VOF方法中相變模型綜述

摘?要：數值模擬是探究沸騰換熱機理的重要方法。本文對使用VOF方法模擬氣泡生長的數值方法進行了調研，著重總結了模擬過程中所使用的相變模型，并對相變模型進行了簡要的評析，使用其中兩個模型模擬了一維Stefan蒸發和冷凝問題，驗證了模型準確度。

關鍵詞：VOF方法；相變模型；數值模擬

1?概述

沸騰是指液體內部生成氣泡或氣相的一種劇烈的汽化過程。沸騰換熱則指該過程中的熱量傳遞。沸騰換熱由于其優秀的換熱能力，廣泛地應用于制冷、發電、化工等領域。沸騰過程中伴隨著氣泡成核、生長、聚并等行為，這些氣泡行為體現了兩相間的質量、能量、動量傳遞。對這些氣泡行為進行研究，將有助于完善沸騰換熱機理，推廣沸騰換熱的工程應用。

對于兩相流模擬，模型主要分為兩大類：高相分數模型和界面類模型。前者適用于氣泡特別多的流動，不關注氣泡界面和氣泡形狀，著重關注含氣率；后者適用于需要捕捉相界面的情況。常用的界面捕捉方法包括Level?Set方法和VOF（Volume?of?Fluid）方法，其中VOF方法由于固有的質量守恒特性，在許多CFD軟件中得到應用。由于氣泡生長過程中存在相變，因此需要選擇合適的傳熱傳質模型結合界面捕捉方法，才能夠較為準確地模擬氣泡的生長。

從實際需求出發，本文對適用于VOF方法的相變模型進行調研總結，并對不同模型進行了分析比較，以便后續模擬研究中選擇合適的模型。

2?控制方程

在相變研究中，研究人員提出了許多相變模型來對氣泡生長進行模擬。這些相變封閉模型每個都適合不同的應用，但大多數都采用通用的應用形式，即將相變源項應用于質量、能量和相分數的控制方程［1］。

黏性不可壓縮流體的動量方程、質量方程和能量方程如下：

ρu→t+u→·SymbolQC@

u→=-SymbolQC@

p+SymbolQC@

·μSymbolQC@

u→+SymbolQC@

u→T+F→（1）

SymbolQC@

·u→=1ρv-1ρlm·（2）

ρcpTt+u→·SymbolQC@

T=SymbolQC@

·（λSymbolQC@

T）-m·hlv（3）

上式中，ρ表示密度，u→表示速度，p表示壓力，μ表示動力黏度，F→包括重力和表面張力，m·表示相變速率，cp表示比熱容，T表示溫度，λ表示熱導率，hlv為液體的潛熱。下標v和l分別表示氣相和液相。表面張力通過連續表面力（Continuum?Surface?Force，CSF）模型［2］，作用在相界面處：

Fσ=-σSymbolQC@

·SymbolQC@

αSymbolQC@

αSymbolQC@

α（4）

如前文中所述，需要使用VOF方法對界面進行捕捉。VOF方法使用體積分數α來表征網格單元中的相分布。α=0，表示該網格為純氣相；0<α<1，表示該網格為兩相混合，即為相界面所處的網格；α=1，表示該網格為純液相。求解體積分數α的控制方程如下：

αt+SymbolQC@

·αu→=-m·1ρl（5）

3?相變模型

如上所述，針對相變研究需要選擇合適的相變模型來計算相變源項。本節將對不同學者使用VOF方法模擬氣泡生長時常用的相變模型進行總結。

3.1?Lee相變模型

根據Lee［3］提出的相變模型，蒸發和冷凝過程傳質速率分別表示為：

m·e=reαρlT-TsatTsat蒸發（6）

m·c=rc（1-α）ρvT-TsatTsat冷凝（7）

上式中，re和rc分別表示為蒸發和冷凝的傳質強度因子，Tsat為飽和溫度。re和rc一般按照經驗選取，過大會導致數值收斂問題，取得過小則會導致界面溫度與飽和溫度的顯著偏差。

3.2?Sato相變模型

Sato等人［4］提出了一個簡單而直接的相變模型，從溫度場計算出的相變速率直接作為體積守恒的源項。相變速率m·定義為：

m·=M·Ai/V（8）

上式中，M·表示界面相變速率（kg/m2s），V表示網格單元的體積。因此對于不包含相界面的網格，其相變速率m·為0。界面相變速率M·定義為：

M·=（λlSymbolQC@

Tl·n→+-λvSymbolQC@

Tv·n→）/hlv（9）

上式中，n→為界面的法向量，由氣相指向液相。假設氣液相界面溫度為飽和溫度，用于計算溫度梯度。

3.3?Onishi相變模型

Onishi［5］使用溫度恢復法，將相變的速率與模擬的時間步長進行關聯，得到如下的相變模型：

m·=ρcpTcell-Tsathlv·Δt（10）

上式中Tcell為相界面所在網格單元的平均溫度，ρ為相界面所在網格單元的平均密度。Rattner［6］認為應當對式（10）的相變速率進行限制。在一個時間步內，網格單元內蒸發的質量不應超過液相質量，冷凝的質量不應超過氣相的質量，對應的蒸發以及冷凝傳質速率如下：

m·e，lim=αρlΔt蒸發（11）

m·c，lim=-（1-α）ρvΔt冷凝（12）

類似于庫朗數的限制，Rattner認為［6］，為了保證模擬過程的數值穩定性，一個時間步內蒸發產生的氣體體積或冷凝產生的液體體積不應超過該網格的體積，對應的蒸發和冷凝速率如下：

