Geogebra軟件在中職數學的應用

吳慧蘭 王麗琴

摘? 要：學考背景下中職數學作為中職教育階段的“老大難”學科，結合信息技術改善教學手段，促進教學效果顯得尤為重要。Geogebra軟件是一個集數學運算、圖像繪制、動態演示等特點于一體的數學軟件，在課堂操作應用中可以很好地將教學中一直存在的難點和痛點可視化，激發學生的學習興趣，增加課堂的活力。文章基于“Z世代”中職學生的特點，以函數、幾何、概率等章節的課堂教學為例，對Geogebra軟件在中職數學課堂中的應用進行研究，研究表明使用效果顯著。

關鍵詞：Geogebra軟件；中職學生；可視化

中圖分類號：TP39；G434? 文獻標識碼：A? 文章編號：2096-4706（2023）24-0179-05

Application of Geogebra Software in Mathematics Teaching in Vocational Schools

WU Huilan， WANG Liqin

（Vocational College， The Open University of Fujian， Fuzhou? 350013， China）

Abstract： Under the background of academic examination， secondary vocational mathematics， as a“difficult”subject in the secondary vocational education stage， combining information technology to improve teaching methods and promote teaching effectiveness is particularly important. Geogebra software is a mathematical software that integrates mathematical operations， image rendering， dynamic demonstrations， and other features. In classroom operation applications， it can effectively visualize the difficulties and pain points that have always existed in teaching， stimulate students' interest in learning， and increase the vitality of the classroom. This paper is based on the characteristics of vocational school students in the “Z era”， and takes classroom teaching of functions， geometry， probability， and other chapters as examples to study the application of Geogebra software in vocational school mathematics classrooms. The research shows that the use effect is significant.

Keywords： Geogebra software; students of secondary vocational school; visualization

0? 引? 言

隨著科技的發展，新課程改革標準中提出了要大力推廣信息技術與學科的整合。信息技術在教學中的應用從最初的PPT課件、微課、各類教學軟件到現在的各類手機APP平臺，教育信息化已經成為教育發展的一個大趨勢。信息技術為我們提供了一個充滿活力的學習環境。數學的學習中我們一直提倡數形結合的思想，將原本枯燥抽象的內容形象化生動化，因此數學可視化逐漸成為大家關注的焦點。唐慧榮學者定義：“將抽象的數學學習對象（抽象的概念原理、符號表征、結構關系、思想方法等）用圖形、圖像、動畫等‘可看得見的、清楚呈現的表征形式表示出來，使人們對數學學習對象有一個形象、直觀、整體的認識和理解”[1]。本文借鑒了唐慧榮學者的觀點，同時借助Geogebra軟件實現數學可視化的目標，幫助學生解決數學問題，促進學生的思維能力發展，帶領學生感受數學的美，即借助視覺想象力照亮數學的各種事實和問題[2，3]。

1? 中職學生的特點分析

當前中職學校的在校學生普遍生于2005年之后，即Z世代。Z世代，別名“互聯網世代”，是指1995—2009年出生的一代人，具有下面的特點[4]：興趣優先，注重實用主義，注重畫面、觀感體驗，依賴科技，追求化繁為簡。Z世代中職生絕大多數是中考失利進入中職學校就讀[5]，對選擇的專業不了解，沒有興趣，在課堂上專注力低，將大部分時間花費在手機網絡上。結合Z世代中職生的現狀分析，以教師為核心的傳統中職數學課堂很難吸引學生的注意力，達到預期的教學效果。因此，嘗試將課堂主體轉向學生，可能得到更好的效果。軟件Geogebra的出現可以幫助學生更快、更好地成為課堂的主人，主要原因有[6]：第一，軟件Geogebra是一款結合幾何、代數、微積分的動態數學軟件，具有強大的數學運算、圖像繪制、動態演示等功能，彌補了幾何畫板在教學中的種種缺陷；第二，軟件Geogebra是一款免費的開源軟件，同時擁有手機版APP，界面好操作，對于Z世代中職學生來說上手簡單，容易掌握，很大程度降低了數學知識認知的“門檻”；第三，軟件Geogebra的使用可以進一步加深師生的學習交流，實現教學做合一[7]。

