estimation precision mΔ2θ and the difference value 〈θest〉-θ0 with respect to the number of sample m in N=8 tFs，respectively. (c)and (d)represent the results of N=12 tFs. (e)and (f)represent the results of N=20 tFs. The black lines in (a)，(c)，(e)denote the shot noise limit，1/N. The red lines in (a)，(c)，(e)denote quantum measurement limit，1/FQ.

需要注意的一點(diǎn)是，當(dāng)待估相位θ0非常靠近0或π/2時(shí)，如圖4(b)，圖4(d)和圖4(f)中π/2處所示，此時(shí)需要較大樣本數(shù)m，以及較大粒子數(shù)N，才可實(shí)現(xiàn)最優(yōu)相位估計(jì)，也可通過圖2(a)和圖2(c)得到驗(yàn)證.

3.2 粒子數(shù)差測(cè)量

3.2.1宇稱測(cè)量

peven(+1|θ)-podd(+1|θ)=PN/2[cos(2θ)]

(17)

此處PN/2[cos(2θ)]為勒讓德多項(xiàng)式，peven(+1|θ)(podd(+1|θ))代表d端口所測(cè)粒子數(shù)為偶數(shù)(奇數(shù))的概率. 結(jié)合二者概率之和為1，即

peven(+1|θ)+podd(+1|θ)=1

(18)

可得端口d所測(cè)粒子數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率分別為，

(19)

(20)

與粒子數(shù)差測(cè)量中計(jì)算Fisher信息的方法一致，將式(19)和式(20)代入Fisher信息公式(6)得，

(21)

下圖5給出了在理想情況下，當(dāng)粒子數(shù)N=8，12時(shí)，F(xiàn)isher信息及相位精度隨待估相位θ0的變化. 從圖5(a)中可以看出，當(dāng)待估相位取特殊相位角θ0=0，π/2時(shí)，得到Fisher信息的最大值，即量子Fisher信息(8)，表明此時(shí)為最優(yōu)相位估計(jì). 借助CRLB(式(7))可知，隨著待估相位θ0的變化，其測(cè)量精度的理論極限會(huì)發(fā)生改變，如圖5(b)所示.

為了驗(yàn)證上述理論結(jié)果，我們選取N=8和N=12的雙數(shù)態(tài)對(duì)待估相位θ0=0.05π進(jìn)行研究，其Fisher信息為F8(0.05π)=35.05和F12(0.05π)=58.65. 通過蒙特卡洛模擬方法獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(n=10000)，采用最大似然估計(jì)方法對(duì)其進(jìn)行分析，得到結(jié)果如圖6所示.

圖 5 Fisher信息(21)和相位估計(jì)精度Δθ隨待估相位θ0的變化. (a)紅色和黑色實(shí)線分別代表粒子數(shù)N=8，12時(shí)Fisher信息隨相位θ0的變化；(b)紅色和黑色實(shí)線分別代表粒子數(shù)N=8，12時(shí)測(cè)量精度Δθ隨相位θ0的變化. Fig.5 Fisher information (21)and theoretical precision Δθ with respect to the estimated phase θ0. (a)The solid red and black lines represent the Fisher information with respect to the phase θ0 of N=8，12 tFs；(b)The solid red and black lines represent the precision with respect to θ0 of N=8，12 tFs.

從圖6(a)和圖6(c)中，容易發(fā)現(xiàn)采用宇稱測(cè)量方案和最大似然估計(jì)方法的組合，得到的相位估計(jì)精度值(藍(lán)色點(diǎn))逐漸趨近紅色實(shí)線(理論測(cè)量極限)，但無法抵達(dá)黑色實(shí)線(量子Fisher信息所給定測(cè)量極限)，即1/FQ. 圖6(b)和圖6(d)表示估計(jì)值θest與待估相位θ0=0.05π之間的差值隨樣本數(shù)m的變化，可以看出，隨著樣本數(shù)m的增加，最大似然估計(jì)為無偏差估計(jì). 這樣，我們從數(shù)值上驗(yàn)證了宇稱測(cè)量方案中相位估計(jì)精度隨待估相位值θ0變化而改變，且僅當(dāng)選取最優(yōu)相位θ0=0，π/2，才能達(dá)到量子Fisher信息(8)所給出的精度. 此處，由于最大似然函數(shù)在相位區(qū)間[0，π/2]上不滿足高斯分布，故經(jīng)貝葉斯定理計(jì)算后所得的后驗(yàn)概率分布也不是高斯分布，無法實(shí)現(xiàn)相位估計(jì)研究.

