轉(zhuǎn)子葉片低介入葉端定時(shí)測(cè)量技術(shù)

曹佳輝,陳雪峰*,楊志勃,田紹華

(1.西安交通大學(xué) 航空動(dòng)力系統(tǒng)與等離子體技術(shù)全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710049;2.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,陜西 西安 710049)

轉(zhuǎn)子葉片是直接影響航空發(fā)動(dòng)機(jī)和燃?xì)廨啓C(jī)功能性與完整性的重要部件,其惡劣的服役環(huán)境加之結(jié)構(gòu)強(qiáng)度相對(duì)薄弱,極易發(fā)生損壞[1],因此對(duì)轉(zhuǎn)子葉片進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)以及時(shí)發(fā)現(xiàn)早期損傷,對(duì)保障航空發(fā)動(dòng)機(jī)及燃?xì)廨啓C(jī)安全運(yùn)行具有重要的意義[2]。現(xiàn)有轉(zhuǎn)子葉片的監(jiān)測(cè)技術(shù)主要分為接觸式和非接觸式兩類。接觸式測(cè)量方法主要是在葉片表面粘貼應(yīng)變片[3],然而應(yīng)變片測(cè)量少數(shù)葉片的振動(dòng)信息、信號(hào)傳輸困難,并且使用壽命短,難以推廣應(yīng)用。葉端定時(shí)是一種新興的非接觸式葉片振動(dòng)測(cè)量技術(shù),通過(guò)安裝在靜止機(jī)匣上的傳感器來(lái)記錄葉片的到達(dá)時(shí)間,進(jìn)而計(jì)算葉尖的振動(dòng)位移。得益于其非接觸性和高效的特點(diǎn),葉端定時(shí)有望實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子葉片的振動(dòng)測(cè)量和在線監(jiān)測(cè)。

在葉端定時(shí)測(cè)量中,葉片每經(jīng)過(guò)一次傳感器,就實(shí)現(xiàn)了對(duì)該葉片葉尖振動(dòng)的采樣,因此葉端定時(shí)信號(hào)采樣率與葉盤的旋轉(zhuǎn)頻率和傳感器數(shù)量有關(guān)。葉盤的實(shí)際轉(zhuǎn)速通常由額定工況決定,傳感器數(shù)量受航空發(fā)動(dòng)機(jī)及燃?xì)廨啓C(jī)結(jié)構(gòu)安全和安裝空間的限制,葉端定時(shí)采樣率通常遠(yuǎn)小于葉片的振動(dòng)頻率,導(dǎo)致采集到的葉端定時(shí)信號(hào)欠采樣。為了從欠采樣信號(hào)中辨識(shí)出葉片的振動(dòng)參數(shù),進(jìn)而監(jiān)測(cè)葉片的健康狀況,國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出了許多基于葉端定時(shí)測(cè)量參數(shù)的辨識(shí)方法。

2001年,Carrington等[4]將自回歸模型應(yīng)用于葉端定時(shí)信號(hào),利用4支等距傳感器實(shí)現(xiàn)了從同步振動(dòng)數(shù)據(jù)中提取葉片振動(dòng)頻率、幅值和阻尼等振動(dòng)參數(shù)。2003年,天津大學(xué)段發(fā)階教授課題組[5]提出了“5+2”方法,利用7支傳感器快速提取了葉片的振動(dòng)頻率。2006年,Joung等[6]利用周向傅里葉算法匹配葉端定時(shí)信號(hào)的頻率,以監(jiān)測(cè)葉片共振響應(yīng)。2016年,Lin等[7]首次將壓縮感知引入葉端定時(shí)信號(hào)處理,提出了基于頻域稀疏性的葉端定時(shí)信號(hào)表示模型。2019年,吳淑明等[8]將增強(qiáng)稀疏分解應(yīng)用于頻譜重構(gòu),來(lái)改善頻譜質(zhì)量。同年,Bouchain等[9]基于葉端定時(shí)信號(hào)稀疏表示模型,提出了一種基于貪婪算法的信號(hào)重構(gòu)方法,恢復(fù)了葉片振動(dòng)頻譜。賀長(zhǎng)波等[10]采用基于總體最小二乘法準(zhǔn)則的旋轉(zhuǎn)不變子空間法對(duì)葉端定時(shí)信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì),有效地抑制了噪聲的干擾。王增坤等[11]改進(jìn)了多重信號(hào)分析方法以適用于葉端定時(shí)分析,實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)頻率辨識(shí)。2021年,Li等[12]提出了自適應(yīng)迭代加權(quán)方法來(lái)減少最小二乘頻譜重構(gòu)過(guò)程中混疊成分的干擾。2023年,筆者[13]聚焦葉片振動(dòng)的協(xié)方差信息,提出基于互質(zhì)采樣以及嵌套采樣葉端定時(shí)方法來(lái)恢復(fù)信號(hào)的功率譜。

現(xiàn)有葉端定時(shí)測(cè)量方法大多依賴于多傳感器布局,通常需要3～7支葉端定時(shí)傳感器。然而,航空發(fā)動(dòng)機(jī)和燃?xì)廨啓C(jī)在實(shí)際中不允許安裝過(guò)多的傳感器。受增重、安全和安裝等因素制約,使用單位希望盡量減少傳感器安裝以降低對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)本體的改裝。因此,亟需發(fā)展低介入測(cè)量技術(shù),以提高葉端定時(shí)的實(shí)用性。

