Hilbert空間中的K-R-融合框架*

洪國慶,楊富超,張建霞

(1. 河南工學院 理學部,河南 新鄉(xiāng) 453003;2. 河南工學院 智能工程學院,河南 新鄉(xiāng)453003)

0 引言

傅里葉變換作為現(xiàn)代分析的主要工具已有100多年的歷史。但是它只提供頻率信息,且在它的相位中隱藏關(guān)于信號發(fā)射時刻和持續(xù)時間的信息。Gabor[1]在1946年解決了這個問題并引入了一種基本信號分解新方法。因為該方法提供了對附加噪聲、量化和傳輸損耗的恢復能力且具有捕捉信號重要特征的能力,因此很快成為該領(lǐng)域的范例。1952年,Duffin和Schaeffer[2]研究非調(diào)和傅里葉級數(shù)的一些深層問題時發(fā)現(xiàn)需要一個正式的結(jié)構(gòu)來處理L2[0, 1]中高度冗余的指數(shù)函數(shù)族。為此,Duffin和Schaeffer引入了Hilbert空間框架的概念。人們發(fā)現(xiàn)Gabor的方法是其一個特例,且屬于時頻分析領(lǐng)域[3]。令I(lǐng)表示一個可數(shù)指標集,序列{fi}i∈I表示Hilbert空間H的一族向量。若存在常數(shù)0<α≤β<+∞,使得

則稱序列{fi}i∈I為H的一個框架。框架作為Hilbert空間基的一種推廣,使得空間中任意元素可以被框架元素的線性組合表示,并且這種表示方法可以不唯一,正因如此,使其在實際應用中有許多優(yōu)于基的地方。

20世紀80年代末,Daubechies、Grossman 和Meyer[4]重新提出了框架的基本概念并展示了框架對數(shù)據(jù)處理的重要性,同時這項開創(chuàng)性的工作也揭示了對信號處理的意義。此后,人們對框架理論及其應用進行了深入的研究,并取得了一系列重要研究成果。隨著泛函分析、算子理論、算子代數(shù)和Banach空間理論等許多工具用于框架的研究,框架的內(nèi)容日漸豐富。到目前為止,框架已經(jīng)成為基礎(chǔ)數(shù)學、應用數(shù)學、計算機科學和工程學中的一個標準概念。我國學者分別研究了Banach空間中的(p,Y)-框架理論、算子代數(shù)B(H)上的算子框架、Banach空間中的Xd-框架與Riesz基、Hilbert?？蚣芾碚?、Banach空間中的連續(xù)框架、有限維或帶類群結(jié)構(gòu)的算子值框架、小波框架的構(gòu)造、Hilbert空間中的K-框架、框架的優(yōu)化設計等重要問題,使框架理論得到了進一步的發(fā)展。

Hilbert空間中的K-R-融合框架是R-融合框架[6,7,8]與K-框架[9,10,11]的有機結(jié)合,本文將對K-R-融合框架的刻畫和性質(zhì)、冗余性進行研究。

1 預備知識

在本文中,符號I,J表示可數(shù)或有限指標集。令H和M表示可分復Hilbert空間,B(H,M)表示從H到M的所有有界線性算子構(gòu)成的集合。如果H=M,則B(H,M)=B(H)。符號IH表示H上的恒等算子。對于一個有界線性算子T,ranT表示T的值域空間,kerT表示T的零空間,T*表示T的伴隨算子。如果W和V分別是H和M的閉子空間,則分別令πW∈(H)和τV∈(M)表示在子空間W和V上的正交投影。

定義1設Ti∈(H,M)表示Hilbert空間H到M的一族有界線性算子,{Wi}i∈I表示H的一族閉子空間,{Vi}i∈I表示M的一族閉子空間,{vi}i∈I為一族權(quán)重。若存在常數(shù)0<α≤β<∞使得

成立,則稱序列{(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是Hilbert空間H的界為α和β的R-融合框架。

R-融合框架使用的相關(guān)表示空間是

其中內(nèi)積定義為

定義2設K∈B(H),設Ti∈B(H,M)表示Hilbert空間H到M的一族有界線性算子,{Wi}i∈I表示H的一族閉子空間,{Vi}i∈I表示M的一族閉子空間,{vi}i∈I為一族權(quán)重。若存在常數(shù)0<α≤β<∞使得

成立,則稱序列{(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是Hilbert空間H的界為α和β的K-R-融合框架。

設R={(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是界為β的Bessel R-融合序列,定義分析算子

TR:H|→Rl2,TRf={viτViTiπWif}i∈I?f∈H

此時有

此外,若R是一個界為α和β的K-R-融合框架,則有

αKK*≤SR≤βIH

引理1[12]設H,H1,H2是Hilbert空間,T∈(H2,H)S∈(H1,H),則下列條件等價:

(1)ranS?ranT;

(2)存在α>0使得SS*≤αTT*;

(3)存在N∈(H1,H2)使得S=TN。

2 K-R-融合框架的性質(zhì)與刻畫

本節(jié)給出了K-R-融合框架和緊K-R-融合框架的一些新的刻畫和性質(zhì)。

定理1設K∈B(H),R={(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是H的界為β的Bessel R-融合序列,則R是H的K-R-融合框架當且僅當存在N∈B(H)使得K=SR1/2N,其中SR是R的R-融合框架算子。

αKK*≤SR

因此有

KK*R≤α-1SR1/2(SR1/2)*

(充分性)設存在算子N∈(H)使得K=SR1/2N。由引理1可得存在常數(shù)α>0使得αKK*≤SR,因此序列R是Hilbert空間H的K-R-融合框架。

證明:(1)設序列R是Hilbert空間H的緊K-R-融合框架,則存在常數(shù)α>0使得

傳統(tǒng)圖紙會審工作方法是對照平立剖圖紙進行問題查找，尺寸比對，信息核實等會審讀圖工作，其效率非常低，不易找到設計圖紙問題。

使得

因此,

必要性得證。

(充分性)由條件可知,

設存在常數(shù)α,β>0使得

3 K-R-融合框架的冗余性

如所周知,框架的一個重要性質(zhì)是冗余性。許多學者討論了框架、廣義框架和融合框架的冗余問題。本節(jié)討論了一個充分條件,即在不破壞剩余集的K-R-融合框架性質(zhì)的情況下,可以去除一些元素。

因此,

從而對任意h∈ran(K)有

另一方面,對每個h∈ran(K)⊥和f∈H,有

〈K*h,f〉=〈h,Kf〉=0

即R={(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈JI是Hilbert空間H的界為α和β的K-R-融合框架。