用“數(shù)”開好頭，為“式”鋪平路

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初中代數(shù)板塊有“數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)”五個主題。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識之間有內(nèi)在的邏輯，所以，我們最先學(xué)習(xí)的是數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)的學(xué)習(xí)主要以正數(shù)和0為研究對象，到了初中引進(jìn)“負(fù)數(shù)”的概念。正數(shù)、0、負(fù)數(shù)組成有理數(shù)，完成初中代數(shù)的第一次飛越；再到“字母表示數(shù)”，從特殊的數(shù)走向一般的式，便產(chǎn)生了代數(shù)式，完成了初中代數(shù)的第二次飛越。本章的主要內(nèi)容是實(shí)數(shù)，可以清晰看出初中關(guān)于數(shù)的學(xué)習(xí)沿著“負(fù)數(shù)→有理數(shù)→無理數(shù)→實(shí)數(shù)”這一路徑發(fā)展。

一、核心知識及其關(guān)聯(lián)

本章共有4小節(jié)內(nèi)容，分別介紹了平方根（算術(shù)平方根）、立方根、實(shí)數(shù)、近似數(shù)等知識，內(nèi)容雖然簡單，但知識背后的內(nèi)涵還是非常豐富的。在七年級的有理數(shù)學(xué)習(xí)中，我們通過對邊長為1的兩個正方形的分割，形成對拼接成一個新正方形邊長的探究，得到了其邊長[2]是無限不循環(huán)小數(shù)，即無理數(shù)的結(jié)論。事實(shí)上，對2進(jìn)行開方運(yùn)算求平方根，求得的結(jié)果是±[2]，而[2]是2的算術(shù)平方根。回顧前面有理數(shù)的運(yùn)算，有加、減、乘、除、乘方五種，其中加、減是互逆運(yùn)算，乘、除是互逆運(yùn)算，那么乘方必定也會存在一個互逆運(yùn)算，這就是本章的開方運(yùn)算。這樣，加、減互逆，乘、除互逆，乘方、開方互逆，六種運(yùn)算就完備了。于是，我們就可以得到圖1的數(shù)系擴(kuò)充和圖2的運(yùn)算完備兩張關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)圖。

二、研究數(shù)的基本路徑

任何一個數(shù)學(xué)對象的研究都有其基本路徑，數(shù)的研究也不例外。在學(xué)習(xí)有理數(shù)時，我們首先明白了什么是有理數(shù)，認(rèn)識了有理數(shù)的性質(zhì)，對有理數(shù)進(jìn)行了分類，再在此基礎(chǔ)上研究有理數(shù)的運(yùn)算。在學(xué)習(xí)本章時，也是如此。我們先學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的概念，明白了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，有正負(fù)之分，在此基礎(chǔ)上，將實(shí)數(shù)按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。如實(shí)數(shù)可以按照正負(fù)性分成正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)，也可以分成有理數(shù)、無理數(shù)。有理數(shù)又可以分成正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)，無理數(shù)可以分成正無理數(shù)、負(fù)無理數(shù)。在分類的基礎(chǔ)上，我們可以對實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算，并且發(fā)現(xiàn)運(yùn)算的結(jié)果還是一個實(shí)數(shù)。因?yàn)閷?shí)數(shù)中有無理數(shù)，所以有時我們不需要精確的結(jié)果，于是在本章的最后我們還學(xué)習(xí)了近似數(shù)。

三、數(shù)式通性凸顯本質(zhì)

初中代數(shù)五大主題，數(shù)是第一個頂峰，可以說開了一個好頭。但初中代數(shù)研究的重點(diǎn)在于式，方程、不等式、函數(shù)都可以看成是式的應(yīng)用。數(shù)與式之間又構(gòu)成了特殊與一般的關(guān)系，數(shù)為式的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，指明了方向。

例如，由數(shù)的分類到式的分類。有理數(shù)可以分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，有理式就分成整式（單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）和分式（下學(xué)期學(xué)習(xí)）；實(shí)數(shù)分成有理數(shù)與無理數(shù)，代數(shù)式可以分為有理式與無理式（下學(xué)期學(xué)習(xí)）等。又如，由數(shù)的運(yùn)算到式的運(yùn)算。整式的加減，就是合并同類項(xiàng)，法則是“把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變”，本質(zhì)是把整式的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化成數(shù)的加減運(yùn)算；單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則是“把系數(shù)相乘，相同字母的指數(shù)相加，只在一個單項(xiàng)式里含有的字母連同它的指數(shù)作為積中的一個因式”，本質(zhì)是把單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算轉(zhuǎn)化成系數(shù)的乘法和指數(shù)的加法運(yùn)算，等等。可見，數(shù)與式的本質(zhì)是相同的，這就是常說的數(shù)式通性，數(shù)學(xué)上通常把研究未知的式的問題轉(zhuǎn)化為研究已知的數(shù)的問題來解決。

通過以上分析，我們可以體會到，數(shù)學(xué)知識之間是有先后邏輯關(guān)系的，知識之間又是相互關(guān)聯(lián)的，前面知識的學(xué)習(xí)為后面未知知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。因此，同學(xué)們在學(xué)習(xí)時千萬不要因?yàn)榍懊嬷R簡單而馬虎，也不要只學(xué)習(xí)知識的表象，要多從聯(lián)系、整體的視角來認(rèn)識知識以及知識背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。只有這樣，我們才能學(xué)到數(shù)學(xué)的精華，并且找到學(xué)好數(shù)學(xué)的最佳路徑。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）