傳統(tǒng)葉端定時(shí)信號(hào)方法解決的是欠采樣信號(hào)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題,而低介入測(cè)量使信號(hào)的欠采樣程度進(jìn)一步加深,致使壓縮感知等先進(jìn)的信號(hào)處理方法失效。壓縮感知等均通過(guò)稀疏匹配的思路實(shí)現(xiàn)特征提取與恢復(fù),在極端少傳感測(cè)量的條件下由于信息極度缺失已不具備其實(shí)施條件,需要獨(dú)辟蹊徑開(kāi)展研究。信號(hào)混疊的本質(zhì)是由于測(cè)量不滿足奈奎斯特-香農(nóng)采樣定理導(dǎo)致目標(biāo)信號(hào)特征在頻域空間周期性彌散,其主要特征仍存在于信號(hào)中,因此其本質(zhì)在于“富集”而非目標(biāo)明確的“提取”。《孫子算經(jīng)》中:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問(wèn)物幾何?”此為余數(shù)定理。在少傳感條件下信號(hào)頻率的混疊過(guò)程與余數(shù)定理描述的核心一致,若不能“知物幾何”,亦可通過(guò)不斷富集其“余”所包含的信息,來(lái)重構(gòu)目標(biāo)解。近幾十年來(lái),中國(guó)余數(shù)定理在數(shù)字信號(hào)處理、編碼、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[14-15]。欠采樣信號(hào)的采樣頻率、真實(shí)頻率、混疊頻率可類比于同余方程組的模數(shù)、被除數(shù)、余數(shù),因此余數(shù)定理十分適用于欠采樣信號(hào)頻率估計(jì)。Xia等[16-17]將余數(shù)定理推廣,應(yīng)用于欠采樣高頻(復(fù))信號(hào)頻率估計(jì)問(wèn)題,此后該團(tuán)隊(duì)不斷改良算法,提出了一系列魯棒中國(guó)余數(shù)定理算法[18-20]。黃翔東等[21]利用過(guò)零點(diǎn)檢測(cè)電路將余數(shù)定理估計(jì)方法從復(fù)信號(hào)推廣到實(shí)信號(hào)。為富集混疊信息,須對(duì)不同的頻率進(jìn)行采樣。在葉端定時(shí)測(cè)量中,不同的采樣率可由不同密度均勻布局實(shí)現(xiàn)。Beauseroy、陳仲生等[22-23]提出了基于互質(zhì)布局的葉端定時(shí)測(cè)量方法,可辨識(shí)葉片的振動(dòng)頻率;然而互質(zhì)布局至少需要4或7支傳感器,不符合葉端定時(shí)低介入、少傳感要求。在葉端定時(shí)測(cè)量中,多速率采樣可通過(guò)改變轉(zhuǎn)速或改變分析數(shù)據(jù)之間的相對(duì)延時(shí)等效實(shí)現(xiàn)。基于這兩點(diǎn)發(fā)現(xiàn),分別提出了兩種極端欠采樣信號(hào)處理方法,為低介入葉端定時(shí)測(cè)量提供技術(shù)基礎(chǔ)。

為實(shí)現(xiàn)低介入葉端定時(shí)測(cè)量,減少傳感器安裝的數(shù)量,提出了基于主動(dòng)混疊的雙傳感測(cè)量方法和基于被動(dòng)混疊的單傳感測(cè)量方法,分別實(shí)現(xiàn)對(duì)勻速和變速工況下葉端定時(shí)葉尖振動(dòng)參數(shù)辨識(shí)。在雙傳感方法中,利用相位和延時(shí)主動(dòng)生成一系列混疊信息,最終通過(guò)對(duì)混疊信息解模糊來(lái)重構(gòu)信號(hào)頻率。在單傳感方法中,從采樣頻率重新審視信號(hào),提出采樣-混疊頻率分布,通過(guò)對(duì)該分布的特征直線進(jìn)行分析得到葉片的振動(dòng)階次和固有頻率。該方法遵循以“混疊利用”代替“混疊抑制”思想,為葉端定時(shí)信號(hào)分析提供了新思路。在此基礎(chǔ)上總結(jié)了低介入葉端定時(shí)測(cè)量理論,指出少傳感測(cè)量所須遵循的基本原則,為低介入傳感測(cè)試與安裝提供指導(dǎo)。

1 葉端定時(shí)測(cè)量原理

葉端定時(shí)測(cè)量通過(guò)安裝在機(jī)匣上的光纖、電容[24]或電渦流等傳感器來(lái)記錄旋轉(zhuǎn)葉片的實(shí)際達(dá)到時(shí)間,在此基礎(chǔ)上反演葉尖位移。以光纖型傳感器為例來(lái)介紹葉端定時(shí)測(cè)量過(guò)程。光纖式葉端定時(shí)傳感器探頭包含了發(fā)射端和接收端。光電模塊以恒定的功率向發(fā)射端發(fā)射激光,接收端接收反射得到的激光。當(dāng)葉片經(jīng)過(guò)傳感器時(shí),接收端接收到的光強(qiáng)會(huì)發(fā)生顯著變化,光強(qiáng)信號(hào)被轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào),并且被調(diào)制為標(biāo)準(zhǔn)的矩形脈沖信號(hào)。最后,矩形脈沖信號(hào)的上升沿或下降沿時(shí)刻被記錄作為葉片的達(dá)到時(shí)間,如圖1所示。

圖1 葉端定時(shí)測(cè)量原理

在無(wú)振動(dòng)的情況下,葉片期望達(dá)到的時(shí)間可通過(guò)旋轉(zhuǎn)頻率和相對(duì)角計(jì)算得到:

