一元函數的導數及其應用單元測試卷（A 卷）參考答案與提示

一、單選題

1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.D

7.A 提示:f'(x)=5x4+an+1cosx-(2an+3),易知函數f'(x)為偶函數。

又f'(x)有唯一零點,則必有f'(0)=an+1-(2an+3)=0,即an+1=2an+3。

整理得an+1+3=2(an+3)。

所以數列{an+3}是以2為公比的等比數列。又a1=1,則an+3=4×2n-1,an=2n+1-3。

所以a10-a4+a2=2 045-29+5=2 021。

所以cos 1-1≈-0.46。

二、多選題

所求不等式的整數解為1或2。

當x=1時取得最大值

當x=e時取得最大值

作出兩個函數的圖像,如圖1所示。

圖1

由,得x2=aex2,故選項A 正確。

11.BC 提示:對于A 選項,構造函數g(x)=f(x)+x=xlnx+x,定義域為(0,+∞),則g'(x)=lnx+2。

對于D 選項,當a=0時,方程f(x)=0只有一個根x=1,D 選項錯誤。

12.ABC 提示:已知f(x)=f(2)+f(4-x),令x=2,則f(2)=f(2)+f(2),解得f(2)=0。

所以f(x)=f(4-x),函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱,A 正確。

因為f(x-2 024)+f(2 024-x)=0,所以f(x)+f(-x)=0,f(x)為奇函數。

則f'(x)-f'(-x)=0,即g(-x)=f'(-x)=f'(x)=g(x),故g(x)為偶函數,B正確。

由f(x)=f(4-x)得,f'(x)=-f'(4-x),即g(x)=-g(4-x),所以g(x)的圖像關于(2,0)對稱,且g(2)=0。

又因為g(x)為偶函數,所以g(4-x)=g(x-4)。

g(x)=-g(4-x)=-g(x-4),則g(x)=g(x-8),g(x)是以8為周期的周期函數,故g(2 022)=g(-2)=g(2)=0。C正確。

因為f(x)=f(4-x)=-f(x-4),所以f(x)=f(x-8),f(x)是以8 為周期的周期函數。

所以f(2 023)=f(-1)=-f(1)=-2 023,D 錯 誤。

三、填空題

13.2 提示:已知等式兩邊同時乘以x整理 得,2xf(x)+x2f'(x)=2x2cos 2x+2xsin 2x+2x,即[x2f(x)]'=(x2sin 2x+x2)'。

故x2f(x)=x2sin 2x+x2+c。

當x=π時,π2f(π)=π2×sin 2π+π2+π2,解得f(π)=2。

14.0 提示:因為正實數x,y滿足ex=ylnx+yln

y=yln(xy),所 以xex=xyln(xy)=eln(xy)·ln(xy)。

構造函數f(x)=xex,則f(x)=f(ln (xy)),f'(x)=(x+1)ex。

當x＞0時,f'(x)＞0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

故f(x)=f(ln(xy))?x=ln(xy)。

ax2-(2a+1)x,函數定義域為R,可得f'(x)=ex-1+2ax-(2a+1)。

易知f'(1)=1+2a-(2a+1)=0。

不妨設g(x)=ex-1+2ax-(2a+1),函數定義域為R,可得g'(x)=ex-1+2a。

①當2a≥0時,g'(x)＞0恒成立,g(x)在R 上單調遞增,所以函數f'(x)=ex-1+2ax-(2a+1)在R 上單調遞增。

當x＜1時,f'(x)＜0,f(x)單調遞減;當x＞1時,f'(x)＞0,f(x)單調遞增。所以x=1是f(x)的極小值點,不符合題意。

②當a＜0時,令g'(x)=ex-1+2a=0,解得x=1+ln (-2a)。

當x＜1+ln (-2a)時,g'(x)＜0,g(x)單調遞減;當x＞1+ln (-2a)時,g'(x)＞0,g(x)單調遞增。

故f'(x)min=f'(0)+ln(-2a)。

又f'(1)=0,且x=1不是f(x)的極值點,所以1+ln (-2a)=1,解得

當t＞1 時,u'(t)＞0,函數u(t)在(1,+∞)上單調遞增;

當0＜t＜1 時,u'(t)＜0,函數u(t)在(0,1)上單調遞減。

故當t=1時,函數u(t)取得極小值即最小值,u(1)=2＞0,h'(t)＞0恒成立。

故函數h(t)在t∈(0,+∞)上單調遞增。

又原不等式等價于h(e2kx)≥h(x2),則e2kx≥x2,即2kx≥2lnx,也即恒成立。

四、解答題

18.設矩形在第一象限的頂點坐標為(x0,y0),根據矩形和橢圓的對稱性可得,將該矩形繞y軸旋轉一周得到的圓柱體的母線長l=2y0,底面圓的半徑r=x0。

a的取值范圍是(2e-2,+∞)。

21.(1)f(x)=ax-xlnx的定義域為(0,+∞),f'(x)=a-1-lnx。

令f'(x)=0,得x=ea-1。

當x∈(0,ea-1)時,f'(x)＞0,f(x)單調遞增;

當x∈(ea-1,+∞)時,f'(x)＜0,f(x)單調遞減。

①當ea-1≤1(即a≤1)時,f(x)在[1,e]上單調遞減,f(x)max=f(1)=a。

②當ea-1≥e(即a≥2)時,f(x)在[1,e]上單調遞增,f(x)max=f(e)=ae-e。

③當1＜ea-1＜e(即1＜a＜2)時,f(x)在[ea-1,e]上單調遞減,f(x)在[1,ea-1]上單調遞增。

所以f(x)max=f(ea-1)=aea-1-ea-1·(a-1)=ea-1。

(2)由(1)知在(0,+∞)上,f(x)max=f(ea-1)=ea-1。

設g(a)=f(ea-1)-a=ea-1-a。

由題意,應使g(a)≤0,g'(a)=ea-1-1。令g'(a)=0,得a=1。

所以當a∈(-∞,1)時,g'(a)＜0,g(a)單調遞減;

當a∈(1,+∞)時,g'(a)＞0,g(a)單調遞增。

g(a)min=g(1)=0。

所以使g(a)≤0的實數a只有a=1。

22.(1)依題意知,x1,x2(0＜x1＜x2)是函數y=f(x)的兩個零點。

設x2=tx1,因x2＞x1＞0,故t＞1。

(2)因曲線C:y=m-kx2與曲線y=f(x)有唯一的公共點,故方程m-kx2=2lnx-x有唯一解,即方程kx2+2lnx-x=m有唯一解。

令g(x)=kx2+2lnx-x,x＞0,則

當1-16k≤0,即時,g'(x)≥0,函數y=g(x)單調遞增。

易知g(x)與y=m有且只有一個交點,滿足題意。

故兩根一個大于4,一個小于4,此時函數g(x)先增后減再增,存在一個極大值和一個極小值。

要使kx2+2lnx-x=m有唯一實數根,則m大于g(x)的極大值或小于極小值。

綜上,要使對?k＞0,曲線C:y=mkx2與曲線y=f(x)都有唯一的公共點,m的取值范圍為[4ln 2-3,+∞)。