漫談無理數的“那些事”

朱嘉穎

數學源于對真實問題的思考，離不開善于觀察的慧眼。數從自然數走向小數，從正數走向負數，從有理數走向實數的漫長過程中，我們與無理數相遇了。

無理數的“真面目”

我們知道，無理數是無限不循環小數。我們還能在數軸上找到表示無理數的點。比如[2]，我們可以在數軸上方畫一個Rt△ABC，點A在原點處，點B在數軸1的位置，AB=BC=1。在Rt△ABC中，AC2=2，AC=[2]。以原點為圓心，AC長為半徑作圓弧，與數軸正半軸的交點即為所求的[2]（如圖1）。

觀察數軸，我們可以發現1<[2]<2，那么[2]到底是多少呢？我們可以通過不斷嘗試大于1且小于2的數，逐漸接近[2]的精確值。在數學中，不斷縮小取值范圍可以通過“二分法”實現。我們先取1與2的中間值1.5，因為1.52=2.25>2，所以1<[2]<1.5。接著試1與1.5的中間值1.25，因為1.252=1.5625<2，所以1.25<[2]<1.5。為了運算的簡便，我們不妨嘗試計算1.3，因為1.32=1.69<2，所以1.3<[2]<1.5。接下來我們嘗試1.4，因為1.42=1.96<2，所以1.4<[2]<1.5。以此類推，[2]的取值范圍不斷精確，最后，我們可以推得[2]≈1.414。如果有興趣的話，你可以繼續用“二分法”來嘗試確定[3]、[5]的大小。

無理數“PK記”

既然無法精確表示無理數的值，我們該如何比較無理數的大??？如[3]和[7]。

方法一，因為[3]<[4]，[7]>[4]，所以[3]<[7]。

方法二，因為（[3]）2=3和（[7]）2=7，3<7，所以[3]<[7]。

方法三，把[3]和[7]在數軸上表示出來，觀察它們的左右位置。

取中間值法、平方法、數軸法，我們可以從“數與形”兩個角度，比較兩個無理數的大小。

無理數的“分割術”

我們如何拆分無理數的整數部分與小數部分？如求[3]的整數部分與小數部分。

方法一，用“數”：（[3]）2=3，而12=1，22=4，1<3<4，所以1<[3]<2。即[3]的整數部分是1，小數部分只要用整個數減去整數部分，即[3]-1。

方法二，用“形”：在數軸上把表示[3]的點畫出來。我們知道[3]無法表示為一個兩條直角邊都是正整數的直角三角形的斜邊，所以我們只能逆向思維，表示為一個一條直角邊為1、斜邊為2的直角三角形的另一條直角邊。如圖2，AB=1，用圓規在數軸上截取AC=2，則BC=[3]。觀察可知，[3]的整數部分是1，則小數部分是[3]-1。

顯然用“數”的方法，我們可以更快地將無理數進行“分割”。

那么，你能試著拆分一下[39]+4的整數部分與小數部分嗎？

無理數的“應用界”

當然，無理數還有很多的妙用。在數學中，我們可以在方格紙中畫一個三條邊長都是無理數的三角形；在生活中，普遍應用于藝術設計、建筑設計等領域的黃金分割比[5-12]，也是個無理數……

我相信，只要我們擁有一雙善于發現的眼睛，一定可以發現更多與無理數相關的“故事”。

小作者用數學的眼光發現問題、提出問題，從有好奇心走向數學思考，進而分析問題、解決問題。我們的數學學習始于好奇，精于思考，成于堅持。讓我們像科學家一樣思考，不斷提高自己的數學思維能力。

（指導教師：張滕越）