(1)

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,葉片不可避免地會(huì)發(fā)生振動(dòng)。因此葉片實(shí)際的到達(dá)時(shí)間會(huì)早于或晚于期望的達(dá)到時(shí)間。葉尖位移可通過(guò)兩者的時(shí)間差計(jì)算:

(2)

葉端定時(shí)測(cè)量是一種被動(dòng)采樣,不同于傳統(tǒng)的振動(dòng)測(cè)量方式,葉片定時(shí)采樣頻率并不是通過(guò)數(shù)據(jù)采集設(shè)備設(shè)定,而是由旋轉(zhuǎn)頻率和傳感器布局決定。對(duì)于單支傳感器或若干傳感器均勻分布的情況,其采樣率fs滿足以下條件:

fs=np×fr

(3)

式中:np為傳感器數(shù)量。

以在額定工況9 000 r/min下,使用葉端定時(shí)采集固有頻率為1 000 Hz葉片的葉端振動(dòng)為例,根據(jù)香農(nóng)-奈奎斯特采樣定理,至少需要14支傳感器才能得到非欠采樣的振動(dòng)信號(hào)。然而航空發(fā)動(dòng)機(jī)和燃?xì)廨啓C(jī)中不允許安裝過(guò)多的葉端定時(shí)傳感器,因此葉端定時(shí)信號(hào)通常是欠采樣的。須考慮如何在少傳感、低介入的前提下,實(shí)現(xiàn)從葉端定時(shí)信號(hào)中辨識(shí)振動(dòng)參數(shù)。

2 雙傳感低介入葉端定時(shí)方法

2.1 主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)

延時(shí)估計(jì)(Time Delay Estimation,TDE)[25]是一種利用有限采樣延時(shí)內(nèi)相位變換來(lái)估計(jì)葉片頻率的方法。根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì),時(shí)域內(nèi)的延時(shí)等效于頻域內(nèi)的相位旋轉(zhuǎn),由此有

D2(f)=D1(f)ej2πτ

(4)

式中:D1(f)和D2(f)分別為d1和d2的傅里葉變換結(jié)果,d1和d2表示由第1和第2支傳感器記錄得到的某一葉片的葉尖位移向量;τ為葉片經(jīng)過(guò)傳感器1和2的時(shí)間差,即傳感器2相對(duì)于傳感器1采樣時(shí)間的延時(shí)時(shí)間,其與夾角和轉(zhuǎn)頻的關(guān)系為

τ=θ/(2πfr)

(5)

式中:θ為傳感器1和傳感器2的夾角。

根據(jù)式(4),有

(6)

式中:fn為葉片的固有頻率;(·)*表示共軛運(yùn)算;angle[·]為取相位運(yùn)算。

(7)

式中:φ為D1(fa)D2*(fa)的相位,|φ|∈[0,π],所以式(7)可識(shí)別的最大頻率為1/(2τ)。為保證固有頻率可被成功識(shí)別,固有頻率須不超過(guò)1/(2τ),延時(shí)時(shí)間需要小于等于奈奎斯特間隔,即

τ≤1/(2fn)

(8)

根據(jù)延時(shí)和夾角的關(guān)系,式(8)可改寫為θ≤πfr/fn。在葉端定時(shí)測(cè)量中,葉片的固有頻率通常遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)頻。因此傳統(tǒng)延時(shí)估計(jì)要求2支傳感器的距離相近。然而夾角較小時(shí)安裝困難,并且會(huì)放大安裝角θ、轉(zhuǎn)頻fr和相位φ的誤差,嚴(yán)重影響方法的實(shí)用性[26]。

使用小角度(小延遲)方案來(lái)直接計(jì)算固有頻率并不實(shí)用,因此,筆者提出主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)。首先構(gòu)造不同的大延時(shí)方案來(lái)主動(dòng)生成一系列混疊信息,然后對(duì)混疊信息解混疊來(lái)估計(jì)目標(biāo)頻率。不同延時(shí)方案可通過(guò)改變2路采樣數(shù)據(jù)的相對(duì)延遲來(lái)實(shí)現(xiàn),不同的延時(shí)時(shí)間對(duì)應(yīng)不同的延時(shí)角,如圖2所示。

圖2 生成不同延時(shí)方案的示意圖

θd=2πp+qθ,p∈Z,q∈{0,±1}

(9)

式中:θd為延時(shí)角,每一個(gè)延時(shí)角θd都對(duì)應(yīng)一個(gè)延時(shí)為τd的延時(shí)采樣方案,τd=θd/(2πfr)。

每一對(duì)p和q的組合表示一種延時(shí)方案,比如p=1、q=-1的情況對(duì)應(yīng)圖2的第2個(gè)延時(shí)方案。相應(yīng)的延遲τd為傳感器1的第k個(gè)數(shù)據(jù)與傳感器2的第k+1個(gè)數(shù)據(jù)的采樣時(shí)間差。就獲取混疊頻率而言,延時(shí)估計(jì)可實(shí)現(xiàn)均勻采樣的效果;相應(yīng)地,為代替“采樣頻率”的概念,定義延時(shí)倒數(shù)為“等效采樣頻率”,即

(10)

在混疊頻率的計(jì)算中,因?yàn)棣觗大于奈奎斯特間隔,由式(7)計(jì)算得到的結(jié)果并非固有頻率,而是其混疊結(jié)果,存在如下關(guān)系:

(11)