為了更加直觀地比較兩種測(cè)量方案(粒子數(shù)差和宇稱)對(duì)相位估計(jì)精度的影響，圖7給出了在粒子數(shù)差測(cè)量方案下，雙數(shù)態(tài)所含粒子數(shù)為N=8和N=12，待估相位為θ0=0.05π時(shí)，最大似然估計(jì)方法給出的結(jié)果.

圖7 針對(duì)粒子數(shù)差測(cè)量，對(duì)待估相位θ0=0.05π采用最大似然估計(jì)(藍(lán)點(diǎn))進(jìn)行分析的結(jié)果. (a)和(b)分別代表粒子數(shù)N=8時(shí)，相位估計(jì)精度mΔ2θ和相位估計(jì)差值〈θest〉-θ0隨樣本數(shù)m的變化. (c)和(d)代表粒子數(shù)N=12的結(jié)果. 其中，黑色直線代表1/FQ. Fig.7 Maximum likelihood estimation (blue point)of the estimated phase θ0=0.05π in the scheme of particle-number difference measurement. (a)and (b)represent the phase estimation precision mΔ2θ and the difference value 〈θest〉-θ0 with respect to the number of sample m in N=8 tFs，respectively. (c)and (d)represent the results of N=12 tFs. The black lines denote 1/FQ.

將其與圖6進(jìn)行對(duì)比，可以看出，隨著樣本數(shù)m的增加，粒子數(shù)差測(cè)量方案達(dá)到了量子測(cè)量極限(黑色直線)，而宇稱測(cè)量方案未達(dá)到黑色直線，再次驗(yàn)證了粒子數(shù)差測(cè)量方案的優(yōu)越性.

4 結(jié) 論

綜上所述，本文基于雙數(shù)態(tài)輸入的馬赫曾德爾干涉儀模型，探究了在不同測(cè)量方案下，粒子數(shù)測(cè)量和宇稱測(cè)量，最大似然估計(jì)和貝葉斯分析兩種方法在量子相位估計(jì)方面的表現(xiàn). 通過分析研究，得出貝葉斯分析結(jié)合粒子數(shù)測(cè)量是最優(yōu)的相位估計(jì)方案，可在整個(gè)相位空間實(shí)現(xiàn)最優(yōu)測(cè)量，達(dá)到量子Fisher信息所限定的量子測(cè)量極限. 同時(shí)，貝葉斯分析在相位估計(jì)中所需的樣本數(shù)m較最大似然估計(jì)更少一些，節(jié)省資源. 另外，當(dāng)待估相位值較小時(shí)，需要選取粒子數(shù)更多的雙數(shù)態(tài)，樣本數(shù)更大的測(cè)量方案，方可實(shí)現(xiàn)最優(yōu)測(cè)量. 在宇稱測(cè)量方案中，相位估計(jì)精度會(huì)隨待估相位的變化而發(fā)生改變，借助蒙特卡洛數(shù)值模擬我們驗(yàn)證了這一點(diǎn)，還發(fā)現(xiàn)了貝葉斯分析不適合宇稱測(cè)量方案下的相位估計(jì).

通過對(duì)兩種測(cè)量方案下特定相位的最大似然估計(jì)研究，再次驗(yàn)證了粒子數(shù)差測(cè)量是最優(yōu)相位測(cè)量方案. 本文的研究結(jié)果為采用雙數(shù)態(tài)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)上的精密測(cè)量提供了重要的理論依據(jù).