2? Geogebra軟件在中職數學的應用實例

2.1? 軟件Geogebra實現函數概念和性質可視化

我國清朝數學家李善蘭認為“凡此變數中函彼變數者，則此為之彼之函數”。函數的理論表述一般都是抽象的、晦澀難懂的，函數的圖像性質則由于其變化性顯得抽象難以理解，因此對于Z世代中職學生來說，找到合適的方法來幫助理解函數的概念和性質是非常必要的。軟件Geogebra可以創設情境、繪制函數圖像等，化抽象為具象，引導學生主動參與設計情境，提高學生的數學動手能力[3]。

例如，分段函數：

比較f （240）與f （300）的大小。解析：題目中的數據相對中職生來說較大，這種情況下，如果學生直接代入數據計算函數值，計算量較大容易出錯，借助軟件Geogebra可以更加簡單地解答這個問題。第一步，運用軟件Geogebra繪制這個函數的圖像，如圖1所示。通過觀察圖像，能夠更加深入了解分段函數的特點，幫助學生加深對分段函數概念的理解：自變量在不同范圍內取值，對應不同的解析式，對應的函數圖像也不一樣，每個自變量有且只有一個函數值與之對應[8]。第二步，可以看到函數是一直上升的，得到函數在區間[0，+∞）是單調上升的，很容易根據圖像得到函數的單調性。第三步，根據函數的性質就可以直接獲得答案。軟件Geogebra可以將隱性數學知識顯性化，降低函數概念和性質的學習難度，提高學生的學習興趣。

2.2? 軟件Geogebra實現不等式問題可視化

一元二次不等式是中職數學的重要內容之一，對于中職學生的觀察和計算等能力有較高的要求，通過運用Geogebra繪制一元二次函數圖像，引導學生認識不等式的解對應的圖像區域，可以有效地幫助學生理解圖像法解一元二次不等式，降低一元二次不等式的難度[9]。

例如，探究一元二次不等式x2 - x - 6＞0的解集。解析：第一步，運用Geogebra繪制y = x2 - x - 6函數圖像，如圖2所示，找到x2 - x - 6 = 0方程的根，即函數圖像與x軸相交的位置x = -2，x = -3。第二步，對函數圖像進行分析討論，x軸上方的圖像區域所對應的函數值都大于零，x軸下方的圖像區域所對應的函數值都小于零。第三步，驗證上一步的結論，并寫出不等式的解集，運用Geogebra繪制x2 - x - 6＞0的圖像，發現與前面分析的對應的x的取值范圍是一樣的，結論得到驗證，最后得到解集（3，+∞）∪（-∞，-2）。學生可以結合手機版Geogebra軟件，快速繪制各種不同類型的一元二次函數，自主探究一元二次不等式的解法，縮短自主探究的時間，降低自主探究的難度，提高了學生自主探究、合作交流的能力。

2.3? 軟件Geogebra實現平面幾何問題可視化

直線與圓的方程是平面幾何的重要內容，也是中職數學的學習重點。在學習時，應了解直線和圓的三種位置關系和會判斷直線與圓的位置關系，軟件Geogebra可以直觀地幫助學生理解并掌握這個知識點[10]。

例如：判斷直線y = -x + b（b為常數）和圓（x - 3）2 + （ y - 4）2 = r2（r＞0，且為常數）的位置關系。解析：第一步，運用Geogebra繪制直線和圓，如圖3所示，因為r、b為不確定的常數值，所以運用滑動條動態控制其大小，同時繪制圓心到直線的距離線段d。第二步，控制變量，通過動態實現直線慢慢趨近圓和圓慢慢趨近直線的現象，讓學生直觀地觀察直線與圓的位置關系和r、b的相互影響，用最高效的方法，讓學生明白掌握其中的聯系。第三步，引導學生自主總結直線與圓的位置關系的判斷依據。讓學生體會數學動態變化的美，領悟代數和幾何的美妙關聯。

2.4? 軟件Geogebra實現動態函數問題可視化

含參函數，因其類型、圖像的不確定性，又稱為動態函數。動態函數廣泛存在于中小學各類試題的壓軸題中，同時也存在于中職學業水平測試卷中。深入研究動態函數問題，掌握動態函數的變化規律，也是中職學生的重難點之一。Geogebra軟件繪圖區可動態顯示動點的運行軌跡，它的代數區可以實時更新對應問題的代數式和結果，這些功能可以很好地幫助中職生理解掌握動點問題[10]。