式(11)與經(jīng)典頻率混疊公式十分相似,顯著區(qū)別在于適用場(chǎng)景。經(jīng)典頻率混疊公式僅適用于均勻采樣場(chǎng)景。在葉端定時(shí)測(cè)量中,文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[27]也采用經(jīng)典頻率混疊公式從均勻采樣樣本中恢復(fù)葉片的固有頻率,需要傳感器同時(shí)集成至少兩種等間隔布局,且兩種等間隔布局的傳感器數(shù)量互質(zhì),滿足這一要求的布局至少需要4或7支傳感器。式(11)擺脫了均勻采樣的限制,適用于周期性非均勻采樣。在雙傳感布局情況下,通過(guò)考慮不同的延時(shí)時(shí)間/角度,可根據(jù)式(11)得到不同的混疊頻率。所提出的主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)利用相位變換來(lái)計(jì)算不同延時(shí)下混疊的頻率,即主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)利用相位和延時(shí)等效地實(shí)現(xiàn)了多速率采樣的效果,極大地簡(jiǎn)化了葉端定時(shí)測(cè)量的硬件配置。

2.2 解混疊過(guò)程

2.2.1 魯棒的封閉中國(guó)余數(shù)定理

中國(guó)余數(shù)定理(Chinese Remainder Theorem,CRT)指出:若一個(gè)整數(shù)小于一組兩兩互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù),則該數(shù)可由其取模運(yùn)算后的余數(shù)唯一確定,即以下方程組具有唯一解。

x=nimi+ri,i=1,2,…,I

(12)

式中:x為需要確定的整數(shù);ni表示未知的整數(shù),稱為模糊倍數(shù);m1、m2、…、mI為互質(zhì)的整數(shù),稱為模數(shù);ri為x關(guān)于mi的余數(shù)。

式(12)的解為

(13)

根據(jù)CRT,當(dāng)x

CRCRT算法計(jì)算復(fù)雜性低且對(duì)噪聲魯棒,更重要的是,它將重構(gòu)對(duì)象由整數(shù)推廣到實(shí)數(shù)域。

2.2.2 固有頻率估計(jì)

(14)

(15)

此外,為確保CRCRT具有唯一解,在雙傳感器方法中,建議使用夾角互質(zhì)布局[26]。在該種布局中,θ/(2π-θ)等于兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)c1、c2之比。比如夾角為135°是一種夾角互質(zhì)布局,因?yàn)?35/(360-135)=3/5。為重構(gòu)固有頻率,所選用的夾角互質(zhì)布局至少需要滿足(c1+c2)fr≥fn,此時(shí)最終結(jié)果存在fn和(c1+c2)fr-fn這兩個(gè)可能的解,需要借助固有頻率大致范圍這一信息來(lái)確定最終解。

3 單傳感低介入葉端定時(shí)方法

第2節(jié)提出的雙傳感方法實(shí)現(xiàn)了葉片固有頻率的魯棒估計(jì),適用于勻速工況。下面提出適用于變速工況的單傳感葉端定時(shí)方法。

3.1 采樣混疊分布

根據(jù)香農(nóng)奈奎斯特采樣定理,超過(guò)fs/2的頻率會(huì)被混疊到[0,fs],具體的混疊關(guān)系為

(16)

式中:k為使得|fn-kfs|取最小值的整數(shù),其相應(yīng)的最小值等于混疊頻率fa。

在變速工況下,葉片的固有頻率fn可以近似地認(rèn)為是恒定的。因此,fa可視為自變量為fs的函數(shù),即fa=h(fs)。不難發(fā)現(xiàn),h(fs)是分段線性函數(shù),可表示為

(17)

式中:A和B為[0,2fn]的子區(qū)間。

(18)

(19)

式中:∑U為集合/區(qū)間的并集運(yùn)算。

根據(jù)式(17),函數(shù)h(fs)的圖像如圖3所示,呈現(xiàn)了采樣混疊(Sampling Aliasing FrEquency,SAFE)頻率隨頻率變換的關(guān)系。從圖3中可以發(fā)現(xiàn):① 在fs=fn/k,k∈Z+處,存在零點(diǎn);② 零點(diǎn)(fn/k,0)兩邊的兩條直線的斜率分別為-k和k;③ 每條直線截距的絕對(duì)值均等于fn。

圖3 采樣頻率與混疊頻率的關(guān)系

在單傳感測(cè)量時(shí),采樣頻率fs恒等于旋轉(zhuǎn)頻率fr,因此變速工況等效地實(shí)現(xiàn)了變采樣率的過(guò)程。在零點(diǎn)處,固有頻率是轉(zhuǎn)速的整數(shù)倍,因此SAFE圖的零點(diǎn)表示的實(shí)際意義是葉片同步共振中心,零點(diǎn)兩邊直線斜率的絕對(duì)值等于該零點(diǎn)處同步共振的激勵(lì)階次(Engine Order,EO),SAFE圖中每條直線的截距的絕對(duì)值等于葉片的固有頻率[29]。葉片振動(dòng)參數(shù)EO和fn都可從SAFE圖中提取,SAFE圖將振動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了圖像特征(直線檢測(cè))問(wèn)題。因此SAFE圖是單傳感葉端定時(shí)測(cè)量的核心,需考慮如何構(gòu)造SAFE分布。

3.2 擴(kuò)展的時(shí)頻變換

傳統(tǒng)時(shí)頻分布適用于均勻采樣,但不適用于變速率的采樣,以短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform,STFT)為例:

(20)

假設(shè)窗函數(shù)的長(zhǎng)度為NL,則STFT的頻率分辨率為

ΔRf=fs/NL

(21)