m·e，CFL=1Δt1ρv-1ρl-1蒸發（13）

m·c，CFL=-1Δt1ρv-1ρl-1冷凝（14）

因而，模擬相變時，相變速率模型的選取有如下限制：

m·e=minm·，m·e，lim，m·e，CFL蒸發（15）

m·c=maxm·，m·c，lim，m·c，CFL冷凝（16）

對于模擬過程中的時間步長，除了滿足CFL條件外，還應滿足熱擴散穩定條件：

ΔtSymbolcB@

lminΔ2/λρcpeffi（17）

上式中，l為一個自定義的約束，對于二維情況取1/4，對于三維情況取1/6；Δ為網格的最小長度。

4?模型分析驗證

上文中所述三個相變模型是目前VOF方法模擬相變時，使用較為廣泛的三個模型。Lee模型由于簡單而被廣泛使用，但它是一種經驗模型，模型中的傳質強度因子對于不同的工況需要選擇不同的值。Onishi模型以及改良后的Rattner模型，采用溫度恢復法將相變速率與時間步長關聯，但需要對傳熱速率以及模擬的時間步長進行限制，不然結果將顯著失真。Sato模型根據界面兩側的溫度梯度差確定相變速率，結果更為準確；但是該方法需要對相界面進行幾何重構，得到界面面積、方向、位置等詳細的信息，在OpenFOAM中使用該方法較為困難。因此出于后續研究的需求，不考慮使用Sato模型。

目前Lee模型和Rattner模型已經被一些研究人員將其植入開源程序OpenFOAM中。本節將分別使用Lee模型和Rattner模型模擬一維Stefan蒸發問題和冷凝問題，考察兩模型的適用性與準確性。

4.1?Stefan蒸發問題

圖1為一維Stefan蒸發問題的示意圖。初始階段整個計算域為飽和液體，左壁保持高于飽和溫度的恒定溫度，受左壁影響，液體開始蒸發，蒸汽層厚度逐漸增加。對于一維Stefan蒸發問題，其解析解為：

δt=2η?λvtρvcp，v（18）

上式中η由下式獲得：

ηexpη2erfη=cp，vTwall-Tsat?πhlv（19）

該解析解作為精確解用于與模擬結果對比，作為相變模型誤差分析的參考。

在本研究中，模擬的工質為水，飽和溫度為373.15K，熱壁溫度為373.15K。計算域長度為0.8mm，總模擬時長為1s。模擬中所使用工質的相關物性參數如下表所示。

兩種相變模型時，相界面位置隨時間的變化以及與精確解的對比。曲線顯示數值結果與精確解吻合良好。

4.2?Stefan冷凝問題

圖3為一維Stefan冷凝問題的示意圖。初始階段整個計算域為飽和蒸汽，左壁保持低于飽和溫度的恒定溫度，受左壁影響，蒸汽開始冷凝，液體層厚度逐漸增加。對于一維Stefan冷凝問題，其解析解為：

δt=?2tλlρlcp，l12+hlvcp，lTsat-Twall-1（20）

模擬中左側為冷壁，溫度為363.15K。其余計算參數及物性參數與4.1中相同。

圖4分別顯示了使用兩種相變模型時，相界面位置隨時間的變化以及與精確解的對比。結果顯示，Rattner模型與精確解吻合較好，Lee模型在初始階段冷凝速率偏大，導致液層厚度偏大，之后逐漸與精確解吻合。

結語

本文對采用VOF方法模擬氣泡生長時所使用的相變模型進行了概述，總結其中十分重要的相變模型，并對模型進行了評析與對比。結果發現，Sato模型較為精確，但其尚未應用到后續研究所需使用的軟件OpenFOAM中，Lee模型和改進后的Rattner模型在選擇合適的參數時均可得到較為準確的結果。但從實際出發，Lee模型的蒸發冷凝傳質強度因子應當對于不同工況甚至不同網格取不同的值，取合適的值較為困難。因此更推薦在后續的研究中選擇Rattner模型。

參考文獻：

［1］Nabil?M，Rattner?A?S.InterThermalPhaseChangeFoamA?framework?for?twophase?flow?simulations?with?thermally?driven?phase?change［J］.Softwarex，2016，5（C）：216226.

［2］Brackbill?J?U，Kothe?D?B，Zemach?C.A?continuum?method?for?modeling?surface?tension［J］.Journal?of?Computational?Physics，1992，100（2）：335354.

［3］Lee?W?H.A?PRESSURE?ITERATION?SCHEME?FOR?TWOPHASE?FLOW?MODELING［M］.Washington，USA：Hemisphere?Publishing，1980.

［4］Sato?Y，Nieno?B.A?New?Conservative?Phase?Change?Model?for?Nucleate?Boiling［C］//.20th?International?Conference?Nuclear?Energy?for?New?Europe?2011，2011.

［5］Onishi?H，Kawamura?M，Tada?Y，et?al.Numerical?Analysis?on?Heat?Transfer?Characteristics?of?Looped?Minichannel?Using?PhaseChange?VOF?Method［C］//.Asme?International?Conference?on?Nanochannels，2013.

［6］Rattner?A?S，Garimella?S.Simple?Mechanistically?Consistent?Formulation?for?VolumeofFluid?Based?Computations?of?Condensing?Flows［C］//.Asme?International?Mechanical?Engineering?Congress?&?Exposition，2014.

作者簡介：王子威（1998—?），男，漢族，江蘇宿遷人，碩士研究生，研究方向為反應堆熱工水力。