求解圓錐曲線離心率問題的數學思想

李宏代

［摘 要］離心率是圓錐曲線中重要的內容之一，也是高考的必考內容之一。文章以高考試題為例，從數學思想的角度分類闡述求離心率的思想方法，闡述用常規思想（直接法）、方程思想、函數思想和不等式思想解決圓錐曲線離心率問題的策略，旨在幫助學生拓寬解題思路，提高分析問題和解決問題的能力。

［關鍵詞］圓錐曲線；離心率；數學思想

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0022-04

離心率是圓錐曲線中最重要的內容之一。高考中求解圓錐曲線離心率的題目常常考查橢圓或雙曲線的第一定義或第二定義及圓錐曲線的幾何性質等重要知識點，所以圓錐曲線離心率是歷年高考必考的重點內容之一，題型常常為選擇題和填空題，常考常新。雖然求解圓錐曲線離心率的方法有很多種，但涉及的數學思想是相對穩定的。下面筆者從求解圓錐曲線離心率的值和范圍兩個方面分別闡述求解圓錐曲線離心率問題的數學思想。

一、求解圓錐曲線離心率的值的數學思想

求解圓錐曲線離心率的值常用的數學思想有常規思想（直接法）和方程思想。

（一）用常規思想（直接法）求離心率的值

解題要點：本題的解題關鍵點是借助余弦定理和橢圓的第一定義求出[a]和[c]。

練習一：

（二）用方程思想求離心率的值

解題要點：解法一的方程隱藏于判別式等于零之中，解法二和解法三的方程隱藏于方程曲線和曲線的方程的定義之中。

解題要點：本題的方程隱藏于向量相等之中，即若坐標形式的向量相等，則有其左右兩邊的橫坐標相等和縱坐標相等。

練習二：

解題要點：本題的方程隱藏于曲線的方程和方程曲線的定義之中（即曲線上的點的坐標是方程的解），注意把關于[a]、[c]的齊次方程轉化為關于[e]的方程。

解題要點：本題的方程隱藏于含[30°]角的直角三角形之中，同時利用雙曲線的第二定義解題。

練習三：

圓的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

（3）已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內角為60°，則雙曲線C的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

二、求解圓錐曲線離心率取值范圍的數學思想

求解圓錐曲線離心率的取值范圍常用的數學思想有函數思想和不等式思想。

（一）用函數思想求離心率的取值范圍

高考中常常在知識交匯處命題，求圓錐曲線離心率常常借助函數思想來解決。由于函數由三要素（定義域、對應關系和值域）組成，所以用函數思想求圓錐曲線離心率取值范圍的思路為：要求離心率的取值范圍（即求函數的值域），只需正確地引入自變量，尋找以離心率為函數值的函數解析式，并注意函數的定義域，從而建立函數模型，求函數的值域。這樣就有效地解決了求離心率取值范圍的問題。

解題要點：本題是在解析幾何與函數的交匯處命題，用函數思想求離心率的取值范圍要注意函數的定義域。

A. [（1，3）]? ? ?B. [1，3]

C.（3，+[∞]）D. [3，+∞]

∵[-1≤cosθ≤1]，∴[e∈1，3]，故選B。

解題要點：用函數思想求離心率的取值范圍要正確地引入自變量，選擇不同的自變量對建立函數模型的難易程度是不同的，同時要注意函數定義域的確定。

（二）用不等式思想求離心率的取值范圍

解題要點：上述解法使用了常見但又不易發覺的不等式：[PF2-a]，用不等式思想求離心率取值范圍的解題關鍵點是注意挖掘隱蔽的不等式。

解題要點：本題需要挖掘隱蔽的不等式[c

練習四：

A.（1，2）B.（2，+∞）

C.（1，5）D. （5，+∞）