變轉(zhuǎn)速時(shí),葉端定時(shí)信號(hào)的采樣率是變化的,并且STFT的窗長(zhǎng)是固定的,所以頻率分辨率也是變化的。因此,不同窗函數(shù)內(nèi)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果無(wú)法橫向拼接成完整的時(shí)頻分布,如圖4所示。

圖4 不同方法的變采樣率信號(hào)分析結(jié)果

為確保頻率分辨率ΔRf恒定,一個(gè)與采樣頻率成反比的窗長(zhǎng)因子被引入STFT中:

(22)

式中:λs為窗長(zhǎng)因子。式(22)被稱為自適應(yīng)窗長(zhǎng)短時(shí)傅里葉變換(Adaptive Window-length STFT,AWSTFT)。

λs=NLΔRf/fs(a)

(23)

式中:ΔRf為人為設(shè)定的頻率分辨率;fs(a)為第a個(gè)窗內(nèi)數(shù)據(jù)的平均采樣率。

因此初始窗(第1個(gè)窗)的長(zhǎng)度為fs(1)/ΔRf=NL;第a個(gè)窗的實(shí)際長(zhǎng)度變?yōu)镹L/λs=fs(a)/ΔRf。AWSTFT的(混疊)頻率分辨率是恒定的,因此完整的SAFE分布可以由每一列分析結(jié)果橫向拼接得到,如圖4(b)所示。

除了STFT,其他經(jīng)典的時(shí)頻方法,如魏格納分布、小波變換都可以通過(guò)引入與采樣頻率相關(guān)的窗長(zhǎng)因子或尺度因子來(lái)擴(kuò)展。傳統(tǒng)的時(shí)頻分布包含了時(shí)間和頻率兩個(gè)維度,擴(kuò)展的時(shí)頻變換額外增加采樣頻率維度。由于信號(hào)是欠采樣的,原本頻率是被混疊的,原先的頻率維度被稱為混疊頻率維度。SAFE分布可由擴(kuò)展的時(shí)頻變換結(jié)果向采樣-混疊頻率平面投影得到。時(shí)頻分布和SAFE分布的關(guān)系為

(24)

式中:SPEC(t,f)為時(shí)頻分布;SAFE(fs,fa)是相應(yīng)的SAFE圖;g(t)是描述fs和t的關(guān)系的函數(shù),g-1(t)是g(t)的逆函數(shù)。

采樣頻率是分析欠采樣信號(hào)的一個(gè)重要視角。傳統(tǒng)信號(hào)通常是均勻采樣的,因此采樣頻率維度被忽略了。葉端定時(shí)信號(hào)的采樣率與轉(zhuǎn)速相關(guān),單傳感葉端定時(shí)測(cè)量在變轉(zhuǎn)速工況自然地實(shí)現(xiàn)了異步多速率采樣,可通過(guò)采樣頻率維度窺視信號(hào)特征。

3.3 參數(shù)辨識(shí)

考慮如何從SAFE圖提取EO和fn。3.2節(jié)已經(jīng)證明SAFE圖中任意直線的斜率和截距的絕對(duì)值分別為EO和fn。SAFE圖中位于多段線附近的點(diǎn)具有較高的幅值,因此可通過(guò)閾值判斷提取位于多段線上的點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上,直線的斜率和截距可通過(guò)最小二乘擬合得到,直接得到的斜率和截距不可避免地具有誤差。基于在同步共振中,EO是整數(shù)的先驗(yàn),可通過(guò)對(duì)斜率絕對(duì)值取整來(lái)校正EO值。

EO=round(|k|)

(25)

式中:k為計(jì)算得到的SAFE圖中某一直線的斜率。

固有頻率為

(26)

其他直線檢測(cè)算法,如Hough變換和Radon變換[30]也適用于從SAFE圖中辨識(shí)參數(shù)。

4 低介入葉端定時(shí)測(cè)量理論

葉端定時(shí)信號(hào)恢復(fù)/特征提取遵循的基本關(guān)系為

h(u)+s(v)=Φ

(27)

式中:u和v分別為樣本的多樣性和先驗(yàn);h(u)為樣本多樣性為u時(shí)所能得到的信息量,樣本多樣性越高,信息量越大;s(v)為給定先驗(yàn)v時(shí)所得到的信息量;Φ為通過(guò)某種信號(hào)處理方法所得到的信息量,雖然無(wú)法直觀地給出信息量具體表達(dá)式,但在葉端定時(shí)信號(hào)處理過(guò)程中輸入輸出的信息量必然是守恒的,即由測(cè)量過(guò)程得到的信息和由先驗(yàn)得到信息之和等于信號(hào)分析結(jié)果中包含的信息。

在葉端定時(shí)測(cè)量中,樣本多樣性與傳感器布局有關(guān)。傳統(tǒng)的葉端定時(shí)信號(hào)參數(shù)辨識(shí)方法可分為直接和間接參數(shù)辨識(shí)兩種。前者基于強(qiáng)先驗(yàn),比如單自由度振動(dòng)假設(shè)和同步共振,通過(guò)特定算法直接獲得特征頻率、幅值、阻尼等參數(shù)。間接參數(shù)辨識(shí)方法通常指在信號(hào)(頻譜)重構(gòu)的基礎(chǔ)上,間接地獲得振動(dòng)參數(shù)的方法,比如壓縮感知。由于重構(gòu)輸出的非欠采樣信號(hào)幾乎包含信號(hào)的全部信息。根據(jù)式(27),壓縮感知類方法對(duì)樣本多樣性或先驗(yàn)的要求更高,因此其需要的傳感器數(shù)量也更多。