以2022年福建省中等職業學校學業水平考試數學等級性試卷壓軸題第三小問為例。已知圓C：（x - 3）2 + y2 = 4，AB為圓C上的任意直徑，圓D：（x + 2）2 + y2 = 1，P為圓D的動點，求? 的最小值。解析：這個動態問題的求解對中職學生來說難度很大，首先P為動點，確定為動點問題，再者，AB是圓C的任意直徑，不是固定的，在一定程度上給學生增加了難度。利用Geogebra軟件將問題具象化，如圖4所示，動態顯示兩個不確定的變量對結果的影響，直觀的效果展示能夠降低解題的難度。第一步，固定動點P（P為附著在圓D上的點），啟動A點（A為附著在圓C上的點）的動畫功能，改變直徑AB的位置，觀察? 的值的變化，發現其值不變。第二步，固定直徑AB的位置，啟動點P的動畫功能改變其位置，觀察? 的變化，發現其值隨著點P的移動而變化。第三步，在前面兩步觀察結果分析的前提下，再次移動點P，得到? 取得最小值時，P的位置如圖4所示。Geogebra軟件的動態演示功能，大大降低了幾何中的動點問題的學習難度，促使學生思考，形成解題思路，同時提高了學生的空間想象能力和發散思維能力。

2.5? 軟件Geogebra實現簡單幾何體可視化

幾何學是數學學科最古老的分支之一，對中職學生的空間想象能力有一定的要求，本階段學生的形象思維能力和抽象思維能力都處在發展階段，Geogebra軟件通過將虛擬模型具體化，讓學生可以實踐操作學習對象，既可以提升學生的學習興趣，也能提升學生各方面的思維能力[10]。

例如：運用投影原理繪制下面簡單幾何體的三視圖和直觀圖，如圖5所示。解析：第一步，運用Geogebra軟件繪制幾何體，運用其動態顯示功能，實現幾何體360°旋轉，學生可以直觀地全方位觀察幾何體。第二步，通過對三視圖（主視圖、俯視圖、左視圖）的理解，引導學生設置三視圖的方向。第三步，鼓勵學生實際操作三視圖的效果，俯視圖如圖6所示。Geogebra軟件3D繪圖和全方位旋轉顯示功能彌補學生對物體模型的想象空缺，增強學生對空間物體的想象能力。

2.6? 軟件Geogebra實現概率試驗課堂可視化

概率與統計是近代數學的重要組成部分，其核心是研究隨機變量，對數據進行分析，在培養中職學生的處理隨機現象和數據的基本能力上能夠發揮巨大的作用。Geogebra軟件可以模擬概率中常用的實驗，幫助學生直觀地理解概率統計的概念思想，激發學生的學習興趣[11]。

例如：在正方形區域內隨機撒一把豆子，求落在區域A內的豆子數和總撒豆子數的比值如圖7所示。解析：第一步，運用Geogebra軟件繪制正方形區域和區域A，如圖8所示，利用滑動條設置撒豆的數目n，添加顯示點散布在正方形區域內的功能，并用不同顏色顯示（區域A內和非區域A內的顏色不一樣），通過函數得到區域A內的豆子數目a，進而得到比值p = a / n。第二步，拖動滑動條，引導學生討論探究不同的撒豆數對應的p值，分析p的變化規律。第三步，在多次重復實驗中，發現p值在一個常數的附近上下浮動，從而引申出概率的概念。Geogebra軟件的概率統計功能可以克服客觀條件的限制，簡化隨機實驗的重復操作，增強學生對概率理論的理解驗證，提升學生的探究能力。

3? 結? 論

實踐證明，Geogebra軟件在中職數學教學的使用效果顯著。數形結合可以激發學生對數學的興趣，提高學生對數學的感知能力；界面簡單操作可以提高學生動手實踐、自主探索、合作交流等能力；動態演示可以提高學生的空間想象能力和培養學生的發散思維。新時代的中職數學課堂，不可完全依賴Geogebra軟件，也不可不用Geogebra軟件。應用Geogebra軟件輔助教學時，教師應該深入挖掘，創設恰當的問題情境，合理使用信息技術，實現教學做合一。

參考文獻：

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[11] 錢文濤，趙軍.GeoGebra軟件讓數學教學如虎添翼 [J].中國教育技術裝備，2014（2）：54-56.

作者簡介：吳慧蘭（1993.06—），女，漢族，江西上

饒人，助理講師，碩士研究生，研究方向：中職數學；王麗琴（1985.12—），女，漢族，福建閩侯人，講師，碩士研究生，研究方向：中職數學。