通過(guò)以上分析可知,想要實(shí)現(xiàn)少傳感、低介入測(cè)量,信號(hào)處理方法應(yīng)遵循的原則是在不額外輸出多余信息的情況下,盡可能地利用先驗(yàn)信息。本文提出的兩種少傳感器葉端定時(shí)方法,均屬于直接參數(shù)辨識(shí)方法,避免了在時(shí)域或頻域重構(gòu)信號(hào)所導(dǎo)致的信息冗余。此外,兩種方法都利用頻率混疊規(guī)律的先驗(yàn),即混疊頻率和固有頻率滿足式(16)的關(guān)系。所提出的方法在輸出最小化信息量的前提下,增加先驗(yàn)信息量,使樣本信息量值減小,對(duì)樣本多樣性的要求降低,因此減少了傳感器數(shù)量的要求,從而實(shí)現(xiàn)了少傳感、低介入測(cè)量。

傳統(tǒng)基于混疊抑制策略的方法,首先通過(guò)重構(gòu)得到非欠采樣信號(hào),在重構(gòu)后的信號(hào)中,混疊被徹底抑制;然后再對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行分析得到特征參數(shù),如圖5所示。重構(gòu)信號(hào)波形/頻譜的要求比識(shí)別信號(hào)某個(gè)特征參數(shù)高,所以這類方法對(duì)樣本多樣性或先驗(yàn)提出了更高要求,比如壓縮感知就要求感知矩陣具有低相干性,又如帶通插值重構(gòu)類方法要求嚴(yán)格的頻率先驗(yàn)(絕對(duì)誤差不超過(guò)fr/2)。

圖5 基于混疊抑制策略的BTT方法示意圖

而本文所提出的基于混疊利用策略的兩種方法,并不對(duì)欠采樣信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)或插值來(lái)抑制混疊,而是在欠采樣層面上富集混疊信息,以恢復(fù)特征頻率,如圖6所示。需要注意的是同樣利用混疊來(lái)降低對(duì)傳感器數(shù)量的要求,雙傳感和單傳感方法使用了兩種截然不同的策略。為獲得不同的混疊頻率,需要改變采樣頻率。常規(guī)的方式是通過(guò)傳感器布局實(shí)現(xiàn)多速率采樣,如“5+2”方法。在單傳感方法中,通過(guò)變轉(zhuǎn)速實(shí)現(xiàn)采樣頻率的變化;在雙傳感方法中,通過(guò)改變所選擇兩路分析數(shù)據(jù)相對(duì)延時(shí)來(lái)生成不同的相位信息,以此等效地生成采樣頻率和混疊信息。

圖6 基于混疊利用策略的BTT方法示意圖

5 仿真驗(yàn)證

5.1 仿真說(shuō)明

在葉端定時(shí)領(lǐng)域,旋轉(zhuǎn)葉片的響應(yīng)可被認(rèn)為是多個(gè)正弦信號(hào)的疊加[31]。因此,構(gòu)造仿真信號(hào)為

(28)

式中:A0、f0和φ0分別為固有頻率、幅值和相位;Ai,fi和φi(i=1,2)分別為轉(zhuǎn)頻的第i次諧波的幅值、頻率和相位;n(t)為噪聲。

仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

5.2 雙傳感測(cè)量方法

雙傳感器的布局設(shè)為[0°,135°],采樣持續(xù)4 s,并添加了隨機(jī)的轉(zhuǎn)速波動(dòng),其均勻分布在±0.2 Hz范圍內(nèi)。采用主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)對(duì)兩路采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,考慮前3種延時(shí)方案,如圖7所示,在這3個(gè)延時(shí)方案中,延時(shí)角度分別為135°、225°、360°。待分析的兩組數(shù)據(jù)之間的相應(yīng)的延時(shí)分別為1/400 s、1/240 s、1/150 s。等效采樣頻率是延時(shí)的倒數(shù),因此分別為400 Hz、240 Hz、180 Hz。對(duì)不同延時(shí)方案中截取的兩個(gè)數(shù)據(jù)向量分別進(jìn)行傅里葉變換。根據(jù)幅值譜中的峰值可確定fa,然后根據(jù)fa的位置從相位譜中提取φ,最后根據(jù)式(11)計(jì)算等效混疊頻率。

圖7 不同延時(shí)方案的主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)示意圖

主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)的結(jié)果如表2所示。對(duì)3種方案的混疊信息兩兩組合,可聯(lián)立得到3個(gè)方程組:

表2 仿真信號(hào)的主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)結(jié)果

(29)

使用CRCRT對(duì)上述3個(gè)方程組進(jìn)行求解可得到3個(gè)重構(gòu)結(jié)果fn1、fn2、fn3。然而,每個(gè)延時(shí)方案的余數(shù)頻率存在兩個(gè)可能的值,因此{(lán)ra1,ra2,ra3}的取值共有8種情況,對(duì)每一種情況進(jìn)行求解,可得到如表3所示的分析結(jié)果。當(dāng){ra1,ra2,ra3}取值正確時(shí),不同的方程組求解結(jié)果都是固有頻率的近似值,因此是十分接近的。可以看到表3中第4和第5種情況的分析結(jié)果具有較高一致性。根據(jù)固有頻率先驗(yàn)知識(shí),該鈦合金葉片的固有頻率遠(yuǎn)高于330 Hz,因此第4種情況得到的頻率值{870.10,869.53,868.71}是可信的。將3個(gè)估計(jì)結(jié)果的平均值869.45 Hz作為最終的頻率估計(jì)結(jié)果,與真實(shí)值870 Hz相比,其相對(duì)誤差僅為-0.063%。該仿真結(jié)果說(shuō)明了雙傳感測(cè)量方法的有效性。

表3 仿真信號(hào)的頻率重構(gòu)結(jié)果

此外,多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)[11]和基于壓縮感知的正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[2]已被證明是有效的基于多傳感的頻率辨識(shí)方法。因此將所提的雙傳感方法(Active Aliasing Technique,AAT)和TDE以及MUSIC、OMP進(jìn)行比較,其中AAT和TDE使用了2支傳感器,MUSIC、OMP使用了5支傳感器。不同信噪比下,頻率辨識(shí)結(jié)果的均方根誤差情況(統(tǒng)計(jì)次數(shù)為100)如圖8(a)所示,可以看到所提方法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的延時(shí)估計(jì),性能接近于基于5傳感的OMP和MUSIC方法。其次,對(duì)不同夾角互質(zhì)布局下,所提雙傳感測(cè)量方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果如圖8(b)所示,圖例中的每一對(duì)互質(zhì)數(shù)都表示一種雙傳感布局,{c1,c2}表示夾角為c1/(c1+c2)的雙傳感布局。可以看到不同的夾角互質(zhì)布局的性能大致相似,其頻率辨識(shí)的均方根誤差遠(yuǎn)小于1 Hz,這充分說(shuō)明了所提方法的有效性。

圖8 頻率估計(jì)的均方根誤差統(tǒng)計(jì)

為進(jìn)一步說(shuō)明雙傳感測(cè)量方法的實(shí)用性,不同方法500次測(cè)試的平均運(yùn)行時(shí)間如表4所示。測(cè)試環(huán)境:(CPU i5-10400F,RAM 16GB,MATLAB 2020a)。為了具有可比性,不同方法輸入的數(shù)據(jù)的時(shí)間長(zhǎng)度保持一致,均為4 s。可以看到AAT的計(jì)算效率遠(yuǎn)高于MUSIC和OMP,僅為0.355 ms,雖然其運(yùn)行時(shí)間略高于傳統(tǒng)延時(shí)估計(jì),但時(shí)效性足以適用于在線監(jiān)測(cè)。

表4 不同方法的運(yùn)行時(shí)間比較

5.3 單傳感測(cè)量方法

采用AWSTFT對(duì)在變轉(zhuǎn)速工況下單支傳感器測(cè)量得到的位移信號(hào)進(jìn)行分析,(混疊)頻率分辨率設(shè)置為0.8 Hz,得到的SAFE分布如圖9所示。需要說(shuō)明的是,單傳感測(cè)量的數(shù)據(jù)已提前進(jìn)行趨勢(shì)濾波,以去除同步振動(dòng)的干擾。此外,圖9中的幅值已被歸一化,高亮線條表示不同采樣率下固有頻率的混疊結(jié)果。對(duì)SAFE圖中直線參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果如圖9所示,其中綠色數(shù)字表示不同直線的斜率,橙色數(shù)字表示零點(diǎn)處的采樣頻率,即同步共振區(qū)的轉(zhuǎn)頻。

每個(gè)零點(diǎn)表示一個(gè)潛在的同步共振區(qū)。在不考慮測(cè)量噪聲和計(jì)算誤差的情況下,零點(diǎn)附近2條直線斜率的絕對(duì)值等于該零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的同步共振區(qū)激勵(lì)階次EO。在實(shí)際情況下,直線斜率的絕對(duì)值與EO值存在偏差,在同步共振區(qū),EO是整數(shù)。因此不同共振區(qū)的EO值可通過(guò)對(duì)相應(yīng)直線斜率的絕對(duì)值取整得到。根據(jù)式(26)可計(jì)算葉片的固有頻率,單傳感器參數(shù)辨識(shí)分析結(jié)果如表5所示。可以看到單傳感測(cè)量方法的相對(duì)誤差在±0.1%以內(nèi)。該仿真結(jié)果驗(yàn)證了單傳感測(cè)量方法的有效性。

表5 仿真信號(hào)的單傳感方法參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)對(duì)所提出的雙傳感和單傳感葉端定時(shí)測(cè)量方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

6.1 實(shí)驗(yàn)說(shuō)明

采用如圖10所示的高速轉(zhuǎn)子葉片實(shí)驗(yàn)平臺(tái),葉盤為直徑196 mm的鈦合金葉盤。實(shí)驗(yàn)臺(tái)上安裝了5支葉端定時(shí)傳感器,但在驗(yàn)證雙傳感方法時(shí),僅分析其中的2支夾角為135°的傳感器,即圖10中的傳感器1和傳感器2。在驗(yàn)證單傳感方法時(shí),僅使用了傳感器1測(cè)量到的葉端定時(shí)數(shù)據(jù)。

圖10 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)及傳感器布局

傳感器1和傳感器2采集到的葉端定時(shí)位移如圖11所示。實(shí)驗(yàn)過(guò)程包含了一段勻變速和勻速過(guò)程。由所提出的雙傳感和單傳感測(cè)量方法分別對(duì)勻速和勻變速工況下測(cè)量到的葉端定時(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

圖11 葉端定時(shí)所采集的葉片1的振動(dòng)信號(hào)

此外,OMP和MUSCI已被證明是一種有效的頻率辨識(shí)方法,可用于多葉端定時(shí)傳感測(cè)量情況下,旋轉(zhuǎn)葉片的固有頻率識(shí)別。MUSIC和OMP的準(zhǔn)確性與傳感器數(shù)量和布局有關(guān),通常采用3支以上傳感器的布局。在該高速轉(zhuǎn)子葉片旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)中,使用MUSIC和OMP對(duì)5支傳感器采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,將得到的結(jié)果作為參考,以驗(yàn)證所提方法的有效性。

6.2 雙傳感測(cè)量方法

表6 實(shí)驗(yàn)信號(hào)的主動(dòng)混疊延時(shí)估計(jì)結(jié)果

表7 實(shí)驗(yàn)信號(hào)的頻率重構(gòu)結(jié)果

將第6種情況得到的重構(gòu)結(jié)果的平均值作為最終的頻率估計(jì)結(jié)果,fn=(905.58 + 905.00 + 906.53)/3 = 905.70 Hz。采用OMP方法對(duì)相同區(qū)域內(nèi)5支傳感器采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到的葉片頻率為905.8 Hz。將其作為葉片的固有頻率,可知所提的雙傳感參數(shù)辨識(shí)方法的相對(duì)誤差僅為-0.011%,說(shuō)明了方法具有有效性。

不同方法對(duì)所有葉片的頻率識(shí)別結(jié)果如圖12(a)所示,可以看到AAT的辨識(shí)結(jié)果與基于5支傳感器的OMP和MUSIC方法結(jié)果相似,而傳統(tǒng)TDE方法由于較差的魯棒性,頻率估計(jì)結(jié)果不準(zhǔn)確,在實(shí)際頻率測(cè)量中存在30 Hz以上的頻率誤差。不同夾角互質(zhì)布局下,所提方法的頻率辨識(shí)表現(xiàn)如圖12(b)所示,不同布局得到的結(jié)果是相似的,最大誤差不超過(guò)3 Hz,這充分說(shuō)明了雙傳感測(cè)量方法的有效性。

圖12 所有葉片的頻率估計(jì)結(jié)果

6.3 單傳感測(cè)量方法

使用AWSTFT對(duì)轉(zhuǎn)速為89.5～182.5 Hz的勻變速階段單支葉端定時(shí)傳感器采集到的數(shù)據(jù)葉片1的葉尖位移進(jìn)行分析,得到的SAFE圖如圖13所示。原始位移數(shù)據(jù)的趨勢(shì)被去除以消除同步振動(dòng)成分對(duì)參數(shù)辨識(shí)的干擾。圖13中高亮線條表示葉片固有頻率的混疊軌跡。對(duì)SAFE圖中直線參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果如圖13所示,其中綠色數(shù)字表示不同直線的斜率,橙色數(shù)字表示零點(diǎn)處的采樣頻率,即同步共振區(qū)的轉(zhuǎn)頻。

圖13 由AWSTFT得到實(shí)驗(yàn)信號(hào)的SAFE分布

圖13中,從左向右分別標(biāo)記了第1～4個(gè)零點(diǎn)。理想情況下,零點(diǎn)處直線斜率的絕對(duì)值等于相應(yīng)同步共振區(qū)的激勵(lì)階次EO。在實(shí)際存在噪聲和誤差的情況下,EO可通過(guò)對(duì)直線斜率取整得到。EO與零點(diǎn)處采樣頻率的乘積等于葉片固有頻率估計(jì)值,分析結(jié)果如表8所示。

表8 實(shí)驗(yàn)信號(hào)的單傳感方法參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

采用OMP方法對(duì)SAFE圖中的4個(gè)共振區(qū)附近5支傳感器采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到的葉片頻率分別為893.8 Hz、894.8 Hz、898.8 Hz、905.3 Hz,這些值作為所提方法辨識(shí)結(jié)果的參考。與參考值相比,單傳感測(cè)量方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果的最大相對(duì)誤差僅為0.165 4%,該實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了單傳感測(cè)量方法的有效性。

7 結(jié)束語(yǔ)

為實(shí)現(xiàn)低介入葉端定時(shí)測(cè)量,分別提出基于主動(dòng)混疊和解混疊的雙傳感方法和基于采樣-混疊頻率分布的單傳感方法用于勻速和變速工況下葉端定時(shí)葉尖振動(dòng)參數(shù)辨識(shí)。在仿真和實(shí)驗(yàn)分析中,將所提方法頻率識(shí)別結(jié)果與參考值進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,結(jié)果表明了所提出的兩種少傳感葉端定時(shí)測(cè)量方法的有效性。

在雙傳感測(cè)量方法中,采用大角度布局,利用相位和延時(shí)生成一系列混疊信息,通過(guò)對(duì)混疊信息解模糊來(lái)重構(gòu)固有頻率,有效地避免了因采用傳統(tǒng)延時(shí)估計(jì)方法直接求解固有頻率所導(dǎo)致的較大誤差。

在單傳感測(cè)量方法中,所提出的采樣-混疊頻率分布將振動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)換為圖像特征識(shí)別問(wèn)題。此外,采樣-混疊頻率圖提供了不同轉(zhuǎn)速下,葉片振動(dòng)階次和固有頻率信息,在葉端定時(shí)信號(hào)處理等欠采樣信號(hào)分析中,有望取代坎貝爾圖成為新的參考。

現(xiàn)階段,所提出的少傳感方法仍不適用于速度劇烈變化的工況下葉端定時(shí)信號(hào)的分析,進(jìn)一步改進(jìn)少傳感方法將是未來(lái)的研究重點(diǎn)。